應用型工科高等數學教學法探討

劉大瑾

[摘 要]高等數學是大學教育中的一門最具有決定性作用和最基礎的學科，其對應用型工科學生影響之大，是其他課程所無法相比的。在高等數學教學中激發學生的學習興趣，注重數學思想的滲透，多列舉一些實際應用的范例，優化組合教材內容，不斷改進教學方法是提高教學質量的關鍵。

[關鍵詞]應用型 重要性 興趣 內容 教學方法

[中圖分類號] O13 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2014）15-0087-02

從某種意義上來說，數學發展的歷史就是人類數學思維的進化史，應用型本科院校教育的努力方向是培養“寬基礎、重實踐、強能力、高素質” 的復合應用型專門人才。高等數學作為應用型本科院校理工科學生必修的重要基礎課，無論是教學內容還是教學方法都需要進行相應的改革，以更好地適應培養應用型人才的需要。

一、高等數學的重要性

高等數學是大學教育中的一門最具有決定性作用和最基礎的學科，其對應用型工科學生影響之大，是其他課程所無法相比的。高等數學是理工科學生學習后繼課程的重要工具，在教學中要有效地使學生掌握和運用好這個工具，為其將來的學習與工作打好基礎，但是不能對“工具性”的理解過窄，把高等數學看成只為專業課程服務的工具。

高等數學研究的是各種抽象的“數”和“形”的模式結構，運用的主要是邏輯、思辨和推演等理性思維方法；它是源于實際，又指導實際的一種思維創造。學習高等數學，一方面能增長學生的知識水平；另一方面能培養學生嚴密的邏輯思維，嚴謹的科學態度。高等數學教學應體現理性思維的培養，這是其他學科難以替代的；應用型層次的大學生數學基礎并不十分扎實，他們更需要感受數學的思想、數學的邏輯以及數學的嚴密，高等數學的學習對應用型層次的大學生全面素質的提高，分析能力的加強，創新意識的啟迪同樣是至關重要的。

二、激發學生的學習興趣

高等數學所研究的問題，無論是在對象上還是在方法上都比初等數學有了質的飛躍。學生從中學進入大學最不能適應的就是高等數學的思想，這是因為他們長期以來受到初等數學思想的束縛；在高三整個一年中，他們都是不斷復習同樣的問題，高中的學習方法在他們的頭腦中留下了極深刻的痕跡，遇到新問題，常常是條件反射似的用中學里的方法去解決；進入大學后，每一次高等數學課都會出現新概念、新問題，特別是一開始就遇到極限的“ε-δ”定義，這讓學生很不適應，上了幾次課下來就積累了許多問題（而不像中學階段那樣，一個知識點要重復講多次），時間一長，就會失去了學習數學的興趣，這種現象在應用型工科院校的學生中尤其明顯。

面對應用型工科院校的學生，在教學過程中盡量用通俗的語言講清數學思想之真諦，盡量避免那種“定義—定理—證明—例題—應用”的枯燥無味的模式和過多的數學推導。每個新概念都盡可能由實際問題引出，注意對基本概念、基本理論和重要公式的產生背景、幾何背景和應用背景的介紹，努力改變高等數學教學中過分重視運算技巧而輕視邏輯思維的傾向，注重數學思想的滲透，多列舉一些實際應用的范例，特別是增加一些來自專業實際問題如工程技術、經濟管理等方面的問題的解決方法介紹，以有利于培養學生應用所學知識解決實際問題的能力。[1]這樣，既使學生感受到數學的用途，提高學習興趣，又使學生接受知識，有利于培養學生應用所學知識解決實際問題的能力。

由于數學思維及其發展以互相結合成有機整體的方式出現在今天的著作和教科書里邊，數學的教育就有必要介紹數學思維及其動機的來龍去脈，以突出數學概念和結論的歷史背景，讓學生深切理解前人如此思考的原因和內在的目的。假如一個數學教師僅僅是準確無誤、清晰明了地講授整個知識系統，而對思維的發展和動機不予理睬的話，那么就可能造成一個后果，即只有少數真正有興趣并有志于數學學習的學生能跟上他的教學步伐，其余的就可能因為阻力重重而放棄數學的學習并產生厭學情緒。這樣的方式，顯然不適合高等數學類的公共基礎課教學。將數學史和自然辯證法融入教學中，激發學生的學習興趣，使學生在掌握數學知識的同時，感受數學的趣味性，也深深地理解了數學和其他學科的相互關系，明白了數學的重要性。比如，在講“數列極限”時，筆者介紹了裴波那契數列以及0.618的來歷；在講“微積分基本公式”時，引用了恩格斯的形象語言“一杯水中的水分子，一層一層地蒸發出去，是一個連續不斷的微分，而水蒸氣在壓力和溫度的影響下又在杯中凝成水，一層一層地積累起來，直到杯滿為止，就是一個真正意義下的積分”，讓學生領悟微分與積分之間的辯證關系。

