一類廣義分式規劃的最優性條件和對偶

張彩芬, 吳澤忠

（成都信息工程學院 應用數學學院,四川成都610225）

設Rn表示n維空間,Rn+表示它的非負象限.文獻［1］考慮了如下規劃:

很多學者運用函數的凸性對分式規劃做了相關的研究,文獻［2-4］分別在不變凸性、（F,ρ）-凸性和（F,α,ρ,d） -凸性的假設下,擴展了文獻［1］ 的結果,得到規劃（P）的對偶規劃及其各自的弱對偶、強對偶、嚴格逆對偶定理；文獻［5-10］對可微廣義分式規劃做類似的研究并得出相應的結論；文獻［11-14］對非可微廣義分式規劃及其對偶模型做了研究；文獻［15-17］運用函數的凸性對多目標分式規劃及對偶做相關的研究.本文將在廣義ρ-不變凸性的假設下,得到（P）的2個對偶規劃及其各自的弱對偶、強對偶和嚴格逆對偶定理.

1 預備知識

定義 1.1［18］令f:X→R（X?Rn） 是可微函數,ρ∈R,d:X ×X→R（x1≠x2,d（x1,x2）≠0）,η:X×X→Rn.

（a） 若對 ?x ∈ X 都有 f（x） -f（x0） ≥▽f（x0）Tη（x,x0） +ρd2（x,x0）,則f在x0處是ρ -不變凸函數；

（b） 若對?x∈X,x≠x0,都有f（x）-f（x0） ＞▽f（x0）Tη（x,x0） +ρd2（x,x0）,則f在x0處是嚴格ρ-不變凸函數；

（c） 若對 ?x∈ X,都有 ▽f（x0）Tη（x,x0） ≥-ρd2（x,x0） → f（x） ≥ f（x0） 或 f（x） ＜ f（x0） →▽f（x0）Tη（x,x0） ＜-ρd2（x,x0）；則f在x0處是ρ -偽不變凸函數；

（d） 若對 ?x∈ X,x≠ x0,都有 ▽f（x0）Tη（x,x0） ≥-ρd2（x,x0） →f（x） ＞f（x0） 或f（x） ≤f（x0）→ ▽f（x0）Tη（x,x0） ＜-ρd2（x,x0）；則 f在 x0處是嚴格ρ-偽不變凸函數；

（e） 若對 ?x ∈ X 都有 f（x） ≤ f（x0） →▽f（x0）Tη（x,x0） ≤-ρd2（x,x0）,則f在x0處是ρ -擬不變凸函數.

2 充分條件

3 對偶定理

3 結語

在廣義ρ-不變凸性的假設下,得到廣義分式規劃的最優性的充分條件并得到2個對偶規劃的弱對偶、強對偶、嚴格逆對偶定理.廣義分式規劃在不同凸函數的基礎上,已有很多的研究成果,更有待進一步去研究.ρ-不變凸性也可以運用于研究多目標分式規劃.

致謝成都信息工程學院2012年中青年學術帶頭人基金（J201218）和成都信息工程學院2012年人才引進基金（KYTZ201203）對本文給予了資助,謹致謝意.

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