一類奇異三階兩點邊值問題正解的存在性

劉瑞寬

（西北師范大學數學與統計學院,甘肅 蘭州730070）

1 預備知識

三階微分方程在應用數學和物理等很多學科中有重要的應用,可以描述撓度彎曲的梁,有固定或改變交叉的部分,電磁波的傳播和重力驅動等,見文獻［1］.近年來,三階邊值問題已受到廣泛關注［2-8］.其中,文獻［2-3］中運用上下解方法研究了三階邊值問題正解的存在性,文獻［5-9］通過降階法和比較原理研究了三階兩點和多點邊值問題正解的存在性.特別地,文獻［10］運用Krasnoselskii's不動點定理研究了三階奇異邊值問題

正解的存在性與多解性.文獻［11-12］通過討論相應線性算子第一特征值,給出了三階兩點邊值問題的正解存在性結果.受以上文獻的啟發,本文考慮三階兩點邊值問題（1）正解的存在性,其中允許a（t）在t＝0或t＝1處有奇性.通過對相應線性算子第一特征值的討論,運用不動點指數理論獲得當f0、f0、f∞、f∞∈（0,+∞）時正解的存在性結果,對文獻［9］結果進行了補充,并且本文得到的結果是最優的.

為了方便,記

本文主要結果的證明基于下面的不動點指數理論.

定理1.1［13］設E是Banach空間,K?E為E中的一個錐.假設Ω為E中的有界開集,且T:K∩→K緊,則以下結論成立:

（i） 若存在 u0∈K＼｛θ｝,使得

u-Tu≠τ u0, u∈K∩?Ω, τ≥0,則不動點指數i（T,K∩Ω,K）＝0.

（ii） 若 u≠τ Tu,u∈K∩?Ω,τ≥1,則不動點指數 i（T,K∩Ω,K） ＝1.

本文的工作空間是 X:＝｛u∈C［0,1］:u（0）＝u′（0） ＝u″（1） ＝0｝,其在范數下構成 Banach空間.對于?r＞0,令 Br＝｛u∈C［0,1］:‖u‖ ＜r｝,?Br＝｛u∈C［0,1］:‖u‖ ＝r｝.定義X 中的錐 K ＝｛u∈X:u（t）≥0,t∈［0,1］｝,顯然 K為X中的非負錐.為了得到更好的結果,對于?0＜τ＜1,定義如下的錐

2 主要結果及證明

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