混凝土應變率型彈塑性損傷本構模型

張 研， 李廷秀， 蔣林華

（河海大學 力學與材料學院，江蘇 南京 210098）

混凝土因其良好的力學性能和耐久性能，在土木、水利及軍事工程中得到廣泛應用.混凝土結構在承受常規荷載作用時，在極端情況下可能受到大范圍動態荷載的作用，如地震、爆炸等.為了保證工程結構的安全，有必要對混凝土在動態荷載下的力學特征進行深入研究.

國內外學者用不同方法對混凝土的動態荷載力學行為進行了試驗和理論研究.Ross等［1－2］采用SHPB壓桿試驗、落錘試驗和液壓加載等方法，研究了較大范圍加載速率下混凝土的力學特征；Mu等［3］研究了三軸受壓狀態下混凝土的應變率敏感性，發現抗壓強度隨應變率增大而增大不是材料的屬性而是加載過程中橫向約束的影響.混凝土動態行為的模型研究也取得了進展，從宏觀到細觀尺度上，將塑性機理、內時理論、斷裂和損傷機理的力學理論和經驗公式等應用于動態模型構建上.Song等［4］從細觀層次研究動力累加效果，得出在超出極限應變率時應力分布是不均勻的結論；H?ussler－Combe等［5］結合黏彈性理論和損傷延遲理論構建模型，研究應變率對混凝土拉壓性能的影響；Cusatis［6］將應變率作用引入圍壓剪切離散模型，從細觀上研究斷裂的傳播發展，認為慣性對拉伸的影響遠比其對壓縮的影響要大；宋玉普等［7］結合內時理論和損傷理論建立了混凝土應變率效應內時損傷本構模型，該模型能夠很好地反映混凝土多軸荷載作用下的應變率敏感特性；李慶斌［8］和鄧宗才［9］根據雙剪應變理論和損傷理論分別推出了不同的動力損傷本構模型.

建立力學概念清晰、模型構建簡單而又能較好反映混凝土應變率效應的本構模型是工程人員樂于接受的.結合已有的理論研究，本文提出一種考慮混凝土應變率效應的彈塑性損傷本構模型.該模型擺脫了通常的彈塑性模型參數不易確定的困擾，同時在損傷準則中引入了應變率敏感性參數.本文還運用該模型計算預測了在大范圍應變加載情況下的混凝土破壞強度.

1 一般彈塑性損傷本構模型

本文采用彈塑性損傷本構模型來描述混凝土單軸受壓時的力學特征.采用小變形假設，狀態變量和內變量分別為總應變張量ε，彈性應變張量εe，塑性應變張量εp和損傷變量d.其變形增量（應變率）可表示為：

一般形式的混凝土應力－應變關系為：

式中：σ為應力的張量表達形式；C（d）是材料的四階有效彈性剛度張量.當材料表現為各向同性時，C（d）可以通過Hill引理［10］表示為一般形式：

式中：μ（d）和k（d）分別為材料的有效體積模量和剪切模量；對稱四階張量J和K分別定義為：

考慮到損傷的存在，增量形式的本構關系可以表示為：

式中：C′（d）表示損傷變量對有效彈性剛度張量的導數：

1.1 力學損傷

不考慮塑性應變的影響，對應損傷變量d的熱力學伴隨量ξ可以表示為：

為了判別材料是否發生損傷，本文參考Mazars［12］的研究，采用以下損傷準則：

式中：Ad為材料破壞時可達到的最大損傷值，本文取Ad＝1，則材料完全破壞時材料的有效彈性剛度C（d）為0，不能再承受荷載，這符合材料破壞的實際情況；Bd為加載過程中材料損傷的發展速度；ξd為損傷閾值.Bd和ξd可通過經驗確定.

1.2 不可恢復（塑性）變形特征

材料在加載過程中，其變形在初始階段是彈性的，此時塑性變形的影響很小，可以忽略不計.隨著荷載不斷增加，材料內部應力接近或達到峰值應力后，材料內部微裂縫的發展改變了其微觀結構，混凝土不可避免地出現不可恢復（塑性）變形，對內部結構造成影響.建立塑性變形與損傷間的關聯如下：

可以看出，盡管塑性的定義非常簡單，但也較符合材料受力破壞過程的實際情況：當材料在彈性階段沒有力學損傷時（d＝0），沒有塑性變形產生；當損傷達到最大，即材料完全破壞時（d＝1），其變形增量完全表現為不可恢復的塑性變形.

1.3 模型校準和數值模擬

應用彈塑性損傷本構模型，給出混凝土試件在不同應變率下單軸壓縮的數值計算結果，并與已有試驗結果［13］進行比較，驗證彈塑性損傷本構模型的有效性.

