最優控制下民辦高校科研激勵的共享努力合同設計

楊文凱

摘要： 長期以來，科研工作的突破一直是我國民辦高校的困擾，其難點在于如何確定在最優控制科研投入水平下的激勵教師提高科研產出水平。本文首先確定民辦高校科研產出的最優水平，然后以間接原料供應模型為基礎，通過共享努力合同的設計以提高學校和教師雙方的努力程度，最終達到動態最優化。

Abstract： The problem of how to improve research level has puzzled the private colleges and universities in China for a long time. The most emphasis is how to incentive the research products level of teachers by optimal control. Based on the model by optimal control and indirect materials in supply Chains， to design a shared-exert contract may make great efforts both institutions and teachers， and improve research products level finally.

關鍵詞： 最優控制；共享努力合同；間接原料供應；民辦高校

Key words： optimal control；shared-exert contracts；indirect materials in supply chains；private colleges & universities

中圖分類號：G463 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2014）21-0010-03

0 引言

我國民辦高校已成為中國高等教育的重要組成部分，為社會培養了大量優秀人才。在與公辦大學共同發展的過程中，二者隱隱形成了“公辦大學以科研為主，民辦大學以教學為主”的分工趨勢。然而，在民辦高校綜合實力評價指標體系中，直接科研指標權重為9.05%（研究所建設2.89%；近三年重要科研項目2.12%；近三年所獲重要科研成果2.03%；近三年所獲重要科研獎勵2.01%）①，與科研相關的間接指標權重為20.33%（專任教授、副教授數3.74%；專任教授、副教授占專任教師比例4.53%；國家級、部省級重點學科4.11%；國家級、部省級特色專業3.99%；國家級、部省級精品課程3.96%）。②因此，加強科研管理，提高科研數量與質量已成為我國各民辦高校提升其核心競爭力的重要手段。

我國民辦高校長期以來在科研工作方面做出了很多的努力，然而效果始終不理想。究其原因，主要存在三個方面的制約：首先，我國民辦高校收入來源單一，主要來自于學雜費收入。一方面，在保證教學經費充裕的同時還要投入資金建設大量的實驗實訓基地以提升教學品質。另一方面，不斷完善的校園基建工程資金投入巨大，絕大部分建設通過外部借貸完成，償債壓力較大。其次，由于我國民辦高校辦學歷史較短，難以形成深厚的文化積淀，其社會認可度和美譽度都有待提升。最后，由于多種原因，在與公辦學校的人才競爭中，民辦高校明顯處于劣勢，很難吸引優秀的科研人才。相較之下，民辦高校師資力量單薄以至于難以產生優秀的科研團隊。

科研工作的最終生產者是教師。在以教學為主的民辦高校中，保證教學任務的順利完成是教師工作的首要任務。科研工作不是教師的首要工作任務，卻能夠影響學校的辦學實力進而影響其經營業績。為解決這一矛盾，作為需求方的學校必須購買教師的科研產品，即對科研工作支付報酬。然而對作為供給方的教師而言，科研產品的生產是要付出成本的，因此，教師的努力程度決定了科研產品的供給。

1 模型設計

1.1 最優科研投入的模型的構建 假設民辦高校的唯一收入來源是學費收入，單位學費為f（fee）；G為民辦高校的科研實力，G（t）為t時刻的科研實力的存量；Z為其他影響學校收入變化的因素。由此可以認為，學生人數Q取決于學費的高低、學校科研實力和其他一些因素，即Q=Q（p，G，Z）。學校為提升科研實力，必須進行科研投入，則u=u（t）？叟0表示t時刻學校的科研投入。科研實力的變化取決于科研的猶如水平和科研存量的變化。假設科研產品存在時效性，上一時刻的科研存量在下一時刻將會存在折價現象，即當u=0時，G（t）=δG（t-1）。由此，可以得到狀態方程：

