外圓內雙根相切圓柱傳輸線的TEM波的解析計算與結構仿真*

賈蘭芳，王福謙

(長治學院電子信息與物理系，山西長治046011)

外圓內雙根相切圓柱傳輸線的TEM波的解析計算與結構仿真*

賈蘭芳*，王福謙

(長治學院電子信息與物理系，山西長治046011)

通過保角變換法，研究外圓內雙根相切圓柱傳輸線內TEM波的場結構，得到該傳輸線內TEM波的解析解，利用軟件MATLAB和HFSS對其進行數據可視化和結構仿真，繪制出該傳輸線橫截面及內部TEM波的場結構圖，并給出特性阻抗的計算公式。研究結論對于計算該傳輸線的衰減常數、了解其功率容量、考慮功率耦合及設計有關的有源器件具有一定的參考價值。

電子技術;外圓內雙根相切圓柱傳輸線;TEM波;保角變換;結構仿真;電磁場結構;特性阻抗

外圓內雙根相切圓柱傳輸線為工業上有用的結構。文獻［1］用保角變換法計算了該傳輸線的特性阻抗，但此傳輸線內TEM波的場結構的研究，相關文獻還未見涉及，其主要原因是求解傳輸線TEM場分布比求其特性阻抗要困難得多。然而，場分布在工程應用上所具有的重要性，又使得場分布的研究成為傳輸線研究的一項重要工作。為此，本文將通過保角變換法并利用軟件MATLAB和HFSS，研究外圓內雙根相切圓柱傳輸線的TEM波的場結構，并給出其特性阻抗的計算公式。

1 外圓內雙根相切圓柱傳輸線橫截面的變換

圖1為外圓內雙根相切圓柱傳輸線的橫截面，外圓半徑為R0，相切的兩圓半徑均為Rc。

圖1 外圓內雙根相切圓柱傳輸線的橫截面

為了求得該傳輸線內TEM波的場分布，先考慮反演變換

的直線，即該傳輸線映射為平行板-圓柱未屏蔽傳輸線，其橫截面如圖2所示。

圖2 經變換z1=后的外圓內雙根相切圓柱傳輸線的橫截面

對如圖2所示的為兩平行板之間距離為2h、內導體圓柱的半徑為R0的變換后的未屏蔽傳輸線，為利用圓同軸傳輸線的場分布結論來研究外圓內雙根相切圓柱傳輸線內TEM波的場結構，再考慮變換函數

變換函數，式(3)，可將間距為2h的平行板變換為單位圓，而將兩板之間的半徑為R0的圓變換為半徑為近似圓，如圖3所示。這樣，經變換函數，式(1)和式(3)，z平面上的外圓內雙根相切圓柱傳輸線的橫截面就映射為w平面上的兩同心圓，其中

2 外圓內雙根相切圓柱傳輸線內TEM波的解

經過上述保角變換，傳輸線的橫截面在w平面上的形狀近似為兩同心圓，其內部電磁場在該截面上的分布呈軸對稱性，故可在w平面上以同軸傳輸線內部的電磁場分布為基礎，討論外圓內雙根相切圓柱傳輸線TEM波電磁場分布規律，再根據保角變換函數，就可以得到該傳輸線內的TEM波的分布規律。

外圓內雙根相切圓柱傳輸線中的TEM波的求解，可由靜態場在相同邊界條件下的解，得到其電場在此傳輸線橫截面上的分布，乘以波動因子e-jβz得到電場的解，再由麥克斯韋方程組所給出的電、磁場關系得到其磁場的解［2］。

設外圓內雙根相切圓柱傳輸線內的雙根相切圓柱體與外圓筒之間的電壓為V0e-jβz，由于保角變換并不能改變內、外兩導體之間的電壓，故對靜態場而言，變換后的同軸傳輸線內、外兩導體間的電壓仍為V0。

