弱 Gorenstein FP-內射模

陳文靜, 楊曉燕

（西北師范大學數學與統計學院,甘肅 蘭州730070）

1 引言及預備知識

令R是具有單位元的結合環,所有涉及的模均是酉模.對任意的模M,用M+表示模M的示性模HomZ（M,Q/Z）.對未作解釋的標記、事實和概念,參見文獻［1-2］.

E.E.Enochs等［3］引入了 Gorenstein 平坦模的概念.E.E.Enochs等［4］在一般環上引入了Gorenstein投射模和Gorenstein內射模的概念.近年來,眾多學者對Gorenstein投射模、Gorenstein內射模和Gorenstein平坦模進行了大量的研究,參見文獻［5-9］.D.Bennis 等［10］引入了強 Gorenstein 投射模、強Gorenstein內射模和強Gorenstein平坦模的概念.他們證明了一個模是Gorenstein投射（內射）的當且僅當它是一個強Gorenstein投射（內射）模的直和項.

Z.H.Gao 等［11］引入了 Gorenstein FP-內射模的概念,利用Gorenstein FP-內射模對FP-自內射凝聚環進行了刻畫.Z.H.Gao［12］引入了弱Gorenstein投射模、弱Gorenstein內射模和弱Gorenstein平坦模的概念,通過這些模類對QF環和FC環進行了刻畫.同時引入了弱Gorenstein FP-內射模的概念,證明了在左凝聚環上如果M是弱Gorenstein FP-內射左R-模,那么M+是弱Gorenstein平坦右 R-模.Z.H.Gao［13］引入了強 Gorenstein FP-內射模的概念,通過強Gorenstein FP-內射模對FC環進行了刻畫.

本文研究了弱Gorenstein FP-內射模,證明了凝聚環上弱Gorenstein FP-內射模是強Gorenstein FP-內射模的直和項,利用弱Gorenstein FP-內射模對FP-自內射環進行了刻畫,討論了凝聚環上FP-內射模類、Gorenstein FP-內射模類和弱Gorenstein FP-內射模類之間的聯系.

首先回顧一些概念.稱左R-模M是FP-內射（或絕對純）的［14-15］,如果對任意有限表示左R-模P,.左R-模M的FP-內射維數FP-idR（M）定義為使得的最小的 n.環 R的左 FP-內射整體維數 l.FP-dim（R）定義為所有左R-模的FP-內射維數的上確界.稱左R-模M是Gorenstein FP-內射模［11］,如果存在一個FP-內射左R-模的正合列

使得,并且對任意投射維數有限的有限表示左R-模P,HomR（P,E）是正合的.稱左R-模M是強Gorenstein FP-內射模［13］,如果存在一個FP-內射左R-模的正合列

使得M?Im（f）,并且對任意投射維數有限的有限表示左R-模P,HomR（P,E）是正合的.

2 弱Gorenstein FP-內射模

命題2.9設R是左凝聚環,并且每個內射左R-模有有限的平坦維數.如果M是弱Gorenstein FP-內射左R-模,那么M+是Gorenstein平坦右R-模.

證明由文獻［11］的命題3.7和本文命題2.8,結論顯然.

稱R是n-FC環［17］,如果R是雙邊凝聚環且FP-idR（R）≤n,FP-id（R）R≤n.

推論2.10［12］設R是n-FC環.如果M是弱Gorenstein FP-內射左 R-模,那么M+是Gorenstein平坦右R-模.

推論2.11設R是 n-FC環.如果 M是Gorenstein FP-內射左 R-模,那么M+是Gorenstein平坦右R-模.

稱左R-模M是強余純平坦模［18］,如果對任意內射右R-模I及i≥1,

命題2.12設R是n-FC環,M是弱Gorenstein FP-內射左R-模,則以下等價:

1）M+是弱Gorenstein平坦右R-模；

2）M+是Gorenstein平坦右R-模；

3）M+是強余純平坦右R-模；

4） （M+）+是Gorenstein內射左R-模.

證明由推論2.10,M+是Gorenstein平坦右R-模.因為R是n-FC環,所以由文獻［12］的命題3.8 知,1）?2）?3）?4）.

命題得證.

定理2.13設R是任意環,則以下等價:

1）每個左R-模是弱Gorenstein FP-內射的；

2）每個投射左R-模是FP-內射的；

3）每個自由左R-模是FP-內射的；

4）環R是左FP-自內射的.

證明1）?2） 設P是投射左R-模.由1）,P是弱Gorenstein FP-內射左R-模.由命題2.3,存在短正合列,其中E是FP-內射左R-模,N是弱Gorenstein FP-內射左R-模.因為P是投射左R-模,所以短正合列0是可裂的.因此E?N⊕P.又因為E是FP-內射左R-模,所以由文獻［16］的引理2.1知,左R-模P是FP-內射的.

2）?1） 設M 是左 R-模,為M的一個內射分解,為M的一個投射分解.因為內射左R-模是FP-內射的,又由2）,每個投射左R

-模是FP-內射的,所以存在FP-內射左R-模的正合列

使得.因此 M 是弱 Gorenstein FP-內射的.

同理可證1）?3）.

3）?4） 設 F 是自由左R-模,則 F?R（A）.由文獻［16］的引理2.1,左R-模F是FP-內射的當且僅當左R-模R是FP-內射的.定理得證.