■=u-δG，G（0）=G0（1）

假設教育的成本C=C（Q），那么在不存在科研投入時學校的凈收益R可以表示為：

R（f，G，Z）=Q（f，G，z）p-C（Q）（2）

為使得R最大化，則：

■=Q+■f-C■■（3）

將教育的需求價格彈性定義為η=-■■，通過公式（3）可以得到最優學費f*：

f*=■（4）

即教育的邊際成本CQ（Q）等于邊際收益■f*。

在最優學費水平下，定義π（G，Z）=R（f*，G，Z），為研究科研投入與學校經營之間的關系，假定其他影響因素Z是給定的，那么最優控制問題就可以表述為：

max■J=■e■[π（G）-u]dt subject to ■=u-δG，G（0）=G■（5）

構建Hamiltonian對其求解：

H=π（G）-u+λ（u-δG）（6）

■=ρλ-■=（ρ+δ）λ-■（7）

■■λ（t）=0（8）

定義β為學生人數Q對科研實力G的彈性，即

β=■■，根據公式（2）、（3）、（7）可得到：

G*=■（9）

由公式（6）對H求■=0，可得到λ=λ=1，由公式（7）得到■=0，代入公式⑼可以求解的唯一的最優科研水平G：

G=■（10）

1.2 最優科研投入下的共享努力合同設計 定義u*=δG，假設科研產品是非直接原料；教師作為非直接原料的供給方，供給量為yi，其中i代表不同級別的科研產品i=（1，2，…，n）；單位生產成本為cci；學校作為非直接原料的需求方為每單位的科研產品支付pi的價格給供給方，同時以csi的處理成本將之轉化為最終產品；esi是供給方的努力水平，eci是需求方的努力水平，雙方努力越多，科研產品的產出越多，即：

■（e■，e■）？叟0，■（e■，e■）？叟0（11）

但是產出的增量卻隨努力程度的增加而遞減，即：

■（e■，e■）？燮0，■（e■，e■）？燮0（12）

同時，假設供給方的成本csi（esi）和需求方的成本cci（eci）取決于各自的努力程度，其中，csi（0）=0，cci（0）=0；努力程度越高，所付出的成本也就越大，即：

csi′（esi）>0，cci′（eci）>0（13）

且隨著努力地增加，其邊際成本也是遞增的，即：

csi″（esi）>0，cci″（eci）>0（14）

1.2.1 無激勵合同下的納什均衡

πc（esi、eci）、πs（esi、eci）和π分別為需求方（學校）、供給方（教師）和總的利潤函數：

π■（e■，e■）=δ■-∑p■y■（e■，e■）-∑c■（e■）y■（e■，e■）π■（e■，e■）=∑p■y■（e■，e■）-∑c■（e■）y■（e■，e■）π（e■，e■）=δ■-∑[c■（e■）+c■（e■）]y■（e■，e■）（15）

作為理性經濟人，需求方（學校）追求自身收益的最大化，則：

■=■-∑p■■+y■（e■，e■）■+c■（e■）■=0，

將公式（4）和（10）帶入，整理得：

■=■-∑y■（e■，e■）∑■■（16）

現實情況中往往是需求方（學校）提出科研生產要求以及對應的補償措施，即需求方（學校）先行作出決策，供給方（教師）針對需求方（學校）的努力程度決定自己的決策選擇。需求方（學校）努力程度es既定的情況下，供給方（教師）追求自身利益最大化而確定自身的努力水平，則：

■=∑p■-c■（e■）■-∑yi（esi，eci）■=0，

整理得：■=∑■■（17）

因此，得到納什均衡（■，■），其中：

es*（eci）=arg max■∏■（e■，e■），

ec*（esi）=arg max■∏■（e■，e■），

且根據納什均衡的存在性，必須滿足：

∏s（■，■）？叟∏■（e■，■），對所有的esi∈[0，1]，且■esi∈[0，1]；∏c（■，■）？叟∏■（■，e■），對所有的eci∈[0，1]，且

■eci∈[0，1]。

1.2.2 努力共享合同下的納什均衡解 為了提高供給方（教師）的努力程度，需求方（校方）往往多會對教師設定科研工作設定基本任務，對完成任務追加獎勵而對未完成任務的則給予懲罰，即設計合同T。假設對科研i單位獎勵的追加為ai，懲罰為t，問題的關鍵就在于ai的設計。

由于引入了合同T（y）=∑aiyi-t，則雙方的收益函數都產生了變化，即：

π■（e■，e■，ai）=δ■-∑p■y■（e■，e■）-∑c■（e■）y■（e■，e■）-∑aiyi（esi，eci）+tπ■（e■，e■，ai）=∑[p■y■（e■，e■）+aiyi（esi，eic）-c■（e■）y■（e■，e■）]-tπ（e■，e■）=δ■-∑[c■（e■）+c■（e■）]y■（e■，e■）（18）

