廣義 Sobolev空間（T）在 Sq（T）尺度下的概率與平均 Kolmogorov寬度問題

畢 艷, 陳廣貴, 徐艷艷, 甘 瑩

（西華大學 數學與計算機學院,四川 成都610039）

1 引言與預備知識

眾所周知,計算機所使用的計算資源非常有限,因此,在解決問題的眾多算法中尋求最小計算成本的算法就尤為重要.算法的誤差和成本的不同定義導致了不同的框架（或稱為計算模型）:最壞情形的框架（或一致框架）、平均框架和概率框架.在最壞情形的框架下,成本和誤差是通過函數類中的“最壞”的元素的特征來定義的.因此,在綜合計算成本的條件下,最優誤差算法是對于“最壞”元素產生最優逼近,而對于大多數元素來講,最優誤差算法所產生的逼近誤差可能不是最優的,為了解決這一問題,我們通常考慮在函數集上定義一概率測度,考慮其平均誤差和概率誤差.平均誤差給出了函數類在給定的測度下的逼近度的平均,反映了在一定的計算成本下大多數元素的最小誤差,它更為深刻地反映了函數類結構的本質特征.概率誤差則進一步給出了達到某個誤差階的元素在給定的測度下的分布,更深刻的刻畫了函數類的內在結構特征.特別地,在最優算法的研究中,要確定最壞框架、平均框架、概率框架下的最優誤差階,往往是通過計算相應情形下的函數集寬度而得到.

X是具有范數‖·‖線性賦范空間,W是X的有界子集,FN是X上的N-維子空間.定義W對FN的偏差為

是FN對x的最佳逼近.因此,W在X空間中的Kolmogorov N-寬度定義為

其中,FN取遍X中維數不超過N的所有線性子空間.

設W的子集B是由W中的開子集所生成的Borel域,μ是B上概率測度,也就是說μ是B上的σ-非負可加的函數,且μ（W）＝1.記δ∈（0,1）的任意實數,則W在X空間中關于測度μ的Kolmogorov概率（N,δ）-寬度定義為

其中,Gδ取遍B中測度不超過δ的所有線性子空間.

定義W在X空間中關于測度μ的Kolmogorov p-平均N-寬度為

其中,（2）式中的FN取遍X中維數不超過N的所有線性子空間.

經典的N-寬度在最壞框架下,用某種意義下的最優逼近工具給出這類函數的最優恢復,寬度值即對于“最壞”元素的最佳逼近的誤差估計.然而,經典的寬度未能給出對于大多數元素的誤差估計,這也反映在對于大多數元素來說最佳逼近的誤差值一般小于經典寬度值,無論從實際應用還是理論分析的角度,研究全空間的逼近性質都是很重要的.因此,如何在經典寬度的基礎上拓廣寬度的概念,使之發揮更大的作用是至關重要的.于是引入了概率寬度和平均寬度的概念.概率寬度也刻畫了最佳逼近誤差,它的誤差則是由測度至少為1-δ的子集在最壞情況下定義的,反映了W的所有子集最佳逼近的μ分布,給出了達到某個誤差階的元素在給定測度下的分布,更為深刻的刻畫了函數類的內在結構特征.平均寬度所刻畫的最佳逼近誤差是由誤差在給定的測度下的積分定義的,它反映了空間大多數元素的最優逼近.關于經典寬度的相關知識可參閱文獻［1-4］,而關于概率寬度與平均寬度可參閱文獻［5-17］.

令Lq（T）,1≤q≤∞,表示周期為 2π的 q次Lebesgue 可積函數類,且‖· ‖Lq（T）為其上范數.令x（t）,t∈［0,2π］為 Hilbert空間 L2（T）上的 2π為周期的函數,則有

2 主要結果

3 離散化

4 主要結果的證明

這樣就完成了定理2的證明.

致謝西華大學研究生創新基金（04030209）對本文給予了資助,謹致謝意.

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