他山之石,可以攻玉

李芳

［摘要］ 已知三角形的一角及其對邊，滿足條件的三角形不唯一確定，已知角的頂點可以在已知邊為弦的圓周上運動，因此可用圓的基本性質來解題. 本文試圖通過一些典型例題來培養學生的觀察能力以及認真思考的習慣.

［關鍵詞］ 圓的基本性質；解三角形；典型例題；培養觀察能力

初中數學中，一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素. 已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形. 解三角形時，三角函數是最常用的知識. 若已知三角形的一角及其對邊，進行有關計算，學生往往會思維定式，想到三角函數，想到添加高線，但這樣只會走進死胡同，一籌莫展. 回過頭來思考，已知三角形的一角及其對邊，滿足條件的三角形是不唯一確定的，已知角的頂點可以在已知邊為弦的圓周上運動，如圖1所示，△ABC和△ABD都是滿足條件的三角形，這樣我們就可用圓的基本性質來解題了.

這類問題往往出現在填空和解答壓軸題中，先看典型的一例.

例1 如圖2所示，在平面直角坐標系中，A（1，0），B（5，0），C（6，3），D（0，3），點P為線段CD上一點，且∠APB=45°，則點P的坐標為______.

解析?搖 問題可歸結到△ABP中，AB=4，AB的對角∠APB=45°，則點P在以AB為弦且AB所對圓心角為90°的⊙F上，因為點P為線段CD上一點，所以點P為⊙F與線段CD的交點.可用圓的基本知識構造如圖3的圖形，連結AF，BF，PF，過點F作FE⊥AB，垂足為點E，延長EF交CD于點G. 因為∠APB=45°，所以∠AFB=90°，得△ABF為等腰直角三角形. 由AB=4可求得AE=EF=■AB=2，PF=AF=AB·sin45°=2■，所以OE=3，FG=1. 在Rt△GFP中，由勾股定理可得PG=■，所以DP=DG+PG=OE+PG=3+■，DP ′=DG-GP ′=OE-PG=3-■，這就確定了點P的橫坐標，從而得滿足條件的點P的坐標為（3+■，3）或（3-■，3）.

弄清楚這類問題的實質，掌握了解決方法后，用同樣的方法來解2012年浙江省義烏市卷16題，填空最后一道壓軸題，就比較輕松了.

例2?搖 如圖4，點A（0，2），B（2■，2），C（0，4），過點C向右作平行于x軸的射線，點P是射線上的動點，連結AP，以AP為邊在其左側作等邊三角形APQ ，連結PB，BA. 若四邊形ABPQ為梯形，則：

（1）當AB為梯形的底時，點P的橫坐標是______.

（2）當AB為梯形的腰時，點P的橫坐標是______.

解析?搖 在參考答案中，只有符合題意的三個特殊圖形，特別是第（2）小題，有兩個答案，如何理性地分析不遺漏答案呢？

根據題意分析，問題（1）轉化為PQ∥AB，如圖5所示，因為△APQ為等邊三角形，所以∠PAB=∠APQ=60°，即∠PAC=30°. 在Rt△APC中，AC=2，∠PAC=30°，由三角函數得PC=ACtan30°=■，即點P的橫坐標為■.

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問題（2）轉化為BP∥AQ，則∠APB=60°. 在△APB中已知∠APB=60°及其對邊AB=2■，用例1同樣的方法用圓的基本知識構造如圖6所示的圖形，點P在以AB為弦的⊙E上，且點P是射線上的動點，則點P為⊙E與射線CP的交點，連結AE，BE，PE，過點E作ED⊥AB，垂足為點D，延長DE交CP于點F. 因為∠APB=60°，所以∠AEB=120°，∠AED=60°，AD=■AB=■. 在Rt△ADE中，由三角函數可得AE=2，DE=1，所以EF=1. 而EP=AE=2（此題較上題特殊，A，E，P三點在同一直線上），在Rt△EFP中，由勾股定理可得PF=■，從而CP=CF+PF=AD+PF=2■，從而確定了點P的橫坐標，不難求得滿足條件的另一個點P的橫坐標為0，即點C. 這樣看清了問題的本質，就能理性地分析問題而不遺漏答案.

最后再來看一例能用同樣方法解決的綜合壓軸題.

例3?搖 已知二次函數的圖象經過點A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）.

（1）求二次函數的解析式.

（2）判斷△ABC是否是直角三角形，并說明理由.

（3）M（x，y）是拋物線上的一個動點（不與A，B重合）.

①如圖7所示，△ACM的內心在坐標軸上，求點M的坐標；

②如圖8所示，當∠AMB≤45°時，請直接寫出點M橫坐標的取值范圍.

解析?搖 此題的前幾小題與本文的中心內容無關，這里不再累述，直接看最后一問，問題又是在△ABM中，AB=5，與以上兩例所不同的是，AB的對角變為小于等于45°，我們先考慮臨界情況，即AB的對角等于45°的情況，則點M在以AB為弦且AB所對圓心角為90°的圓上，如圖9所示，設臨界情況時△ABM外接圓的圓心為P，由AB=5，∠APB=90°得P■，■，AP=■■，點M在拋物線y=■x 2-■x-2上，可設Mx，■x 2-■x-2，在Rt△PEM中由勾股定理可得x-■■+■x 2-■x-2-■■=■■■，解得x=-2或x=5. 再由圓外角小于圓周角可得當∠AMB≤45°時，x≤-2或x≥5.

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