基于Solid works平面與平面立體交線求解辨析

王小剛 WANG Xiao-gang

（揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，揚(yáng)州 225127）

（School of Mechanical Engineering，Yangzhou Polytechnic Institute，Yangzhou 225127，China）

0 引言

工程圖樣是表達(dá)和交流技術(shù)思想的重要工具，是工程界的技術(shù)語(yǔ)言，掌握繪制工程圖樣的基本理論和方法是工科高等學(xué)校學(xué)生的基本技能。《畫法幾何》是工程制圖與識(shí)圖的基礎(chǔ)，它研究如何在平面上圖示空間物體和圖解空間幾何問(wèn)題，為用平面圖樣完整表達(dá)空間物體提供基礎(chǔ)。

《畫法幾何》主要分析方法可歸納為二方面，一是“圖示法”，研究在二維平面上表達(dá)三維空間形體的方法；二是“圖解法”，研究在平面上利用圖形來(lái)解決空間幾何體的方法。

1 基本問(wèn)題

畫法幾何用來(lái)培養(yǎng)空間邏輯思維和想象能力，要求在學(xué)習(xí)過(guò)程中必須將平面上的投影與想象的空間幾何元素結(jié)合起來(lái)，形成二維與三維的轉(zhuǎn)換。在教學(xué)實(shí)踐中使用機(jī)械工業(yè)出版社由李俊武主編、2011年1月第2版的《工程制圖習(xí)題集》，該習(xí)題冊(cè)第34頁(yè)題設(shè)為“平面與平面立體交線、補(bǔ)畫第三視圖”，其中第6題（如圖1）。本題設(shè)計(jì)初衷良好，意在培養(yǎng)空間邏輯思維和想象能力，但學(xué)生在求解過(guò)程中理解難度較大。

圖1 補(bǔ)畫第三視圖

2 問(wèn)題辨析

平面立體被截平面切割后所得的截交線，是由直線段組成的平面多邊形。多邊形的各邊是立體表面與截平面的交線，而多邊形的各頂點(diǎn)是立體各棱線與截平面的交點(diǎn)。截交線具有二條重要的性質(zhì)，“共有性”是截平面和立體表面的共有線，截交線上任何一點(diǎn)都是截平面和立體表面的共有點(diǎn)；“封閉性”是封閉的平面圖形。因此，求截交線實(shí)際是求截平面與平面立體各棱線的交點(diǎn)，或求截平面與平面立體各表面的交線。

平面立體的截交線是一個(gè)封閉的平面多邊形如圖2（a），它的頂點(diǎn)是平面體的棱線（或底邊）與截平面的交點(diǎn)，它的邊是平面立體表面與截平面的交線。因此，平面立體截交線的求法有兩種，一為求各棱線的交點(diǎn)，然后依次連接各交點(diǎn)，并判別可見(jiàn)性；二是求各棱面上的交點(diǎn)，并判別可見(jiàn)性，基本分析方法如圖2（c）所示。

圖2 切口三棱錐截交線分析

此切割體是由兩平面截切產(chǎn)生的。截面P與三棱錐前后棱面的交線為一般位置線；截面Q為水平面，與三棱錐底面平行，故由截面Q產(chǎn)生的截交線平行于三棱錐底面的對(duì)應(yīng)邊，其水平投影為真實(shí)性，為三邊形，正面、側(cè)面投影位積聚性，為一直線段；P面為正垂面，截交線為三邊形，其截交線的正面投影具有積聚性，水平和側(cè)面投影為類似形。P、Q面的交線為正垂線。

筆者在教學(xué)時(shí)對(duì)圖1分析過(guò)程首先根據(jù)題設(shè)利用圖解法，進(jìn)行造型。再次運(yùn)用圖示法，用三視圖表達(dá)造型，與題設(shè)相互驗(yàn)證。

2.1 依據(jù)主視圖進(jìn)行圖解 依據(jù)主視圖進(jìn)行分析，其基本形體為四棱臺(tái)，后經(jīng)一面切割形成，由此運(yùn)用Solid works建立形體如圖3（a）所示。運(yùn)用Solid works工程圖工具，對(duì)依據(jù)主視圖進(jìn)行切割后得到形體進(jìn)行三視圖表達(dá)如圖3（b）所示，得到俯視圖中三解形與題設(shè)俯視圖為粗實(shí)線不符。

