基于風險中性路徑概率的三叉樹期權定價模型

元毅 YUAN Yi

（中央財經大學，北京 102206）

（Central University of Finance and Economics，Beijing 102206，China）

0 引言

二叉樹模型作為金融資產定價尤其是衍生品定價的數值方法，自從創建以來應用十分廣泛。Cox，Ross，Rubinstein在1979年創建的CRR模型，相對于1973年的B-S-M期權定價公式，更易于大家所理解和操作，并且CRR模型可以給美式期權定價，而大名鼎鼎的B-S-M公式則在美式期權上無能為力。雖然二叉樹模型仍然是教科書中一個不朽的經典模型，但是在實際操作過程中由于誤差精度等問題，其實用性遭到了一定的質疑。在二叉樹模型的基礎上，我們通過構建一個新的三叉樹模型來試圖減小模型誤差，使得期權價格的數值解可以更接近B-S-M公式所得出的解析解，從而證明三叉樹模型的優越性。

1 文獻綜述

樹方法是一個非常流行的期權定價數值方法。它把從現在到到期日的時間分成了n期，使得在這n期里面的股價進行離散地變化。最有名的樹方法當屬Cox、Ross以及Rubinstein在1979年提出的CRR樹。Duffie在1996年證明了當期數n→∞時，CRR模型的解收斂到連續時間模型下期權價格的解，即B-S-M的解析解。然而，收斂的過程既不平滑也很漫長，對于例如障礙期權的一些期權而言，收斂的過程中會出現很明顯的震蕩情況，Boyle和Lau在1994年的文章中說明了這一點。

三叉樹模型最早于1986年由Phelim Boyle提出，作為二叉樹模型的一個延伸和擴展，其中的上升因子和下降因子就是由Phelim Boyle提出，至于為什么要選2△t而非二叉樹模型中的△t，Boyle的考慮是，首先三叉樹中股價有三種變化情況，允許變化的時間更長一些；其次Boyle是在聯合兩個二叉樹之后生成了三叉樹，所以相當于兩個時間間隔的變化。在此之后Kamrad和Ritchken于1991年發現了另一種形式的三叉樹模型，他們對Boyle的三叉樹模型做了簡化，并且證明了如果從二叉樹中的某一階段跳過下一階段直接到第三階段，這樣就可以相應產生出一個三叉樹。具體見圖1。

Kamrad和Ritchken還對上升因子和下降因子進行了處理，使得上升概率、下降概率和保持不變的概率得到了簡化，他們加入了參數并且通過尋找最優的使得三叉樹計算出來的期權價格向B-S-M公式計算出來的期權價格逼近。總的而言，Kamrad和Ritchken主要關注在階段少的情況下三叉樹的終值情況，并且使得三叉樹模型效率更高，運算更快。

圖1 二叉樹生成三叉樹情況

2 基本模型

三叉樹模型是一個網格狀的用于給期權定價的數值方法模型，它最早于1986年由Phelim Boyle提出。同二叉樹模型一樣，構建三叉樹的目的是為了給期權定價，包括歐式期權和美式期權。定價之前，首先要給出模型中的一些參數，比如股價從時刻到上漲的概率，下降的概率以及保持不變的概率，還有上升幅度，下降幅度等，其次我們要根據以上參數構建股票價格的三叉樹模型，最后通過給定的期權價格三叉模型的終端支付運用倒向運算的方法來給初始時刻的期權進行定價。一個單階段的股票價格樹形圖見圖2。

三叉樹模型可以在基于B-SM模型的基礎上給出期權定價優良的數值解，其構建過程同構建二叉樹的過程十分相似。由于股票價格服從對數正態分布，所以在給參數賦值時需要使得股票價格滿足這一要求。正如CRR模型中令和，我們在給參數賦值時同樣需要考慮這些問題。

其中股票價格從t到t+Δt變化為S（t）u的概率為pu，變化為S（t）d的概率為pd，根據概率的性質股價不變的概率為pm=1-pu-pd。根據無套利條件和風險中性測度，從t到t+Δt有以下兩個式子成立。

認為股票價格遵循對數正態分布，其中σ是標的資產的波動率，r是無風險利率，這兩個參數都是常數。由于假定世界是風險中性的，所以假定所有股票的期望收益率為無風險利率，除此之外在之后計算期權的價格時，也以無風險利率作為貼現率進行折現來給期權定價。

除了（1）和（2）之外，給出另一個限制條件，即

雖然這個條件并不總是應用于三叉樹建立的過程中的，但是這個條件的成立使得建立的三叉樹的節點個數呈現多項式的形式增長而不是以復雜的指數形式增長。

在股價變化幅度u、d以及變化的概率pu、pd和pm都已知的情況下，就可以計算股價S及其變化情況。假定股價從t0開始總共經歷了N次變動，其中上升的次數為Nu，下降的次數為Nd，不變的次數為Nm，則Nu+Nd+Nm=N，在N次變動后T時刻的股價為

3 三叉樹模型的參數

則ud=1，這是一個典型的交叉樹。

盡管《蒙古的人和神》作者亨寧·哈士綸在20世紀30年代曾造訪新疆和靜縣滿汗王王府，書中收錄了不少珍貴的歷史照片，但是大家心目中還是接受不了這么一幅渥巴錫畫像。所以2010年7月在和靜縣召開的“東歸歷史與文化”研討會上安排了一項渥巴錫畫像征集活動。與會的好幾位蒙古族畫家提交了近10幅渥巴錫畫像，還有好幾幅素描像。畫像中的渥巴錫是一位典型的蒙古漢子。寬闊臉膛、兩眼炯炯有神，是的，人們心目中的渥巴錫應該這個樣子，但畢竟是藝術的創作。

