一類利用從屬關系定義的雙單葉函數類

李小飛, 秦 川

（長江大學 工程技術學院,湖北 荊州434020）

本文用A表示單位圓盤U＝｛z∈C:｜z｜＜1｝內解析且具有如下展開式的函數族

記S表示A中滿足（1）式且單葉的子族.設f（z）和g（z）在 U 內解析,稱 f（z）從屬于 g（z）,記作 f（z）?g（z）,若存在U內的Schwarz函數ω滿足ω（0）＝0,｜ω（z）｜＜1,使得 f（z） ＝g（ω（z））.

對任意具有（1）形式的函數f（z）∈S均存在其逆函數 f-1（z）定義為 f-1（f（z））＝z,f（f-1（w）） ＝w（｜w｜＜r0（f）,r0（f）≥1/4）,這里 f-1（w） ＝w-a2函數f（z）∈A稱為U內的雙單葉函數當且僅當f（z）和f-1（z）均為U的單葉函數,現記Σ表示U具有（1）式的雙單葉函數族.D.A.Brannan等［1］（也可參見文獻［2-3］）引入了雙單葉函數族Σ中的α階強星形函數類（α）和α階凸函數類KΣ（α）如下:

這里0≤α＜1,g（w） ＝f-1（w）.由于雙單葉函數族具有良好的性質,所以在理論上有許多學者對其系數進行過研究.對于 f（z）∈Σ,M.Lewin［4］證明了｜a2｜＜1.51,D.A.Brannan 等［5］證明了E.Netanyahu［6］證明了 max｜a2｜＝4/3,但都沒有給出精確的上限估計,所以至今仍有許多學者［7-10］對雙單葉函數族及其子族的系數｜a2｜及｜a3｜的上界進行研究.

用P表示通常意義下的正實部函數族,即若φ（z）∈P,則 Reφ（z） ＞0,φ（0）＝1,φ（z）∈A.為了后續討論的需要,現假設 φ′（0）＞0,φ（U）關于實軸對稱,不失一般性,不妨設φ（z）具有如下展式

記滿足上述不等式的函數類為BΣ（α,λ）,由B.A.Frasin等在文獻［13］中引入,若再令λ＝1,則函數類即為S*Σ（α）,該函數類由 D.A.Brannan等在文獻［1］中引入,這2個文獻目前已成為眾多學者研究雙單葉函數必讀的經典文獻之一.另外,對于其他更多更特殊類型的函數類,讀者可以查閱文獻［14-17］,限于篇幅這里省略.

1 主要結論

證明在推論4中令λ＝1即可.

致謝長江大學工程技術學院科研發展基金（13J0802）對本文給予了資助,謹致謝意.

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