深埋海底隧洞內水壓力下飽和土的動力特性

高華喜，聞敏杰

(1.浙江海洋學院海運與港航建筑工程學院，浙江舟山 316004;2.嘉興職業技術學院生物與環境分院浙江嘉興 314036;3.上海大學土木工程系，上海 200072)

由于飽和土中孔隙水的流動特性及襯砌與土體的不同滲透率，飽和土與單相土的動力響應存在較大差異［1］。因此，動荷載下具有圓形隧道飽和土的動力學行為分析熱點成為巖土工程領域研究的熱點之一，它在污水管道、海底管線和軌道交通等方面具有廣泛的應用背景。

近年來，許多學者在飽和土與襯砌系統的動力特性方面進行了深入研究。Kumar和Miglani［2］利用Laplace變換等數學手段得到了具有深埋圓形隧洞飽和多孔介質徑向位移的表達式，著重討論了沖擊荷載下的封閉形式解答。Senjuntichai和Rajapakse［3］研究了邊界透水情形下飽和土中圓形孔洞的動力響應。Lu Jianfei和Jeng dongsheng［4］通過引入位移勢函數，采用傅立葉變換得到了三維柱坐標下具有無限圓形孔洞飽和多孔介質的位移、應力和孔隙水壓力等的表達式。Nateghi等［5］通過現場監測研究了爆炸波對地下隧道的影響，得到了襯砌結構的位移、應力時程曲線。Penzen等［6］將土體和襯砌的連接簡化為彈簧支撐，得到了爆炸荷載作用下襯砌結構動力響應的計算方法。范鵬賢等［7］采用矩陣力法研究了爆炸地震波作用下襯砌結構的動力響應。然而，上述研究都認為襯砌和土體邊界僅處于透水或不透水狀態。但是，由于混凝土具有滲透性，實際工程中隧道襯砌結構都處于以上兩種邊界之間，即半封閉狀態［8-11］。此時，必須要考慮滲流場的分布問題，即襯砌和孔隙水分別承擔水頭的壓力值。

在此基礎上，考慮土體的慣性效應和黏性，基于多孔介質理論分別研究了內水壓力作用下飽和土中多孔柔性和彈性襯砌結構的動力響應。采用Darcy定律建立了土體和襯砌部分透水邊界，假定內水壓力由孔隙水和襯砌分別承擔，通過引入應力系數來描述兩者承擔的壓力值，得到了飽和黏彈性土和襯砌的位移、應力和孔隙水壓力表達式，考察了具有多孔柔性襯砌和彈性襯砌的飽和土徑向位移、孔隙水壓力隨頻率的變化規律。

1 數學模型與控制方程

如圖1，飽和黏彈性土中有襯砌厚度為d、內外半徑分別為R1和R2的圓形隧洞，其邊界承受圓頻率為ω的徑向均布內水壓力q0eiωt(i2=-1)。假定土骨架和襯砌為小變形，且襯砌和土體完全緊密接觸，即襯砌與飽和土在接觸面上滿足應力與位移連續。根據飽和多孔介質理論［12］，并參考文獻［13］的方程求解和參數定義，可得極坐標下飽和土土骨架的徑向位移為:

圖1 海底圓形隧洞模型Fig.1 Model of under-sea circular tunnel

孔隙流體的徑向位移為:

孔隙水壓力為:

土骨架的有效應力:

土體的總應力為:

參數物理意義和字母定義詳見文獻［13］。

2 多孔柔性襯砌條件下表達式求解

文獻［8］認為實際工程中隧道邊界不能單被考慮為透水和不透水兩種極限狀態，而是處于半封閉狀態。因此，建立了符合Darcy定律的隧洞邊界部分透水條件，假設襯砌內邊界的水頭為P1，而外邊界的水頭為P2。結合本文模型，襯砌中流體流量為:

式中:kL為襯砌的滲透系數。

而飽和黏彈性土和襯砌接觸面處土體中流體流量為

式中:γω為孔隙流體重度，kF為Darcy滲透系數。

文獻［11］通過定義應力系數δ=1-ηc確定隧洞邊界襯砌和孔隙水分別承擔的內水壓力值。這里ηc為孔隙水壓力作用面積系數，與土體孔隙率有關。當應力系數δ→0時，內水壓力全部由孔隙水承擔，隧洞邊界上應力為0;當δ→1時，邊界上內水壓力全部由襯砌承擔。另外，認為隧洞邊界上的內水壓力無論是作用在內邊界還是外邊界對響應幅值影響不大。因此，結合本文實際，利用飽和黏彈性土和柔性襯砌(EL→0)接觸面處應力協調，可得

假設土體和襯砌接觸面處滿足連續性條件，即襯砌中流體流量與飽和土中流體流量相等:

由此，將邊界條件式(8)、式(9)代入式(1)～(5)，可求得待定系數C1、C2的具體表達式.從而，可得飽和分數導數型黏彈性土的動力響應解。

3 多孔彈性襯砌條件下表達式求解

由式(10)可易解得

式中:I1(x)和K1(x)分別為第一類和第二類變形Bessel函數C5、C6為待定系數。

于是，可得襯砌徑向應力:

式中:

利用土體和襯砌接觸面處應力和位移連續及隧洞部分透水邊界條件求得待定系數C1、C2、C5、C6的具體表達式。

在襯砌內邊界處(η=1)襯砌徑向應力等于內水壓力值

襯砌和土體接觸面處應力和位移協調，

由此，利用邊界條件式(9)、(14)、(15)代入式(11)、(12)和式(1)～(5)可得 C1、C2、C5、C6的表達式。至此，可得飽和黏彈性土-多孔彈性性襯砌系統的動力響應解。

