多種載荷作用下梁內力圖快速畫法的探討

田來社

［摘要］工程力學是一門專業技術基礎課,是高等院校理工科專業必修課程之一。結合工程力學的教學實踐，就彎曲變形梁的剪力圖、彎矩圖如何快速繪制做了較好的探究和實踐。當梁受多種載荷共同作用時，此方法畫彎矩圖更顯現其快捷和方便，既有利于老師的教學，也有利于學生的學習和掌握，具有事半功倍的效果。

［關鍵詞］剪力圖彎矩圖快速繪制

［中圖分類號］G642［文獻標識碼］A［文章編號］2095-3437（2014）13-0085-02

工程力學是一門專業技術基礎課，是高等院校理工科專業必修課程之一。學好本門課程對后續的專業課與課程設計起著非常重要的支撐作用。在本課程教學中，其中一個很重要的內容就是要進行構件強度和剛度的計算與設計，要完成此任務就必須首先解決內力計算和畫出內力圖，以便確定構件可能的危險截面。常見的內力圖有軸力圖、扭矩圖、剪力圖、彎矩圖，其中的剪力圖、彎矩圖的畫法就是教學的難點之一，對于梁在多種載荷同時作用下，學生更是難以掌握。因此，探討梁在多種載荷作用下，如何快速畫出剪力圖、彎矩圖是十分必要的。

一、預備知識

1. 剪力的正負號：能使微段梁的左右截面發生左上右下的錯動趨勢，則剪力規定為正，反之剪力為負。如圖1（a）、（b）所示的分別是正剪力和負剪力。

2. 彎矩的正負號：能夠使梁彎曲成下凸上凹趨勢時，則彎矩為正；反之彎矩為負，如圖1（c）、（d）所示分別是正彎矩和負彎矩。

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圖1

3. 剪力圖、彎矩圖的特征：首先對簡支梁在集中力、集中力偶、均布載荷單獨作用下，通過建立剪力與彎矩方程，分別畫出剪力圖和彎矩圖，由于載荷簡單，教師講授、學生學習還是比較容易掌握的，同時也為快速畫出梁在多種載荷作用下的剪力圖和彎矩圖做好鋪墊。通過觀察上述三種載荷對應的內力圖，可以得到下面剪力圖和彎矩圖的基本特征：

（1）均布載荷段的梁，剪力圖為斜直線，q＞0，剪力圖（Q圖）自左向右上斜，q＜0，Q圖自左向右下斜；彎矩圖（M圖）為拋物線，拋物線的開口與均布載荷方向一致。

（2）有集中力作用的截面上的剪力凸變，變化的大小與方向與集中力一致，而彎矩值不變，但彎矩圖出現折角，折的尖角方向與力的指向相反。

（3）集中力偶作用的截面附近兩側的彎矩值發生突變，自左向右遇到順時針力偶彎矩值向上突變，逆時針力偶彎矩值向下突變，而集中力偶作用處剪力值不變。

（4）梁的兩端若為鉸鏈約束且無集中力偶作用，則彎矩值為零。

（5）梁段之間剪力為零的截面上彎矩值為零。

（6）梁上剪力值為零的截面彎矩有極值。

二、剪力圖的快速畫法

1. 正負號規則：“上正下負”。其內涵是自左向右畫，向上的外力包括分布載荷產生正剪力，向下的外力產生負剪力。畫圖方法：遇到向上的外力向上畫，遇到向下的外力向下畫，向上向下畫多大，外力多大畫多大，遇到無外力的段水平畫，遇到均布載荷斜著畫，向下均布載荷向下斜，向上均布載荷向上斜。最后畫出的剪力圖與水平軸構成封閉圖形。如果不能封閉，說明彎矩圖的畫法或計算有問題。

2. 如圖2（a）圖所示的簡支梁畫剪力圖為例，介紹畫剪力圖的操作方法：首先利用平衡方程計算出簡支梁的約束反力，RA=8KN，RB=12KN。然后自左向右畫，遇到RA向上畫8KN，AC段梁上有5KN/m向下的均布載荷，自A截面到C截面的剪力圖向下斜，QC=RA-5×2=-2KN。CE之間無載荷作用，剪力圖畫成水平直線。集中力偶作用處剪力不變化，QE左=-2KN。過E截面時遇到10KN向下的外力作用，因此在-2KN的基礎上向下再畫10KN，QE右=12KN。EB段無外力作用，水平畫直線，過B截面遇到RB=12KN，向上畫12KN，與水平坐標軸形成封閉的圖形。全梁上最大的剪力的絕對值Qmax=12KN。如圖2（b）所示。

三、彎矩圖的迅捷畫法

彎矩圖的畫法采用關鍵截面彎矩值的控制方法，具體方法如下：

1.關鍵截面的含義：集中力（含約束力）作用的截面、分布力端點對應的截面、集中力偶附近兩側的截面、均布載荷段剪力為零對應的截面。

2. 基本法則：任意截面上的彎矩等于該截面一側所有外力含外力偶對該截面形心取矩的代數和。即：M=∑mc（Fi）

其正負號規定為：取左段的力或力偶對研究的截面形心形成的矩使梁產生順時針轉動產生正彎矩，反之負；取右段使梁繞研究截面形心逆時針轉向的力或力偶產生正彎矩，反之負。以上規則簡稱為“左順右逆”產生正彎矩，反之形成負彎矩。

3. 控制截面上的彎矩值：可利用基本法則算出各控制截面上的彎矩值 。如圖2（a）所示：

MA=0

MC=RA×2-5×2×1=6KN.m

MD負=RA×3-5×2×2=4KN.m

MD正=RB×2-10×1=14KN.m

MB=RA×1=12KN.m

MG=RA×1.6-5×1.6×0.8=6.4KN.m

根據彎矩圖的特征知道，剪力為零截面處的彎矩有極值，利用幾何關系可求得AG=1.6m。

4. 畫彎矩圖舉例：如圖2（a）所示的梁上受有有集中力、集中力偶均布載荷多種載荷的作用，畫彎矩圖如下：

（1）畫出彎矩圖的坐標系，縱坐標表示彎矩截面的位置，橫坐標表示梁截面的位置，分別在坐標系上畫出上述控制截面彎矩值對應的點。

（2）梁上AC段有均布載荷，彎矩圖的形狀是拋物線。

（3）CD段圖形為斜直線，過D截面有順時針力偶，彎矩值自左向右向上突變，突變的彎矩值是10KN.m

（4）DE、EB段的彎矩圖分別為自左向右向下傾斜的直線，由于兩段梁的剪力值不同，向下傾斜的程度不同，剪力越大，傾斜的程度就越大。

（5）用光滑的曲線或直線連接個控制點得到彎矩圖。如圖2（c）所示.。

該梁的最大彎矩值為Mmax=14KN.m

結論：通過利用關鍵點的彎矩值控制方法，結合彎矩圖、剪力圖的特征，畫彎矩圖省時省力，易學易做。特別對受多種載荷作用的梁，繪制剪力圖、彎矩圖更顯方便和快捷。

［參考文獻］

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［3］趙火英.淺談在材料力學中準確繪制內力圖的技巧［J］.萍鄉高等專科學校學報,2012（3）：99-102.

［責任編輯：張雷］