2.2 依據(jù)俯視圖進(jìn)行圖解 依據(jù)俯視圖粗實(shí)線表達(dá)，主視圖進(jìn)行分析，其基本形體為四棱臺(tái)，后經(jīng)切割形成，切割面起點(diǎn)發(fā)生變化，由此運(yùn)用Solid works建立形體如圖3（a）所示。運(yùn)用Solid works工程圖工具，對(duì)依據(jù)主視圖進(jìn)行切割后得到形體進(jìn)行三視圖表達(dá)如圖4所示，得到俯視圖中的粗實(shí)線，出現(xiàn)主視圖短水平線消失問(wèn)題。

圖3 依據(jù)主視圖進(jìn)行圖解

圖4 依據(jù)俯視圖進(jìn)行圖解

基于以上二點(diǎn)分析，學(xué)生基本認(rèn)識(shí)為“題設(shè)錯(cuò)誤”。

2.3 主、俯視圖結(jié)合進(jìn)行圖解 基于以上二點(diǎn)分析，可進(jìn)一步解析，基本體為四棱臺(tái)的深化形式，其底面為四邊形，上表面演化為一直線，運(yùn)用Solid works的放樣或掃描功能，建立如圖5所示基本形體。

圖5 主、俯視圖結(jié)合進(jìn)行圖解構(gòu)建形體

利用Solid works功能構(gòu)造此基本形體，極大解決了在教學(xué)中語(yǔ)言表達(dá)對(duì)形體描述的單一性，令學(xué)生直觀、快速地掌握構(gòu)建形態(tài)。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行切割，得到如圖6所示三視圖，觀察俯視圖發(fā)現(xiàn)，傾斜切割部分所得并非原題的粗直線，特別是左側(cè)部分曲線比較明顯，由此，進(jìn)一步推進(jìn)分析，將四棱臺(tái)分解為左右二部分進(jìn)行構(gòu)建。

圖6 主、俯視圖結(jié)合進(jìn)行圖解三視圖

2.4 左右分離式圖解 針對(duì)2.3中分析的結(jié)果，運(yùn)用Solid works的放樣或掃描功能，建立如圖7（a）所示基本形體，其中左側(cè)為三棱錐，右側(cè)為非規(guī)則形體，近似一端打開(kāi)的書本放置在桌面，如圖7（b）。

圖7 左右分離式圖解構(gòu)建形體

此形體在教學(xué)中基本無(wú)法以語(yǔ)言表達(dá)進(jìn)行精確描述，利用Solid works功能構(gòu)造此基本形體，令學(xué)生準(zhǔn)確地掌握構(gòu)建形態(tài)。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行切割，得到如圖8所示三視圖，觀察俯視圖發(fā)現(xiàn)，傾斜切割左側(cè)部分曲線變化為粗直線。

圖8 左右分離式圖解三視圖

3 初步結(jié)論

截交線的形狀取決于幾何體的表面性質(zhì)及截平面相對(duì)幾何體的位置，求截交線的實(shí)質(zhì)上就是求截平面與立體表面的共有點(diǎn)。通過(guò)以上分析，可以明確平面立體截?cái)囿w上截交線的畫法分三步，一是補(bǔ)畫基本體完整的三視圖；二是分析截交線平面多邊形的邊數(shù)，畫出各個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)的投影，同名投影連線；三是整理、描深截?cái)囿w的投影。

圖1所在頁(yè)題設(shè)為“平面與平面立體的交線”，其中“平面立體”是表面都是平面多邊形，常見(jiàn)的有棱柱和棱錐兩種。仔細(xì)分析圖7的俯視圖，與題設(shè)比較發(fā)現(xiàn)傾斜切割右側(cè)部分曲線依然存在，分析具體原因?yàn)橛覀?cè)形體由底面三角形向上變化為一直線，此時(shí)前、后二面并非平面而是曲面，因此得到的截交線是曲線。由此初步得出結(jié)論為“題設(shè)表達(dá)不明晰”。

通過(guò)Solid works造型功能運(yùn)用圖解法，極大完善了教學(xué)過(guò)程的信息傳達(dá)，使用學(xué)生直觀、快速、精確掌握分析過(guò)程；利用Solid works的“工程圖”功能運(yùn)用圖示法，將得到信息與原題設(shè)比對(duì)，逐步推進(jìn)辨析過(guò)程，使學(xué)生平穩(wěn)、漸進(jìn)掌握分析結(jié)果。通過(guò)以上教學(xué)過(guò)程既提高了學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平，更能提高學(xué)生的思辨能力。

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