彰顯本質 練出興趣

楊惠娟

華應龍老師是一位有著深厚文化底蘊、富有智慧的數學老師，前不久在蘇州聽了他的一節《整數背景下的平均數》練習課，更確信了這一點。整節課以三個活動為主線。首先以“比較全班8個小組的口算名次”為真實情境，讓學生經歷統計過程，進一步理解平均數的統計意義；接著通過一個小故事，讓學生體會平均數其實是一個接近實際的“真實數”，鞏固“移多補少”求平均數的方法；最后以一個有趣的題目，讓學生深刻體會“極端數據”對平均數的影響。下面筆者選取其中的課堂片段，分享學習體會。

【片段1】競口算，明本質

出示口算比賽試題：

（18+17）÷5 23+42+18 5+26+45

34+28+16 （36+36）÷9 64÷8+28

（12+36）÷2 56÷7+29 （14+28）÷7

（20秒后，學生在小組內交換批閱。）

師：你做對了幾道題？

生：1題、2題……。

師：確實，這些口算題要求比較高，都是兩步計算，時間又特別短。這樣，每道題30分，算算你得了多少分。

師：8個小組，每一組趕快算出各自的總分。

（教師將每組學生的口算總分錄入表格。）

師：看完8個小組的總分，你有什么想法？有沒有發現什么問題？

生：它們都可以除以30，都除得盡。

師：嗯，除以30都除得盡，你覺得呢？靜下心來看，還有什么問題？

生：第八組應該是390。

師：哦，第八組應該是390，看這兩個人合作得多好！一個說都是30的倍數，另一個就說第八組錯了，不是380而是390。

師：看每一組的總分，你還能發現什么問題？

生：每一題都是30分，無論做對多少題、得多少分，每一組的總分除以30都除得盡。

師：對對對，都是若干個30相加。這就回答了剛才同學的發現背后的道理是什么了，非常好！掌聲送給他！

師：還有誰能發現問題？沒有問題了？那現在我們來看看哪一組完成得最棒。

生（齊）：第二組和第四組。

師：那第二組和第四組并列第一，同意嗎？（生沒有反應）同意還是不同意？

生（齊）：同意。

師（微笑）：再看看，想想，還有沒有想法？

生：第二組少了一個人，第二組贏了。

師：人數不等的情況下，看總分行不行？

生：不行，應該要求平均分。

師：為什么要求平均分？

生：因為要算出平均每人得多少分，這樣才公平。

（教師請學生分組算平均分后錄入表格。）

師：看一下平均分，哪一組最棒？

生：第二組。

師：掌聲送給第二組。那第二名呢？

生：第四組。

師：第四組變成第二名了，跟剛才比總分的情況不一樣了吧？第三名呢？比總分的話，第三名是誰？

生：第六組。

師：現在比平均分呢？

生：還是第六組。

師：這樣是不是比總分和比平均分差不多啊？

生：是。

師：啊？那你是不是覺得我們剛才算的平均分白算了？（生表示不同意）為什么不是？

生：因為算平均分才公平，人多人少的問題。

師（掌聲響起）：一語中的！真好！因為各小組人數不等，比總分不公平，比平均分才公平，讓人心服口服。

“平均數”的計算不難，難在理解其意義。整數背景之下如何彰顯“平均數”的統計意義？華老師提供給學生他們熟悉的、現實的、真實的統計題材，在真實的環境里，學生人人參與統計過程，親自收集數據。在比哪個組的口算得分最高時，學生先比總分，在比總分的過程中發現每一組的總分都是30的倍數，并敏銳地發現了求總分過程中的錯誤。在比完總分后，華老師追問：“再看看，想想，還有沒有想法？”開放性的問題引發了學生的深入思考。學生通過觀察，發現兩個組中學生人數不一樣，比總分不公平，比平均分才公平。此活動，華老師想出了“每組5人或6人，口算每題30分”的妙招，避免了“平均數是小數，三年級學生還沒接觸小數除法”的尷尬，解決了沒有學習小數除法的學生算平均分“除不盡”的問題。

【片段2】猜牛重，拓認識

師（播放動畫）：獎勵給大家一個故事——《猜牛重，贏大獎》。

師：故事聽完了，你有什么感受？

生（不約而同）：好奇怪。

師：奇怪什么？

生：有些人猜得很小，有些人猜得很大，為什么會和真實的體重差不多呢？（學生自發鼓起掌來。）

師：好問題！

生：我覺得這可能是出于巧合。外行人正好有人猜得多，有人猜得少，然后就巧合成了1197磅。如果再舉辦一次比賽，結果有可能就不一樣了。（部分學生鼓掌了，認同她的想法。）

師：這位同學的發現，又給我們提出了一個問題——平均數接近牛的真實體重，這是偶然的巧合還是必然的規律呢？

生：我覺得是必然的，是移多補少，比如一個人考了89分，另一人考了91分，91分的給了89分的1分，兩人就都是90分了。

師：明白了嗎？他非常厲害，舉了個例子。

生：因為現在是有人猜大有人猜小，才接近真實數據的。那萬一外行人都猜大了，那不就是偶然的巧合嗎？

師：大家都能圍繞問題來思考，確實特別好。是的，會有這樣的情況。但剛才故事的開頭說，不是兩三個人在猜，而是好幾百人在猜，當有好幾百人的時候，就可能有的多有的少，這一點非常重要。