4 算例分析及討論

考察了分數導數階數α、材料參數比Tσ/Tε、襯砌厚度ξ、應力系數δ以及相對滲透系數κ對徑向位移U=(［Re(USη)］2+ ［Im(USη)］2)1/2和孔隙水壓力幅值P= ［μS(［Re(P)］2+［Im(P)］2)1/2］/μL的影響。據文獻［11，13］參數取值:

圖2和圖3分別表示在η=1.5處襯砌為多孔柔性和彈性條件下階數α變化對位移幅值U 和孔壓幅值P 的影響。圖2可見，隨著階數α的增加，位移幅值的峰值逐漸減小，而系統共振效應的基頻逐漸增大。當階數α=0和α=1時，分數導數本構模型分別退化為經典彈性和經典黏彈性本構模型，顯然，經典彈性飽和土(α=0)時，位移峰值達到最大值，而經典黏彈性飽和土(α=1)時，位移峰值為最小值。另外，由于襯砌為彈性材料條件下的剛度遠大于柔性條件的剛度，故位移峰值要小。由圖3可見，由于孔隙水承擔了部分內水壓力，故在靜止內水壓力作用下孔壓幅值P 不為零。多孔彈性襯砌材料條件下系統動力響應產生的孔壓幅值P 的峰值反而比柔性襯砌材料時孔壓峰值要大。

圖2 階數對徑向位移幅值的影響Fig.2 Influence of order on radial displacement amplitude

圖3 階數對孔隙水壓力幅值的影響Fig.3 Influence of order on pore water pressure amplitude

圖4和圖5分別表示在η=1.5處材料參數比Tσ/Tε改變時，位移幅值U 和孔壓幅值P 隨頻率λ的變化曲線。可見，隨著材料參數比Tσ/Tε的增加，位移幅值U 和孔壓幅值P 都會減小。這是因為土體的阻抗變大引起的。柔性襯砌條件下系統位移幅值U 的峰值比彈性襯砌條件下系統位移峰值要大，而孔壓幅值P 反而要小。

圖4 材料參數比對徑向位移幅值的影響Fig.4 Influence of material parameter on radial displacement amplitude

圖5 材料參數比對孔隙水壓力幅值的影響Fig.5 Influence of material parameter on pore water pressure amplitude

圖6和圖7分別表示襯砌厚度d對位移幅值U 和孔壓幅值P 的影響?？梢?，隨著襯砌厚度d的增加，系統響應的基頻逐漸增大，這是由于襯砌的剛度增大引起的。顯然，襯砌厚度d增加時，位移幅值U 的峰值逐漸減小，而孔壓幅值P 的峰值卻隨之增加。

圖6 襯砌厚度對徑向位移幅值的影響Fig.6 Influence of lining thickness on radial displacement amplitude

圖7 襯砌厚度對孔隙水壓力幅值的影響Fig.7 Influence of lining thickness on pore water pressure amplitude

圖8和圖9分別為應力系數δ對位移幅值U 和孔壓幅值P 的影響。圖8可見，應力系數δ改變時，系統響應的基頻基本不變。多孔彈性襯砌材料時系統的基頻明顯比柔性襯砌材料時的基頻要大。隨著應力系數δ增加，系統響應幅值逐漸增大。說明當應力系數越接近1時，襯砌承擔的內水壓力值越大，當應力系數越接近0時，孔隙水承擔的內水壓力值越大。

圖8 應力系數對徑向位移幅值的影響Fig.8 Influence of stress coefficient on radial displacement amplitude

圖9 應力系數對孔隙水壓力幅值的影響Fig.9 Influence of stress coefficient on pore water pressure amplitude

圖10 相對滲透系數對徑向位移幅值的影響Fig.10 Influence of relative permeability coefficient on radial displacement amplitude

圖11 相對滲透系數對孔隙水壓力幅值的影響Fig.11 Influence of relative permeability coefficient on pore water pressure amplitude

5 結語

采用多孔介質理論，將土體和襯砌視為具有分數導數型本構關系的黏彈性體和多孔柔性/彈性材料，在頻域內得到了內水壓力作用下飽和分數導數型黏彈性土-隧洞襯砌系統的動力響應。得出如下結論:

1)飽和分數導數型黏彈土-隧洞襯砌系統的動力響應與飽和彈性土/經典黏彈性土-隧洞襯砌系統的動力響應存在很大差異。隨著分數導數階數的增加，系統共振效應明顯減弱，而基頻反而增大。

2)隨著材料參數比的增加，系統響應減小。

3)當系統發生共振時，多孔柔性襯砌材料條件下系統的動力響應明顯大于彈性襯砌材料條件下系統的動力響應。

4)應力系數合理地確定了孔隙水和襯砌分別承擔的內水壓力值。改變應力系數的值對系統共振效應的基頻影響不明顯，而對共振效應的強弱程度有明顯影響。

5)襯砌和土體的相對滲透系數對系統動力響應的影響很大。襯砌邊界透水和不透水只是反映邊界滲透性的兩種極限狀態。

［1］ 劉林超，楊驍.基于多孔介質理論的飽和土-樁縱向耦合振動研究［J］.土木工程學報，2009，42(9):89-95.(LIU Lin-chao，YANG Xiao.Vertical coupled vibration of pile in saturated soil based on theory of porous medium［J］.China Civil Engineering Journal，2009，42(9):89-95.(in Chinese))

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