修改的（G′/G）-展開方法與Sharma-Tasso-Olver方程的行波解

馬志民, 孫峪懷

（1.成都理工大學 工程技術學院基礎部,四川 樂 山614000； 2.四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院,四川 成 都610066）

形如

的Sharma-Tasso-Olver方程［1-2］,首次是由A.S.Sharma和H.Tasso［1］作為Burgers方程族的一個推廣提出的,這里α是任意實數(shù),u（x,t）是依賴時間變量t和空間變量x的未知函數(shù).該方程作為一個重要的數(shù)理模型,引起了數(shù)理學家們的廣泛關注.文獻［3-6］探討了Sharma-Tasso-Olver方程的對稱性并構造了該方程的一些孤立波解和周期解,其中在文獻［6］中還討論了尋找Sharma-Tasso-Olver方程行波解中常見的幾種問題.近年來,已經有許多有效的方法［7-16］應用在非線性偏微分方程行波解的構造中,如推廣的Riccati方程法［7-8］、廣義的輔助微分方程法［9］、試探函數(shù)法［10］、其次平衡法［11］和定性理論的相平面分析法［12］等.在2008年,M.L.Wang等［13］提出了一種名為（G′/G）-展開法來構造非線性偏微分方程的行波解.利用此方法,許多非線性偏微分方程的行波解［14-15］已經被獲得.此后,A.R.Shehata［16］對（G′/G）-展開法做了修改,使這一修改方法獲得的行波解結構更為廣義,也更符合物理背景.下面先將介紹這種修改的（G′/G）-展開法構造非線性偏微分方程的行波解的具體過程.

1 修改的（G′/G）-展開方法的描述

考慮下面的非線性偏微分方程

其中,ai（i＝0,1,2…）,c是待定量,正整數(shù)m可以通過平衡方程（3）中的最高次耗散項和最高次非線性項來確定,G滿足如下的常微分方程

其中,λ、μ是常數(shù).

將（4）式代入到方程（3）,然后令（G′/G）i（i＝1,2,…,m）的各次冪系數(shù)為零,得到一個關于ai、c的代數(shù)方程組.借助Maple求解這個代數(shù)方程組,并利用方程（5）的解［15］,獲得方程（2）的行波解.下面具體應用此方法來探討Sharma-Tasso-Olver方程.

2 方程（1）的解

要得到方程（1）的解,首先將變換

借助Maple解上面的代數(shù)方程組,得到a-1、a0、a1和c為如下的結果:

結果1:a-1＝-μ,a0＝0,a1＝1,c＝α λ2-4α μ；

結果2:a-1＝0,a0＝λ,a1＝2,c＝α λ2-4α μ；

結果3:a-1＝-2μ,a0＝-λ,a1＝0,c＝α λ2-4α μ.這里,令Δ＝λ2-4μ.

將結果1代入到（8）式,從而得到方程（1）有如下形式的解:

情況1當Δ＞0,方程（1）有如下的雙曲函數(shù)形式解

情況2當Δ＜0,方程（1）有如下的三角函數(shù)形式解

情況3當Δ＝0,方程（1）的解沒有意義.

將結果2代入到（8）式,從而得到方程（1）有如下形式的解.

情況4當Δ＞0,方程（1）有如下的雙曲函數(shù)形式解

情況5當Δ＜0,方程（1））有如下的三角函數(shù)形式解

情況6當Δ＝0,方程（1）的解沒有意義.

將結果3代入到（8）式,從而得到方程（1）有如下形式的解.

情況7當Δ＞0,方程（1）有如下的雙曲函數(shù)形式解

情況8當Δ＜0,方程（1）有如下的三角函數(shù)形式解

情況9當Δ＝0,方程（1）的解沒有意義.

3 結論

通過使用修改的（G′/G）-展開法得到了廣義Sharma-Tasso-Olver方程的多種新的行波解,在對其中一些解的相關系數(shù)做特殊的變換后可以得到了幾種孤立子解形式.在這些結果中u3和u4與文獻［4］是類似的,但u1、u2、u5和u6還沒有在其它文獻中出現(xiàn)過.由上述可知該方法對Sharma-Tasso-Olver方程行波解的構造是非常有力的.

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