彈塑性損傷本構模型中E和υ為材料彈性參數，通過單軸抗壓試驗應力－應變曲線開始階段的彈性部分獲得；Bd和ξd是與材料損傷相關的參數，主要反映較大荷載作用下以及達到破壞荷載（最大荷載）峰值后下降段材料的變形特征，可通過反演法獲得.表1為彈塑性損傷本構模型中不同應變率加載時各參數取值匯總.考慮到動態應變加載試驗為單（軸）向，則可表示為，為軸向加載速率標量.

表1 不同應變率下彈塑性損傷本構模型參數Table 1 Model parameters under different strain rates

應用本文提出的彈塑性損傷本構模型，對應變率為10－2～10－5／s下混凝土單軸受壓情況進行模擬.圖1為試驗實測數據［13］與模擬應力－應變曲線的對比圖.由圖1可以看出，混凝土強度隨應變率的增加而增大，達到破壞荷載時的臨界應變幾乎不變.由圖1還可看出模擬結果與試驗結果比較吻合，能較好地反映混凝土試件在受壓過程中的彈塑性損傷特征：在荷載較小時，試件處于彈性變形階段；隨著荷載不斷增加，材料的應力－應變關系不再呈現線性，說明不可恢復變形隨著荷載的增加而增加.可以看出，在不同加載速率下，本文所采用彈塑性損傷本構模型均可較好地描述材料應力－應變關系.

圖1 不同應變率加載下混凝土的單軸壓縮試驗數據［13］與模擬曲線對比Fig.1 Comparison between experimental results［13］and numerical simulation of general elastoplastic damage model at different strain rates

2 應變率型彈塑性損傷本構模型

一般認為，材料的力學特征參數是材料屬性，與試驗加載過程關聯不大.由表1可以看出，隨著應變率的變化，混凝土力學性能參數有一定變化，其中E和ξd變化顯著，這與材料內在屬性不符.同時，通過已有的有限試驗數據獲得的模型參數（表1），利用一般彈塑性損傷本構模型無法對其他應變率加載下的應力－應變關系進行廣泛而有效的描述.宋玉普等［7］的研究發現，隨著應變率不斷降低，材料的力學性能變得愈加穩定.因此認為在擬靜態應變率0加載時，E和ξd值可認為是材料的內在屬性，用E0和來表示擬靜態應變率加載時的彈性模量和損傷閾值.任意動態應變率時的模型參數E和ξd都可用E0和進行描述.圖2是不同應變率時混凝土彈性模量變化曲線.由圖2可以看出，混凝土彈性模量與應變率呈線性關系.對圖2進行曲線擬合，得到：

式中：a為應變率敏感性參數，反映了混凝土彈性模量對應變率變化的敏感性.

圖2 彈性模量與應變率的關系Fig.2 Relationship between elastic modulus and stain rate

圖3為整理得到的損傷閾值ξd隨應變率變化的關系.對圖3進行曲線擬合，得到：

式中：b1，b2是曲線擬合參數，反映了混凝土損傷閾值對應變率的敏感性.

圖3 ξd與應變率之間的關系Fig.3 Relationship betweenξdand stain rate

表2 材料和模型參數Table 2 Material and model parameters

為了驗證模型與試驗的一致性，用表2中的參數進行了應變率在10－5～10－2／s時的模型數值計算，得到圖4.由圖4可見，當考慮了應變率敏感性參數后，模型數值計算結果與試驗結果基本吻合，參數a反映了彈性模量對應變率的敏感性，參數b1和b2則反映了破壞強度對應變率的敏感性，這3個應變率敏感性參數的引入有效反映出材料在達到破壞荷載時應變略有增加的彈塑性特征.

圖4 不同應變率下混凝土的單軸壓縮試驗數據［13］與應變率型模型結果對比Fig.4 Comparison between experimental results［13］and numerical simulation of rate－depedent modelling at different strain rates

本文提出的應變率型彈塑性損傷本構模型只包含7個參數，卻能對不同應變率加載下的混凝土破壞強度進行有效預測.采用表2中的數據，利用該模型進行了應變率為10－7～102／s條件下的破壞強度預測，得到圖5.由圖5可見，當應變率較小時，混凝土破壞強度增長較緩慢，隨著應變率的增加，破壞強度迅速增加，這個結果與已有研究［14］的試驗結果相符，符合混凝土實際受壓破壞的情況.因此，本文所建立的應變率型彈塑性損傷本構模型能夠合理地體現大范圍應變率加載情況下混凝土的主要力學特征.對比其他同類型模型［7］，在采用相同的迭代算法和有限元結構時，應變率型彈塑性損傷本構模型在整個有限元計算中所占比例較小.因此，采用該模型進行的數值計算在計算時間上與其他模型差別不大.應變率型彈塑性損傷本構模型參數分為彈性參數、損傷參數和應變率敏感性參數，這3類參數都具有簡潔的形式和明確的物理概念.因此該模型的使用相對容易，如結合互交式的模型軟件應用，可進一步方便工程技術人員使用.