推論2.14設R是左凝聚環,則以下等價:

1）每個左R-模是弱Gorenstein FP-內射的；

2）每個左R-模是Gorenstein FP-內射的；

3）每個投射左R-模是FP-內射的；

4）每個自由左R-模是FP-內射的；

5）環R是左FP-自內射的.

證明由命題2.8和定理2.13,結論顯然.

注2.15已知,有限表示平坦模類與有限表示投射模類是同一個類.由定理2.13知,投射的FP-模類與自由的FP-模類是同一個類.因此有限表示自由的FP-模類、有限表示投射的FP-模類和有限表示平坦的FP-模類是同一個類.

稱左R-模M是Gorenstein內射模［3］,如果存在一個內射左R-模的正合列

使得,并且對任意內射左R-模Q,HomR（Q,E）是正合的.Gorenstein投射左R-模的定義是對偶的.

命題2.16設R是雙邊凝聚環,則以下等價:

1）環R是左FP-自內射的；

2）每個弱Gorenstein FP-內射左R-模是Gorenstein平坦的；

3）每個Gorenstein內射左R-模是Gorenstein平坦的；

4）每個內射左R-模是Gorenstein平坦的；

5）每個Gorenstein投射左R-模是弱Gorenstein FP-內射的；

6）每個投射左R-模是弱Gorenstein FP-內射的；

7）每個Gorenstein平坦左R-模是弱Gorenstein FP-內射的；

8）每個平坦左R-模是弱Gorenstein FP-內射的；

9）環R是FC環.

以上1）～8）等價于右的情形.

證明因為R是雙邊凝聚環,所以由命題2.8知,弱Gorenstein FP-內射左R-模是Gorenstein FP-內射的.因此由文獻［11］的定理3.6知,1）?2）?3）?4）?5）?6）?7）?8）.因為 R 是雙邊凝聚環,所以R是左和右FP-自內射的的當且僅當R是FC 環,所以1）?9）.

命題得證.

命題2.17FP-內射左R-模是弱Gorenstein FP-內射左R-模.反之,當R是左凝聚環且l.FP-dim（R）＜∞時,弱Gorenstein FP-內射左R-模是FP-內射左R-模.

證明由注2.2,只需證當R是左凝聚環且l.FP-dim（R）＜∞時,每個弱Gorenstein FP-內射左R-模是FP-內射左R-模.不失一般性,設l.FP-dim（R）＝m＜∞,下對m進行數學歸納.

1）若m＝0,則任意左R-模是FP-內射的,結論顯然.

2）假設m≥1.設M是弱Gorenstein FP-內射左R-模.由命題2.3,存在一個左R-模的正合列,其中每個Ei是FP-內射左R-模.設,則有是正合的.因為FP-idR（L）≤m,R是左凝聚環,所以由文獻［14］的引理3.1知,M是FP-內射左R-模.命題得證.

命題2.18設R是左凝聚環.如果l.FP-dim（R）＜∞,那么FP-內射模類,Gorenstein FP-內射模類,弱Gorenstein FP-內射模類是同一個類.

證明由命題2.8和命題2.17,結論顯然.

［1］ Anderson F W,Fuller K R.Rings and Categories of Modules［M］.New York:Springer-Verlag,1992.

［2］ Rotman J J.An Introduction to Homological Algebra［M］.London:Academic Press,1979.

［3］Enochs E E,Jenda O M G,Torrecillas B.Gorenstein平坦模［J］.南京大學學報數學半年刊,1993,10（1）:1-9.

［4］ Enochs E E,Jenda O M G.Gorenstein injective and projective modules［J］.Math Zeit,1995,220（1）:611-633.

［5］ Mao L X,Ding N Q.Gorenstein FP-injective and Gorenstein flat modules［J］.J Algebra Appl,2008,7:491-506.

［6］ Bennis D.Rings over which the class of Gorenstein flat modules is closed under extensions［J］.Commun Algebra,2009,37:855-868.

［7］ Yang X Y,Liu Z K.Gorenstein projective,injective and flat modules［J］.J Aust Math Soc,2009,87:395-407.

［8］ Bennis D,Mahdou N.Global Gorenstein dimension［J］.Proc Am Math Soc,2010,138:461-465.

［9］ Yang X Y,Liu Z K.Strongly Gorenstein projective,injective and flat modules［J］.J Algebra,2008,320（7）:2659-2674.

［10］ Bennis D,Mahdou N.Strongly Gorenstein projective,injective and flat modules［J］.J Pure Appl Algebra,2007,7:491-506.

［11］ Gao Z H,Wang F G.Coherent rings and Gorenstein FP-injective modules［J］.Commun Algebra,2012,40:1669-1679.

［12］ Gao Z H.Weak Gorenstein projective,injective and flat modules［J］.J Algebra Appl,2013,12（2）:3841-3858.

［13］ Gao Z H.On strongly Gorenstein FP-injective modules［J］.Commun Algebra,2013,41:3035-3044.

［14］ Stenstr? m B.Coherent rings and FP-injective modules［J］.J London Math Soc,1970,2:323-329.

［15］ Maddox B H.Absolutely pure modules［J］.Proc Am Math Soc,1967,18:155-158.

［16］ Jain S.Flat and FP-injectivity［J］.Proc Am Math Soc,1973,41:437-442.

［17］ Ding N Q,Chen J L.Coherent rings with finite self-FP-injective dimenson［J］.Commun Algebra,1996,24:2963-2980.

［18］ Enochs E E,Jenda O M G.Copure injective resolutions,flat resolvents and dimension［J］.Comment Math Univ Carolin,1993,34:203-211.