師：這么一說，你覺得為什么就會那么神奇呢？很多外行人，他們怎么這么厲害？

（學生仍在爭辯，有的說是偶然，有的說是必然。）

師：行，有人說是偶然的，我也很佩服他的想法。其實老師也很好奇，也帶著我的學生做過好多次實驗，比如猜書的頁數、猜大冬瓜的質量等。大家覺得好奇也可以自己去試一試，但是要注意，華老師是帶著我們一個年級的學生在做實驗，不要三五個人去做，人少是做不出這樣的效果的。

師：我要和大家分享，大數學家馬希文說過這樣一句話“平均數總是更加接近實際”……

“猜牛的體重”的小故事把學生對平均數的認識推向了更高的層次。聽完故事，學生不約而同發出了“好奇怪”的聲音，“有些人猜得很小，有些人猜得很大，為什么平均數會和真實的體重差不多呢？”“我覺得這可能是出于巧合……”在學生的疑惑中，華老師順勢拋出問題：“平均數接近牛的真實體重，這是偶然的巧合還是必然的規律？”有的學生說是必然，有的學生說是偶然，為了幫助學生理解這是偶然還是必然的問題，華老師強調這不是兩三個人在猜，而是幾百人在猜，平均數是通過移多補少、取長補短算出來的數。此活動的目的是讓學生了解當樣本足夠大時，平均數總是更加接近實際，但對于學生來說抽象理解困難較大，他們往往會想到一些極端的情況，比如全猜小了或全猜大了。華老師站在學生的視角，提出了：“其實老師也很好奇，也帶著我的學生做過好多次實驗……大家覺得好奇也可以自己去試一試，但是要注意……”鼓勵學生實踐出真知！

【片段3】推年齡，逆思維

出示題目：有8個人在籃球場上打球，他們的平均年齡是12歲。你能想象一下這8個人的年齡可能分別是多少嗎？

師：獨立思考，將答案寫在紙上。

（教師巡視，并邀請三位學生將答案板書在黑板上。）

分別是：①12、12、12、12、12、12、12、12

②12、11、13、10、14、9、15、12

③15、15、12、12、12、10、10、10

（師生共同交流評價三位學生的想法……）

（出示華老師和籃球隊員們的合影及每個人的實際年齡：47、8、6、6、7、7、7、8。）

生（相視而笑，竊竊私語）：咦？是華老師！

師：怎么沒想到這種情況呢？不過，一樣是8個人，平均年齡是不是12歲？

生：是！

師：主要是47歲的華老師惹的禍，是吧？如果沒有47歲的華老師在，他們7個人的平均年齡是多少？

生：7歲！

師：你能發現什么？一起來思考：當有特別大的年齡的人在的時候，平均年齡12比47小了很多。12就不能很好地代表這一組年齡的平均水平。有極大或極小數時，平均數就會忽悠人。

對小學三年級學生而言，可否給定一個平均數讓學生獨立去構造分布？華老師大膽地作了嘗試：開放性地讓學生自己通過移多補少來猜年齡，讓學生感受平均數的統計學意義，感受數據和平均數之間的關系。根據平均年齡猜8個人的實際年齡，這是一個逆向思考的問題，學生能夠根據平均數去猜測實際數，學生猜想的情況多種多樣，這些方案中8個人的年齡都比較接近，誰都沒有想到有華老師這匹“47歲的黑馬”。在這里，雖然學生沒有用語言去描述平均數容易受到極端值的影響，但是通過學生知道真實情況后的驚嘆，以及對有極端數據和沒極端數據的兩組數據的平均數進行討論、比較，能夠推測出學生體會到了平均數的“敏感性”特征。當有極端數據時，平均數也不能準確地表示這一組數據的平均水平，學生在學習活動中不知不覺地學會了辯證思維。

反復回味華老師這節《整數背景下的平均數》練習課，從學科視角和學生視角兩方面主要給我們以下啟示：

1.數學好玩。“數學好玩”的理論是著名數學家陳省身教授提出的，他認為只有讓學生體會到數學學習的“好玩”，學生才能從“玩”中主動地獲取知識。華老師說：“孩子們的手很小，不該硬要他們抓住一大把的東西。對于小學三年級的孩子，不是大學三年級的學生，不能一本正經地系統講授平均數的性質，而應該讓孩子們在玩中學。”怎樣的活動能很好幫助學生進一步理解平均數的意義？華老師將平均數練習嵌入三個“有趣”的活動中，既有學生直接的親身體驗活動，又有學生間接的拓展認識活動，還有學生逆向的舉例活動。學生在他們喜歡的、富有挑戰性的活動中，或靜靜思考，或合作交流，或質疑提問，或切磋商討，或爭論不休……他們激情投入、思維碰撞、智慧交互、情感升華。

2.學生好問。問題是數學的心臟。陶行知先生曾說過：“發明千千萬，起點在一問。”問能解惑，問能知新，問能達識，任何科學的發現無不都是從問題開始的。《義務教育數學課程標準（2011年版）》中課程目標最大的變化是從“二基”走向了“四基”，從“二能”走向了“四能”。如何在數學課堂中培養學生發現問題、提出問題的能力呢？在課堂上，華老師以飽滿的熱情、鼓勵的目光、真誠的微笑面對每一位學生，為學生提供了充分的交流和表達的機會，時不時地和學生進行這樣的對話：你有什么想法？有沒有發現什么問題？靜下心來看，還能發現什么問題？你們覺得呢？……學生在華老師的誘導下，問題源源不斷，學生好問、敢問、善問，體驗到了學習成功的快樂。

（作者單位：江蘇省太倉市教師發展中心）