圖5 破壞強度和應變率的關系Fig.5 Relationship between strength and stain rate

應變率型彈塑性損傷本構模型同樣可用于單軸拉伸，具體調整為：根據拉伸試驗結果，模型參數Bd和重新通過反演法獲得.如本模型用于拉／壓荷載變化情況時，可分別確定拉／壓荷載作用下的Bd和值，分別標記為Bd，T和ξ0d，T，Bd，C和ξ0d，C.此時損傷準則可表達為：

式中：下標T，C分別對應拉應力，壓應力狀態.

當混凝土材料受到拉伸作用時，d＝dT，當受到壓力作用時，d＝dC，并且滿足˙d≥0，以保證拉－壓狀態變化時損傷的不可逆特征.

3 結論

（1）應變率型彈塑性損傷本構模型的7個參數是材料內在屬性，與加載過程關聯不大.

（2）應變率型彈塑性損傷本構模型中的3個應變率敏感性參數與材料彈性參數和損傷參數相關.與試驗數據對比表明，該模型能夠對混凝土的主要力學特征，如力學損傷、彈塑性變形和應變率敏感性進行有效描述.

（3）只需2～3組單軸壓縮試驗即可獲得應變率型彈塑性損傷本構模型參數，該模型可反映大范圍加載速率下混凝土的主要力學特征，且該模型預測的破壞強度變化規律與已有試驗研究規律一致.

［1］ ROSS C A，TEDESCO J W，KUENNEN S T.Effects of strain rate on concrete strength［J］.ACI Materials Journal，1995，92（1）：37－47.

［2］ GROTE D L，PARK S W，ZHOU M.Dynamic behavior of concrete at high strain rates and pressures：I.Experimental characterization［J］.International Journal of Impact Engineering，2001，25（9）：869－886.

［3］ MU Z C，DANCYGIER A N，ZHANG W，et al.Revisiting the dynamic compressive behavior of concrete－like materials［J］.International Journal of Impact Engineering，2012，49：91－102.

［4］ SONG Zhenhuan，LU Yong.Mesoscopic analysis of concrete under excessively high strain rate compression and implications on interpretation of test data［J］.International Journal of Impact Engineering，2012，46：41－55.

［5］ H?USSLER－COMBE U，KüHN T.Modeling of strain rate effects for concrete with viscoelasticity and retarded damage［J］.International Journal of Impact Engineering，2012，50：17－28.

［6］ CUSATIS G.Strain－rate effects on concrete behavior［J］.International Journal of Impact Engineering，2011，38（4）：162－170.

［7］ 宋玉普，劉浩.混凝土率型內時損傷本構模型［J］.計算力學學報，2012，29（4）：589－593.SONG Yupu，LIU Hao.Rate－dependent endochronic damage constitutive model for concrete［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2012，29（4）：589－593.（in Chinese）

［8］ 李慶斌.混凝土靜、動力雙剪損傷本構理論［J］.水力學報，1995（2）：27－34.LI Qingbin.The static and dynamic twin shear damage constitutive theory for concrete［J］.Journal of Hydraulic Engineering，1995（2）：27－34.（in Chinese）

［9］ 鄧宗才.單軸狀態下混凝土的靜力、動力損傷本構模型［J］.山東建材學院學報，1999，13（4）：334－337.DENG Zongcai.Static and dynamic damage constitutive model of concrete in uniaxal tension and compression［J］.Journal of Shandong Institute of Building Materials，1999，13（4）：334－337.（in Chinese）

［10］ ZHANG Yan.Modélisation du Comportementéastoplastique d'unePatedeCimentSoumiseàlaDégradation Chimique［D］.Lille：University of Science and Technology of Lille，2008.

［11］ ZAOUI A.Continuum micromechanics：Survey［J］.Journal of Engineering Mechanics，2002，128（8）：808－816.

［12］ MAZARS J.Application de la mécanique de l'endommagement non linéaire etàla rupture du béton de structure［D］.Paris：University of Paris，1984.

［13］ 閆東明.混凝土動態力學性能試驗與理論研究［D］.大連：大連理工大學，2006.YAN Dongming.Experimental and theoretical study on the dynamic properties of concrete［D］.Dalian：Dalian University of Technology，2006.（in Chinese）

［14］ COTSOVOS D M，PAVLOVIC M N.Numerical investigation of concrete subjected to compressive impact loading.Part 1：A fundamental explanation for the apparent strength gain at high loading rates［J］.Computers and Structures，2008，86：145－163.