對同軸傳輸線，其中的電場分布是徑向的［3］，大小與半徑成反比。即

式中er為同軸傳輸線橫截面上的徑向單位矢，A為與電場幅值有關的常數。

而

則

圖3 再經分式線性變換后的外圓內雙根相切圓柱傳輸線的橫截面

在變換后的w平面上，外圓內雙根相切圓柱傳輸線映射為圓同軸線，其內部的電勢分布應為

其中|w|表示w平面上的場點到原點的距離。

將式(1)代入上式，即得z平面上的外圓內雙根相切圓柱傳輸線內靜態場的電勢分布為

由場強與電勢梯度的關系，可得外圓內雙根相切圓柱傳輸線內靜態場的場強Es的分布為

因此，外圓內雙根相切圓柱傳輸線中的TEM波的電場分布為

式中β為沿傳播方向ez上的相位常數，對于TEM模，波數為工作頻率)。

TEM波的電場與磁場是由麥克斯韋方程組相互聯系的，滿足如下規律［3］

μ及ε為波導內填充介質的電磁參量，ez為TEM波傳播方向的單位矢。

又由式(6)、式(8)得

式(6)、式(9)為外圓內雙根相切圓柱傳輸線中TEM波的電場與磁場分布的近似表達式。在得到該傳輸線電磁場的解析解(E，H)之后，由公式［4］P=×式中的積分在傳輸線的橫截面上進行)可計算傳輸線上的傳輸功率，當其中的電場強度最大值取不發生電擊穿的最大值時，所得到的傳輸功率值即為該傳輸線的功率容量;知道傳輸線中的電磁場的解析解之后，可以根據電磁場的分布情況，在此傳輸線上的恰當位置、選擇恰當的耦合結構，實現該傳輸線與其他電磁結構之間的能量耦合;或在該傳輸線中的恰當位置接入有源器件，設計實現所需的功能。

圖4～圖7為通過數學軟件MATLAB繪制出的外圓內雙根相切圓柱傳輸線橫截面上的TEM波的場結構圖。由該圖可以看出，在此傳輸線橫截面上，電磁場呈對稱分布，且在關于兩相切圓的連心線上下對稱兩側的靠近外圓附近空間，場密度較小，而在鄰近內雙根相切圓柱表面處，場密度較大。圖中的所有電場線均與磁感線相互垂直，為預期結果。但隨著的增大，場分布的邊界符合的情況變差，這說明場分布的表達式(6)和式(9)為外圓內雙根相切圓柱傳輸線內TEM波的近似解析解。

圖4 外圓內雙根相切圓柱傳輸線橫截面上TEM波的場結構圖

圖5 外圓內雙根相切圓柱傳輸線橫截面上TEM波的場結構圖

圖6 外圓內雙根相切圓柱傳輸線橫截面上TEM波的場結構圖

圖7 外圓內雙根相切圓柱傳輸線橫截面上TEM波的場結構圖

圖8為由軟件HFSS仿真得到的外圓內雙根相切圓柱傳輸線橫截面上某一時刻TEM波的場結構圖，圖中的電場線與雙根相切圓柱表面及外圓筒內表面均垂直，在傳輸線靠近內芯處，磁感線環繞雙根相切圓柱且輪廓上逼近圓柱，而在靠近外圓筒處，磁感線的形狀接近于圓。將其與圖4～圖7比較可以看出，MATLAB的數值模擬結果，與HFSS的結構仿真結果一致，這說明本文中研究外圓內雙根相切傳輸線內TEM波場結構的方法正確，結論可靠。

圖8 外圓內雙根相切傳輸線橫截面上TEM波的場結構圖

圖9和圖10為通過HFSS仿真出的外圓內雙根相切傳輸線內TEM波的三維電磁場結構圖，可以看出，在傳輸線內部，愈靠近內導體表面，電磁場的強度越大，場結構仿真圖形象直觀，便于對場結構的整體理解和把握。

圖9 外圓內雙根相切傳輸線橫截面上TEM波的場結構圖

圖10 外圓內雙根相切傳輸線橫截面上TEM波的場結構圖

由圖4～圖10及式(6)、式(9)可見，在傳輸線內部，愈靠近內導體表面，電磁場愈強。因此，內導體的表面電流密度較外導體內表面的表面電流密度大。所以外圓內雙根相切圓柱傳輸線的熱損耗主要發生在截面尺寸較小的內相切圓柱導體上。

3 傳輸特性

傳輸線的特性阻抗z0與單位長度電容C0的關系為［5］

式中ε和μ為傳輸線內填充介質的介電常數和磁導率.

