淺談如何培養學生的數學思維能力

張河境

（福建省尤溪縣第五中學，福建 尤溪 365100）

思維能力是各種能力的核心，開發并提高學生的智力主要應著眼于培養和鍛煉學生的思維能力。思維是由人們的認識需要引起的，沒有認識需要就不會引起思維。在日常教學中，要改變那種傳統的教學模式，改變那種重知識量的堆塞為重思維能力的培養。為此，在教學中，教師應在熟練掌握課標與教材的基礎上，設計各種方案，采取各種措施，千方百計促使學生以積極的態度去主動學習，主動思考，主動探索。下面根據自己多年的教學工作實踐，談談幾點具體做法。

一、通過創設教學情境培養學生創新思維能力

大家都知道故事是學生最喜愛的文學形式，通過講故事引入教學能激發學生強烈的求知欲望。比如：我在講授等比數列求和公式時，首先講一個數學故事：國際象棋起源于古代印度，關于國際象棋有這樣一個傳說：國王要獎賞國際象棋的發明者，問他有什么要求，發明者說：“請在棋盤上的第一個格子上放1粒麥子，第二個格子上放2粒麥子，第三個格子上放4粒麥子，第四個格子上放8粒麥子，依次類推，即每一個格子中放的麥粒都必須是前一個格子麥粒數目的2倍，直到第64個格子，請給我足夠的糧食來實現上述要求。”你認為國王有能力滿足發明者上述要求嗎？學生深深被故事吸引，熱情高漲，有人說能，有人說不能。這時教師引導學生：誰能把麥子總數表示出來。學生們很快得出S=1+2+22+23+…+…①，這是一個等比數列的求和問題，如何求這個和呢？學生們很迫切想知道問題的答案，積極思考，很快就找出辦法，將①的兩邊都乘以2得到2S=2+22+23+…+…②。將②-①得S=-1，利用計算器，學生們很快得到了想要的答案，嘗到了成功的喜悅。我趁熱打鐵，和學生一起探索一般等比數列的求和方法——錯位相減法。

二、通“變式”教學培養學生發散思維能力

“變式”教學，可以培養學生的發散思維，能使學生沿不同角度、不同側面去思考，沿多方面去尋求答案的展開性的思維方式。在教學中，我采用“變式”教學，運用“一題多變、一圖多變、一問多解、一法多用”等手法，讓學生從不同角度運用不同方法去求解，開拓引伸，從而培養學生的發生思維能力。例如課本中的一道幾何題：“已知AD是ΔABC的中線，E是AD的中點，F是BE的延長線與AC的交點，求證AF=FC”。在分析與論證本題以后，不失時機地引導學生對原題的條件與結論作了以下變換：（1）將E是中線AD的中點，改為E是中線AD上的一點，且，那么AF與FC間的關系如何？將BC邊的中點D改為D是ΔABC的BC邊上的點，且是AD的中點，那么AF與FC間的關系如何？再改為：D是ΔABC的BC邊上的點，且那么AF與FC間的關系如何是AD上的點，且這樣步步變化深入，既發展了學生的探究思維能力，又綜合性地復習與鞏固了已學的有關知識，取得了很好的教學效果。

三、通過數形結合培養學生直覺思維能力

關于數與形和思維的關系，華羅庚曾有過很精辟的論述：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，割裂分家萬事休。”這句話指出了直覺在數形結合中的重要作用，也讓我們初步認識數形結合的思想方法在數學思維中的地位。在高中數學教學中，不失時機地滲透數形結合思想可以培養學生多種直覺思維能力。

分析：根據根號下表達式的特征，可聯想到距離公式。設P點的坐標為（x，0）；A點的坐標為（0，4），B點的坐標為（3，2）。于是問題變為在x軸上求一點P0，使其與A和B距離的差最大。由于三角形兩邊之差小于第三邊，因此當P0點為線段AB延長線與x軸的交點時，f（x）有最大值AB。通過計算可這個問題獲得解決是數形之間的有效溝通，把函數問題中帶根號的表達式與解析幾何中兩點的距離公式建立聯想。因此教學中要重視學生從數學知識中提煉本質的規律，建立數形有效溝通，使數學思維形成網狀結構，進而達到培養思維能力的目的。

四、通過回顧反思提高學生思維能力

波利亞在《怎樣解題》一書中把解題過程概括為“審題—探索—表達—回顧”四個環節，明確指出解題回顧是解題過程的最后一個環節，然而在實際教學過程中，大家只注重指導學生如何去讀題、審題如何去探索、尋找解題思路，卻常常忽略了解題回顧這個環節，發揮不了解題回顧活動應有的教育功能，這對培養學生創新精神和發展數學創造性思維無疑是一種損失。解題反思是重要的思維活動，它是思維活動的核心和動力，它能從多角度、多層次對解決問題進行全面分析思考，從而深化對問題的理解，有助于優化思維品質，提升數學思維能力。結合平時教學實踐，舉如下例子加以探索：“題目：過點B（1，1）能否作直線L，使它與雙曲線兩點，且點B是線段Q1Q2的中點？如果存在，求出方程；如果不存在，說明理由。”

錯解：設L的方程為y-1=k（x-1），代入雙曲線方程，得（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2+2k-3=0，設 Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），則，解得k=2。故所求直線方程L存在，直線方程為y=2x-1。

反思：此題解題過程中犯了兩個錯誤：其一，題設而不求，應注意到直線L應與雙曲線有兩個交點這一蘊含條件，易被忽視。其二，題中直接設直線L斜率為k也顯不妥，應事先說明直線L斜率一定存在。因此一定要考慮Δ＞0的條件。

解：當直線L斜率不存在時，直線方程為x=1，顯然不合題意，故設L的方程為

y-1=k（x-1），同上求得k=2，l：y=2x+1，代入雙曲線方程得-2x2+4x-3=0，即2x2-4x+3=0。注意到這里Δ＜0，故所求直線L不存在。

反思梳理，弄清哪些地方易犯錯誤，回憶自己解決問題的結果和過程，找出錯誤的根源，分析出原因，提出改進措施，明確正確解題的思路和方法，這是培養判斷性思維的重要途徑。

總之，培養學生的思維能力的方法是各種各樣的，要使學生思維能力活躍，在教學過程中應該精心設計，創設各種情境，根據學生已有的知識、經驗以及學生的思維特點，充分調動學生的學習積極性，積極培養學生的思維能力。