多元表征 明晰算理 生長算法

陳婧亭

教學“小數除以整數”時，教師要為學生理解算理提供多元表征，巧用數形結合策略感知算法，讓學生在觀察思考、合作交流和對照辨析中明晰算理，生長算法，這樣才能從本質上幫助學生掌握計算方法，避免出錯。

教學片段：

師：同學們，李強是五年級的學生，他是個愛動腦筋的好孩子，經常運用數學知識幫助媽媽解決問題。周末媽媽需要買些水果，你們愿意和李強一起陪媽媽去水果超市購買嗎？

出示媽媽買兩種水果的價格信息表：

師：誰能幫助李強的媽媽求出櫻桃的單價呢？

生：224÷4=56（元）（學生板演算式和豎式，并說出算理）

師：你們知道他是根據我們以前學過的哪個數量關系嗎？

生：單價=總價÷數量

師：誰能說出蘋果的單價怎樣求？

生：22.4÷4

師：你是怎么想的？

生：和求櫻桃的單價一樣，也是根據數量關系式“單價=總價÷數量”來列式。

師：真聰明。請同學們再仔細觀察這個算式，與第一個算式相比有什么相同的地方，又有什么不同的地方？

生：相同點都是除法，除數都是4。不同點被除數由整數224變成了小數22.4。

師：你們觀察得真仔細。這就是今天我們要學習的內容——小數除以整數（板書）。

師：你能求出蘋果的單價嗎？

生：蘋果的單價是每千克5.6元。

師：你們是怎么想的？（學生獨立思考）

生1：我把22.4元人民幣看成224角進行計算，224角除以4得56角，也就是5.6元。

生2：我用乘法來推算除法。因為5.6乘4等于22.4，所以22.4除以4就等于5.6。

生3：我根據除法的性質來推算，比較兩個算式224÷4和22.4÷4，除數不變，被除數縮小了10倍，商隨之縮小10倍，因此商是5.6。

生4：（神情猶豫，用試探性口氣）老師，我根據相鄰兩個計數單位之間的進率是十來算的。因為22.4就是22.4個一，也可以看成224個十分之一，224個十分之一除以4，得到56個十分之一，也就是5.6。不知道這樣對不對？

……

師：大家真了不起，想出了這么多方法。那么，你們能把“22.4÷4=5.6”的計算過程用豎式表示嗎？商的小數點到底應該寫在哪兒？現在，請同學們一起看大屏幕。

師：（課件演示）我們知道22.4表示22個1和4個0.1。如果用一個正方形表示1的話，那么0.1該怎么表示？22.4又應該怎樣表示？（圖略）

生：就是22個正方形和4個小長方形。（學生一邊說教師一邊演示23個完全一樣的小正方形，并把其中最后一個正方形再平均分成10個小長方形）

師：“除以4”表示——（生：平均分成4份）想一想，如果把這些圖形平均分成4份，怎么分？

生1：先分整個的正方形。

生2：先分正方形，再分小份的長方形。

師：都是先分大正方形（課件演示）。如果我們用豎式來記錄，先分22個正方形就相當于先用整數部分的22除以4，每份分得5個，在豎式上怎么記錄？

生：在個位上寫5。（教師板書）

師：剩下的部分怎么分呢？

生3：把剩下2個正方形再分別平均分成10個小長方形，和原來的4個小長方形合起來一共有24個這樣的小長方形，把24個小長方形再平均分成4份，每份是6個小長方形。（課件演示）

師：這個“6”在豎式上應該寫在哪里？小數點寫在什么位置？

生：在5的后面點上小數點，在小數點的后面再寫6。（課件與板書略）

……

評析：上述教學片段中，當學生調用已有經驗儲備順利解決“櫻桃單價”問題后，教師巧用遷移規律提出“蘋果單價”問題，在追問中讓學生明白兩者雖然所求問題不同，但都是根據“單價=總價÷數量”這一數量關系進行解答的，從而有效溝通了新舊知識的聯系。面對學生依樣畫葫蘆說出“蘋果的單價是每千克5.6元”，但未必知曉算法背后的數學原理這一教學現狀，教師讓學生展開了多元表征，用自己的方式來詮釋“22.4÷4=5.6”，生成了豐富的教學資源：利用人民幣單位換算、做除法想乘法、根據商的變化規律以及運用計數單位換算等方式來理解。多元表征的方式不僅讓學生對算理融會貫通，更重要的是當一個問題用多種方法解決時，問題成了連接不同領域的數學知識的紐帶，展示了學生在不同數學領域的能力和偏好，讓學生在欣賞解決問題的不同路徑的同時，感受數學知識間的聯系，學生的數學思考力得以生長。最后，抓住焦點問題——商的小數點到底應該點在哪兒，教師巧用“數形結合”策略先引導學生直觀形象地理解小數的意義，再依托“分圖形”的物化活動，讓學生不僅切身領悟到小數除法的本質意義（即平均分），而且深刻理解了抽象的數學符號與感性的操作活動之間本質意義上的內在聯系，清晰建立了直觀操作與除法豎式之間一一對應關系，從而有效突破了“商的小數點要與被除數的小數點對齊”這一教學難點。這樣讓學生充分經歷由直觀算理到抽象算法的演變過程，既順利實現了對算理的清晰理解和對算法的自然生長，又扎實促進了學生數學思維的發展。

◇責任編輯：張 瑩◇