在風險中性的測度下，不考慮股息與分紅的情況，有風險中性概率

其中 pu、pm和 pd均屬于（0，1），Δt需要滿足（不考慮分紅）。

從而保證在風險中性測度下此模型是可行的。

驗證公式（8）的正確性從而驗證所取的風險中性概率。對于一個如圖2的單階段三叉樹，在風險中性測度下應該有

兩邊同時消去S，移項可得

將（4）、（5）、（6）和（7）代入（11），將分母移項，可得

和等式（13）的右邊比較，兩者相等，則等式（10）得證，從而可以證明我們所取的概率是風險中性概率。

4 三叉樹模型具體引用——經典歐式期權定價

4.1 經典歐式期權的定價 歐式期權是指賦予持有者一個在未來的某一個確定的時間以一定的價格買入或賣出標的資產的權利，其中確定的價格又叫執行價格，記為K，確定的時間又叫到期日，記為T。

同二叉樹定價的方法類似，當我們建立了股票價格三叉樹之后，在到期日期權的終端支付便已知，對于看漲期權，終端支付 C（S，T）=max（S-K，0）；對于看跌期權，終端支付 C（S，T）=max（K-S，0）。得到終端支付以后，利用倒向歸納的方法，根據前文中風險中性測度的性質，我們可以利用以下公式給前一階段節點的期權價格進行定價

其中 Cn-1，j是第 n-1 個階段節點 j的期權價格，Cn，j+1是從n-1個階段節點j的在第n個階段對應股票價格上升的期權價格，Cn，j是對應股票價格不變的期權價格，Cn，j-1是對應股票價格下降的期權價格。

這種倒向歸納的方法來源于風險中性定理并且對看漲期權和看跌期權同樣適用，它可以幫助我們求出期權價格三叉樹上每一個節點的期權價格，從而一直往前推出C0即起初我們想要的期權價格。

這里需要說明的是，從t到T一共經歷了N期，所以對于每一次變化的時間Δt，有Δt=。

4.2 經典美式期權的定價 美式期權是指賦予持有人一個可以在到期日T之前任意時刻或者在到期日以執行價格K買入或賣出標的資產的權利。由于美式期權可以在到期日之前任意時刻實施，情況就稍微復雜了一些，如果在三叉樹某一節點以執行價K實施期權獲得的收益大于我們通過風險中性定價公式求得的期權價格，持有人會立即執行而非等到到期日。通過這樣的分析，我們需要對倒向歸納方法進行一定的改進，從而利用改進的模型對美式期權進行定價。

美式期權終端支付的值和歐式期權一樣，不同的是，對于美式期權價格樹中間節點的立即支付收益，如果是看漲期權，記為；如果是看跌期權，記為，則

從而得到修正的倒向歸納公式（對于看漲期權而言）變為

4.3 三叉樹模型的收斂性 在三叉樹模型中，把期數定為N，當N→∞時，可以類似于二叉樹收斂性的證明，三叉樹模型的隨機游走過程收斂到對數幾何布朗運動。眾所周知，無論是二叉樹模型還是三叉樹模型，作為求解期權價格的數值方法，其在模擬股票價格時，理論上只有當Δt→0，股票價格才服從對數正態分布，即只有計算期數為無窮大時，二叉樹或者三叉樹模型計算出來的價格與BS-M公式計算得到的價格是一致的。由于三叉樹的計算成本較高，我們只能取到期數為15的情況，得出的收斂性如圖4所示。

由圖4可知，三叉樹模型在期數較少的收斂性上好于二叉樹。實際上，二叉樹在期數趨近于200時，價格才逐漸收斂到B-S-M解析解且波動性逐漸減弱。

5 期權價格的敏感性分析

影響期權價格的因素有很多，包括標的資產價格、執行價格、到期時間、股票波動率、無風險利率以及分紅率等。我們通過MATLAB程序的作圖功能分析到期時間和股票波動率對期權價格的影響。

圖4 三種期權定價模型的收斂性示意

5.1 歐式看漲期權價格對到期時間T的敏感性分析 運用MATLAB編程計算后，我們可以得出歐式看漲期權價格對到期時間的關系如圖5所示。

圖5 歐式看漲期權價格對到期時間T的敏感性分析

由于我們計算的是歐式看漲期權，所以由圖5可知，在其他條件不變的情況下（尤其是不考慮股票分紅的情況），到期時間或者叫期權期限越長，歐式期權的價格越大，即歐式期權的價格隨著期限的增加而增加。

5.2 歐式看跌期權價格對股票價格的波動率σ的敏感性分析 同樣地，可以得到反映波動率對歐式看跌期權價格的影響，具體見圖6。

圖6 歐式看跌期權價格對波動率的敏感性分析

由圖6可知，期權價格隨著波動率的增加而增加，這也符合人們的直觀感受。粗略而言，股票價格的波動率用于衡量股票價格變動的不確定性的一個測度，當波動率增大時，股票價格上升或者下降很多的機會將會增大，對于看漲期權的持有者而言，他們可以從股票價格上升中獲利，而當股票價格下跌時，其損失最多為期權費用，看跌期權也類似，所以隨著波動率的增加，期權價格也會增加。

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