上述保角變換實現了外圓內雙根相切圓柱傳輸線的橫截面到同心圓環形區域的映射，由于映射前后傳輸線單位長度的電容量保持不變，這樣就可由內、外半徑分別為和R=1同軸傳輸2線的電容值，方便地求出此傳輸線的特性阻抗。而同軸傳輸線單位長度的電容為

則外圓內雙根相切圓柱傳輸線的特性阻抗為

當傳輸線內為空氣時，有

文獻［1］中給出的外圓內雙根相切圓柱傳輸線的特性阻抗的計算公式為

其中

當Rc/R0取一定數值時，由式(14)計算出的外圓內雙根相切圓柱傳輸線的特性阻抗值與由式(13)計算結果比較接近，尤其在Rc/R0＜0.25的范圍內(此情形下內雙根相切圓柱的寬度占據傳輸內寬度的二分之一)，兩者的相對誤差在僅為0.5%范圍之內;只是在Rc/R0較大時，兩式的計算結果偏離較大。上述計算結果比較表明，將式(13)作為計算外圓內雙根相切圓柱傳輸線的特性阻抗值的計算公式，在實用范圍內其精確度是很高的。

表1 由式(13)和式(14)計算出Z0值比較

4 結束語

本文對外圓內雙根相切圓柱傳輸線TEM波的研究，給出了該傳輸線內的電磁場分布規律，具有物理意義明確、計算方法簡便的特點。由于傳輸線內TEM波的場分布，對于了解傳輸線的功率容量，計算衰減常數，考慮功率耦合及設計有關的有源器件等都是不可缺少的，故本文所得結論對于外圓內雙根相切圓柱傳輸線的使用及新產品的設計具有一定的實際意義和理論價值，其結論也可作為相關問題研究的參考。

［1］ 任偉，林為干.特種截面傳輸線的分析.電子科學學刊［J］. 1990.12(1):38-46.

［2］ 沈熙寧.電磁場與電磁波［M］北京:科學出版社，2006年2月: 375-381.

［3］ 路宏敏等.電磁場與電磁波基礎［M］北京:科學出版社，2006年7月:323-325.

［4］ 沈熙寧.電磁場與電磁波［M］北京:科學出版社，2006年2月: 385-386.

［5］ 朱滿座.數值保角變換及其在電磁理論中的應用.［J/OL］. (2008-12-01):http//www.cnki.net/kcms/detail/detail/aspx.100-117.

賈蘭芳(1977- )，山西屯留人，長治學院電子信息與物理系講師，主要從事電磁場理論與通信技術方面的研究，jialanfang2005@126.com;

王福謙(1957- )，男，漢族，山西省臨猗縣人，長治學院電子信息與物理系教授，主要從事電磁場理論、數值計算及其 應 用 研 究，13935511796@ 163.com。

Analytic Calculation and Structure Simulation of TEM Wave in a Transmission Line with Circular-Outer-Conductor and Tangent Cylindrical-Inner-Conductor*

JIA Lanfang*，WANG Fuqian

(Department of Electronic Information and Physics，Changzhi University，Changzhi Shanxi 046011，China)

The structure of the TEM wave in a transmission line with circular-outer-conductor and tangent cylindricalinner-conductor is calculated by using conformal mapping，the map of structure of TEM wave on its cross section and internal is plotted through MATLAB date visualization and HFSS structure simulation，further more its characteristic impedance is calculated.This research result to calculate the decay constant of the transmission line，realize its power capability，consider its power coupling and design the related active device has certain reference value.

electronic technology;a transmission line with circular-outer-conductor and tangent cylindrical-innerconductor r;TEM wave;conformal mapping;structure Simulation;structure of electromagnetic field;characteristic impedance

10.3969/j.issn.1005－9490.2014.02.013

TN813

A

1005－9490(2014)02－0229－06

項目來源:山西省自然科學基金項目(2012011028-1);山西省高等學校科技研究開發自選項目(20121116)

2013-09-15修改日期:2013-10-30

EEACC:1320