雙方追求自身利益的最大化，則：

■=■-∑p■■+y■（e■，e■）■+c■（e■）■+a■■=0，■=∑[p■+a■-c■（e■）]■-y■（e■，e■）■=0；

整理得：

■=■-∑y■（e■，e■）∑■■（19）

■=∑■■（20）

根據假設中的公式（1）和公式（3），由于產量∑yi（esi，eci）>0，且∑yi（esi，eci）<■，可得到：

pi+ai+cci（eci）>0，pi+ai-csi（esi）>0；

整理得：ai>（pi-csi）（21）

1.3 模型分析

①科研投入水平的最優控制。對最優科研水平存量G的措施是盡快進行科研投入，使得科研水平G=G。如果初始科研水平小于最優水平，即G00之后的最佳投入u*=u=δG，使得總體科研存量保持在G；如果初始科研水平大于最優水平，即G0>G，那么最優控制的策略是先期對科研不進行投入，即u*（t）=0，直到科研存量G=G時，保持u*（t）=δG的投如以控制總體科研存量G=G。

②努力共享合同的存在性。根據公式（21），如果存在ai>（pi-csi），那么總存在一個努力共享合同，并且在努力共享合同下得到納什均衡（■，■，ai），其中：

es*（eci，ai）=arg max■∏■（e■，e■，ai）（22）

ec*（esi，ai）=arg max■∏■（e■，e■，ai）（23）

③努力合同下的收益。根據公式（16）和（18），在相同產量水平下，需求方（校方）的成本增加了T，這一損失正好是供給方（教師）收益的增量（公式（16）和（18））。由公式（7）和（16）共同決定了，努力合同設計后所得到的總利潤至少與沒有合同時所得到的利潤一樣高。

④ai的取值對供求雙方的影響。當aipi-cci，當ai趨向于pi-cci則供給方（教師）努力越高而需求方（校方）努力越低；ai遠離pi-cci則需求方（校方）努力越高而供給方（教師）努力越低。

2 結論

2.1 u*的選擇 民辦學校建校初期往往都存在科研水平較低的普遍現象，在資金有限的情況下大家又都普遍認為先期科研投入并不重要，等發展到一定程度有了剩余資金以后再來彌補。根據最優控制得到的結果就是在G0

2.2 動態最優化原則下的ai 在科研管理制度中對各類科研成果作出明確獎勵，且獎勵水平也以公辦高校作為參照。這樣的設計并不能對民辦高校起到很好的作用。制度中明確獎勵是必須的，但是不能明確獎勵項目和內容。校方做出獎勵決策后，教師將以此為依據選擇最符合自身利益的努力水平。隨著時間變量的改變，在制度不能輕易改變的情況下，校方將處于被動。根據動態最優化原則，民辦高校應該根據自身發展的需要對每個階段設計不同的激勵合同。

2.3 變和博弈設計中的cc 無論合同涉及如何，模型本身都是一個常和博弈。即一方之所得就是另一防治所失，t（y）總是游走于供求雙方。可以通過改變使得模型變為一個變和博弈，思路在于如何將校方為科研產出努力的成本轉嫁到模型之外。很多公辦高校對教師采用“評聘分離”的聘任制度有一定的借鑒意義，即工作能力變量取代職稱變量作為聘任標準。但是在民辦高校綜合實力評價指標體系中，8.27%（專任教授、副教授數3.74%；專任教授、副教授占專任教師比例4.53%）的權重用于職稱變量。同一職稱水平下，對科研產出水平較高的教師支付更高的教學工資既不會增加科研成本的投入，又能夠激勵教師科研水平的努力程度，同時不會因此對職稱變量產生影響，能夠取得較好的效果。然而，這種設計仍然必須遵循動態最優化原則。

2.4 創新科研思路cs 民辦高校開展校本研究的真正創新在于結合自身資源的優勢開展科學的應用研究。例如，為了增強學生的就業優勢，民辦高校的一大特點在于建設大量模仿真實生產環境的實驗實訓基地，同時配備實踐經驗豐富的“雙師型”教師。利用其強大的實驗實訓體系，依托其師資的特性，各個專業學科都可以在已有的學術理論下通過其應用教學中的實驗實訓開展生產方法創新的應用研究。教師能夠揚長避短，在降低單位努力成本的同時并不會減少科研產品的產出。而且，其科研產出更能做到“產學研”的結合。學校所需要付出的努力在于如何對教師展開科技查新、前沿技術運用等培訓工作。

注釋：

①“中國民辦高校綜合實力評價研究”發布：中國民辦高校綜合實力排名http：//www.chinambedu.com/jyzx/2011/07/103737.html.

②“中國民辦高校綜合實力評價研究”發布：中國民辦高校綜合實力排名http：//www.chinambedu.com/jyzx/2011/07/103737.html.

