行程問題應用題解析

楊卉青

〔關鍵詞〕 數學教學；行程問題；追

及問題；相遇問題

〔中圖分類號〕 G633.6

〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2014）

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行程問題應用題是中小學數學應用題中很重要的一類，學生難以理解，不容易掌握。行程問題的題型千變萬化，導致許多學生感到束手無策，難以適從。其實認真分析，就會發現行程問題應用題主要有兩種基本類型：追擊問題和相遇問題，而且三個基本量之間的基本關系“路程=速度×時間”保持不變。下面，筆者就對這兩種類型的應用題進行詳細闡述。

一、追及問題

追及問題的特點是同向而行，在直線運動中兩者路程之差等于兩者間的距離，而在圓周運動中，若同時同地同向出發，則二者路程之差等于跑道的周長。

例1 甲乙兩人相距100米，甲在前每秒跑3米，乙在后每秒跑5米。兩人同時出發，同向而行，幾秒后乙能追上甲？

分析：后面的人要追上前面的人，就要比前面的人多跑100米，而兩人跑步所用的時間是相同的（即同時不同地）。所以有相等關系：乙走的路程-甲走的路程=100。

變式1（同地不同時）： 甲、乙兩名同學練習百米賽跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲讓乙先跑1秒，那么甲經過幾秒可以追上乙？

分析：這個問題中，兩人所跑路程相同，出發地相同，但由于乙先跑了1秒，所以就產生了路程差（乙1秒內所跑的路程）。那么這個問題就和前面例題一樣了。

變式2（不同時也不同地）：甲乙兩人相距40千米，甲先出發1.5小時乙再出發，甲在后乙在前，二人同向而行，甲的速度是每小時8千米，乙的速度是每小時6千米，甲出發幾小時后追上乙？

分析：根據題意有相等關系：甲走的路程-乙走的路程=兩人原來的距離。如果設甲出發x小時后追上乙，則乙運動的時間為（x-1.5）小時，所以甲走的路程為8x千米，乙走的路程為6（x-1.5）千米。

變式3（環形跑道問題）：甲乙兩人在一條長400 米的環形跑道上跑步，甲的速度是每分鐘跑360米，乙的速度是每分鐘跑240米。兩人同時同地同向跑，幾秒后兩人第一次相遇？

分析：本題屬于環形跑道上的追及問題，兩人同時同地同向而行，第一次相遇時，速度快者比速度慢者恰好多跑一圈，即相等關系為：甲走的路程-乙走的路程=400 。

二、相遇問題

相遇問題的特點是相向而行，在直線運動中兩者路程之和等于兩者間的距離，而在圓周運動中，若同時同地相向出發，則二者路程之和等于跑道的周長。

例2 甲乙兩站間的距離為450千米，一列慢車從甲站出發，每小時行駛65千米，一列快車從乙站出發，每小時行駛85千米，兩車同時開出相向而行，多長時間后相遇？

分析：這是一道典型的相遇問題，由于兩車從甲、乙兩站開出，相向而行，所以當它們相遇時，兩車行駛的路程和等于兩站之間的距離，即相等關系為：快車行程+慢車行程=兩站之間的距離。

變式1（變條件）：甲乙兩列火車，長為144米和180米，甲車比乙車每秒多行4米。兩車相向而行從相遇到錯開需要9秒。問兩車速度各是多少？

分析：這道題是我們生活中常見的會車問題，可以歸類到相遇問題中，兩車的長度之和相當于兩車之間的距離，所以，題目中的相等關系為：甲車走的路程+乙車走的路程=兩車的長度之和。

變式2（變路徑）：運動場的跑道一圈長400米，小健練習騎自行車，平均每分鐘騎350米，小康練習跑步，平均每分鐘跑250米。如果兩人從同一處同時反向出發，經過多少時間首次相遇？又經過多少時間再次相遇？

分析：本題屬于環形跑道上的相遇問題，兩人同時同地反向而行，第一次相遇時，兩者的路程之和等于跑道的周長，即相等關系為：甲走的路程+乙走的路程=400 。

變式3（變問題）：甲乙兩船同時從相距420千米的兩個碼頭相對開出，甲船每小時行40千米，乙船每小時行30千米。求兩船開出后幾小時相距70千米？

分析：題目中求的是兩船相距70千米時的行程時間，應該屬于相遇問題應用題，基本的相等關系不變，即甲乙兩船所行駛的路程之和=兩者間的距離。但是，兩船相距70千米有其特殊性：如果是兩船相遇之前相距70千米，那么總路程就是（420-70）千米；如果是相遇之后兩船繼續行駛，再相距70千米，那么總路程就是（420+70）千米。這里要分兩種情況解答。

編輯：謝穎麗endprint