三、優化組合教學內容

我校使用的是同濟五版高等數學教材，這是我國高校中使用量最大的一部經典教材，教材有比較嚴謹的知識系統，從最抽象、最難掌握的極限“ε-δ”定義講起，然后連續、導數、不定積分……講下去，這部教材很符合學科內容和邏輯順序，很有條理，知識系統也比較嚴謹，但是不符合人們的認知規律。[2]人們認識事物，總是從易到難、從簡單到復雜、從具體到抽象、從抽象度低的到抽象度高的，因此在微積分的發展史上極限概念也是發展得最晚的，在牛頓-萊布尼茲使微積分成形后大約兩百年，極限概念才得以嚴密地建立起來，可見極限的抽象度遠遠高于求變化率（導數）及求和（定積分）的抽象度。[3]為此，我們對教學內容的次序進行了調整。

在教學中對極限概念的闡述，遵循由具體到一般，由直觀到抽象，由淺入深，循序漸進的教學原則進行，先講極限的描述性定義和極限的計算，在講完函數的連續性后對函數極限概念逐步嚴謹化，再用“ε-δ”語言來定義函數的極限，這樣做使學生更易于掌握。

在“一元函數積分學”部分，我們并未按教材的順序先講不定積分再講定積分，而是由不規則圖形的面積先引出定積分的概念，再介紹定積分的計算法，由原函數概念給出牛頓-萊布尼茲公式后，作為定積分的需要而介紹不定積分，最后再回到定積分的應用，這樣做對積分換元法和分部積分法不必在不定積分和定積分兩處作重復的討論，使內容緊湊。在教學實踐中我們認識到只有優化組合教材內容，才能獲得好的教學效果。

四、改進教學方法

高等數學是一門理論基礎課，課堂講授是主要的教學環節，且都是百人以上的大班上課，教學的質量和效果取決于授課教師的教學和學術水平以及表述能力。

教學是一個教師與學生共同學習與研究的過程，教師應根據不同層次的教育對象采取不同的教學方法。筆者在備課時吃透教材，找出主要方法與學生思維活動相連接的結合點，找出學生學習的難點，在課堂教學中實施精講與多練相結合的方法，避免照本宣科、平鋪平敘、面面俱到的教學模式，做到直觀、應用、靈活，達到引導學生主動自覺學習的目的。[4]

對直觀、簡單的結果可以不證，讓學生課后自己證明，若堅持樣樣證明，就顯得枯燥，不管什么問題和應用聯系上才顯示出意義。靈活的教學能使課堂生動起來，如介紹函數定義時可這樣處理：函數是一種運算，它對于一個已給的數-“輸入”數x，確定了一個唯一的“輸出”數y，使得這種運算可以進行的全體“輸入”數構成了它的定義域。對于多元函數也可采取上述定義，這個定義既簡單又易接受，同時也滲透著近代的科學思想。

對應用型工科院校的學生來說，有些復雜的證明可以通過對較低階或較簡單的特殊情況進行證明，然后用類似的思想方法對高階或較復雜情況進行相應的推廣。例如在“泰勒公式”一節，教師可叫學生先復習拉格朗日中值定理（零階泰勒公式），然后利用羅爾定理導出帶拉格朗日余項的一階泰勒公式，最后說明用類似的方法可得出帶拉格朗日余項的n階泰勒展開式。這樣不僅避免了對n階泰勒公式的繁瑣的證明，而且學生對證明的思想方法又有所了解。

對定積分、重積分等概念的引入，在利用幾何圖形以求極限的方式給出平面圖形的面積或空間圖形的體積后，抽掉f（x）≥0或f（x，y） ≥0的限制，就直接作為定積分或重積分的定義，省去了另作定義時的重復性敘述。另外在討論重積分時，將重積分在直角坐標系下化為累次積分后，立即介紹一般性的變量代換法，然后將極坐標下的計算方法作為其特例給出。

重視幾何直觀形象，為了讓學生理解概念，我們在講解一個新概念前，要多從幾何或實際問題直觀入手，逐步上升到抽象描述和推理證明，以達到激發學生的學習興趣和使教學過程循序漸進的目的。另外，學生學習和了解數學的過程不單純是一個認識過程，這里也有意志的錘煉、情感的陶冶等非智力品德的培養。因此我們應通過具體教學內容的傳授，對學生言傳身教，引導他們去分析和提出問題，平等地與學生討論問題，細心地發現學生的點滴創新意識和創新精神。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 蘇洪雨，江雪萍.高等數學案例教學的實踐與探究[J].高等理科教育，2009.

[2] 錢方明.改進案例教學，提高案例教學質量[J].嘉興學院學報，2002.

[3] 王佳秋，孫秀娟，杜廣環.案例教學在高等數學教學中的應用[J].高師理科學刊，2011.

[4] 張娟，陳冬，尚學海等.應用型大學提高高等數學課堂質量的幾點思考[J].北京聯合大學學報（自然科學版），2008.

[責任編輯：覃侶冰]