參考文獻：

[1]Corbett CJ；DeCroix GA. Shared-savings contracts for indirect materials in supply chains： Channel profits and environmental impacts[J]. MANAGEMENT SCIENCE.vol： 47page： 7： 881-893 DOI： 10.1287/mnsc.47.7.881.9802.JUL 2001.

[2]hattacharyya， S.， F. Lafontaine. Double-sided moral hazardand the nature of share contracts[J]. RAND J. Econom，1995，26：761-781.

[3]Cachon， G.P.， P.H. Zipkin. Competitive and cooperative inventory policies in a two-stage supply chain[J]. Management Sci，1999，45（7）：936-953.

[4]Fleischmann， M.， J.M. Bloemhof-Ruwaard， R. Dekker， E. van der Laan， J.A.E.E. van Nunen， L.N. Van Wassenhove.Quantitative models for reverse logistics： A review[J]. Eur. J. Oper.Res，1997，103：1-17.

[5]Fudenberg， D.， J. Tirole. 1991. Game Theory. The MIT Press，Cambridge， Massachusetts.Hart， S.L. Beyond greening： Strategies for a sustainable world[J].Harvard Bus. Rev，1997，75（1）：66-76.

[6]Lippman， S.A.， J.W. Mamer， K.F. McCardle. Comparative statics in non-cooperative games via transfinitely iterated play[J].J. Econom. Theory，1987，41：288-307.

④ai的取值對供求雙方的影響。當aipi-cci，當ai趨向于pi-cci則供給方（教師）努力越高而需求方（校方）努力越低；ai遠離pi-cci則需求方（校方）努力越高而供給方（教師）努力越低。

2 結論

2.1 u*的選擇 民辦學校建校初期往往都存在科研水平較低的普遍現象，在資金有限的情況下大家又都普遍認為先期科研投入并不重要，等發展到一定程度有了剩余資金以后再來彌補。根據最優控制得到的結果就是在G0

2.2 動態最優化原則下的ai 在科研管理制度中對各類科研成果作出明確獎勵，且獎勵水平也以公辦高校作為參照。這樣的設計并不能對民辦高校起到很好的作用。制度中明確獎勵是必須的，但是不能明確獎勵項目和內容。校方做出獎勵決策后，教師將以此為依據選擇最符合自身利益的努力水平。隨著時間變量的改變，在制度不能輕易改變的情況下，校方將處于被動。根據動態最優化原則，民辦高校應該根據自身發展的需要對每個階段設計不同的激勵合同。

2.3 變和博弈設計中的cc 無論合同涉及如何，模型本身都是一個常和博弈。即一方之所得就是另一防治所失，t（y）總是游走于供求雙方。可以通過改變使得模型變為一個變和博弈，思路在于如何將校方為科研產出努力的成本轉嫁到模型之外。很多公辦高校對教師采用“評聘分離”的聘任制度有一定的借鑒意義，即工作能力變量取代職稱變量作為聘任標準。但是在民辦高校綜合實力評價指標體系中，8.27%（專任教授、副教授數3.74%；專任教授、副教授占專任教師比例4.53%）的權重用于職稱變量。同一職稱水平下，對科研產出水平較高的教師支付更高的教學工資既不會增加科研成本的投入，又能夠激勵教師科研水平的努力程度，同時不會因此對職稱變量產生影響，能夠取得較好的效果。然而，這種設計仍然必須遵循動態最優化原則。

2.4 創新科研思路cs 民辦高校開展校本研究的真正創新在于結合自身資源的優勢開展科學的應用研究。例如，為了增強學生的就業優勢，民辦高校的一大特點在于建設大量模仿真實生產環境的實驗實訓基地，同時配備實踐經驗豐富的“雙師型”教師。利用其強大的實驗實訓體系，依托其師資的特性，各個專業學科都可以在已有的學術理論下通過其應用教學中的實驗實訓開展生產方法創新的應用研究。教師能夠揚長避短，在降低單位努力成本的同時并不會減少科研產品的產出。而且，其科研產出更能做到“產學研”的結合。學校所需要付出的努力在于如何對教師展開科技查新、前沿技術運用等培訓工作。

注釋：

①“中國民辦高校綜合實力評價研究”發布：中國民辦高校綜合實力排名http：//www.chinambedu.com/jyzx/2011/07/103737.html.

②“中國民辦高校綜合實力評價研究”發布：中國民辦高校綜合實力排名http：//www.chinambedu.com/jyzx/2011/07/103737.html.

參考文獻：

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[6]Lippman， S.A.， J.W. Mamer， K.F. McCardle. Comparative statics in non-cooperative games via transfinitely iterated play[J].J. Econom. Theory，1987，41：288-307.

④ai的取值對供求雙方的影響。當aipi-cci，當ai趨向于pi-cci則供給方（教師）努力越高而需求方（校方）努力越低；ai遠離pi-cci則需求方（校方）努力越高而供給方（教師）努力越低。

2 結論

2.1 u*的選擇 民辦學校建校初期往往都存在科研水平較低的普遍現象，在資金有限的情況下大家又都普遍認為先期科研投入并不重要，等發展到一定程度有了剩余資金以后再來彌補。根據最優控制得到的結果就是在G0

2.2 動態最優化原則下的ai 在科研管理制度中對各類科研成果作出明確獎勵，且獎勵水平也以公辦高校作為參照。這樣的設計并不能對民辦高校起到很好的作用。制度中明確獎勵是必須的，但是不能明確獎勵項目和內容。校方做出獎勵決策后，教師將以此為依據選擇最符合自身利益的努力水平。隨著時間變量的改變，在制度不能輕易改變的情況下，校方將處于被動。根據動態最優化原則，民辦高校應該根據自身發展的需要對每個階段設計不同的激勵合同。

2.3 變和博弈設計中的cc 無論合同涉及如何，模型本身都是一個常和博弈。即一方之所得就是另一防治所失，t（y）總是游走于供求雙方。可以通過改變使得模型變為一個變和博弈，思路在于如何將校方為科研產出努力的成本轉嫁到模型之外。很多公辦高校對教師采用“評聘分離”的聘任制度有一定的借鑒意義，即工作能力變量取代職稱變量作為聘任標準。但是在民辦高校綜合實力評價指標體系中，8.27%（專任教授、副教授數3.74%；專任教授、副教授占專任教師比例4.53%）的權重用于職稱變量。同一職稱水平下，對科研產出水平較高的教師支付更高的教學工資既不會增加科研成本的投入，又能夠激勵教師科研水平的努力程度，同時不會因此對職稱變量產生影響，能夠取得較好的效果。然而，這種設計仍然必須遵循動態最優化原則。

2.4 創新科研思路cs 民辦高校開展校本研究的真正創新在于結合自身資源的優勢開展科學的應用研究。例如，為了增強學生的就業優勢，民辦高校的一大特點在于建設大量模仿真實生產環境的實驗實訓基地，同時配備實踐經驗豐富的“雙師型”教師。利用其強大的實驗實訓體系，依托其師資的特性，各個專業學科都可以在已有的學術理論下通過其應用教學中的實驗實訓開展生產方法創新的應用研究。教師能夠揚長避短，在降低單位努力成本的同時并不會減少科研產品的產出。而且，其科研產出更能做到“產學研”的結合。學校所需要付出的努力在于如何對教師展開科技查新、前沿技術運用等培訓工作。

注釋：

①“中國民辦高校綜合實力評價研究”發布：中國民辦高校綜合實力排名http：//www.chinambedu.com/jyzx/2011/07/103737.html.

②“中國民辦高校綜合實力評價研究”發布：中國民辦高校綜合實力排名http：//www.chinambedu.com/jyzx/2011/07/103737.html.

參考文獻：

[1]Corbett CJ；DeCroix GA. Shared-savings contracts for indirect materials in supply chains： Channel profits and environmental impacts[J]. MANAGEMENT SCIENCE.vol： 47page： 7： 881-893 DOI： 10.1287/mnsc.47.7.881.9802.JUL 2001.

[2]hattacharyya， S.， F. Lafontaine. Double-sided moral hazardand the nature of share contracts[J]. RAND J. Econom，1995，26：761-781.

[3]Cachon， G.P.， P.H. Zipkin. Competitive and cooperative inventory policies in a two-stage supply chain[J]. Management Sci，1999，45（7）：936-953.

[4]Fleischmann， M.， J.M. Bloemhof-Ruwaard， R. Dekker， E. van der Laan， J.A.E.E. van Nunen， L.N. Van Wassenhove.Quantitative models for reverse logistics： A review[J]. Eur. J. Oper.Res，1997，103：1-17.

[5]Fudenberg， D.， J. Tirole. 1991. Game Theory. The MIT Press，Cambridge， Massachusetts.Hart， S.L. Beyond greening： Strategies for a sustainable world[J].Harvard Bus. Rev，1997，75（1）：66-76.

[6]Lippman， S.A.， J.W. Mamer， K.F. McCardle. Comparative statics in non-cooperative games via transfinitely iterated play[J].J. Econom. Theory，1987，41：288-307.