基于分數階微分的遙感圖像邊緣檢測方法

張志寶+沈懷榮+路振民+懷洋

摘 要： 邊緣保持是單幅遙感圖像的超分辨率重建的關鍵步驟，邊緣檢測的精度直接影響著遙感圖像邊緣保持的效果。針對傳統邊緣檢測算子對噪聲敏感，邊緣檢測效果不理想的缺點，采用經典的分數階微分G?L定義推導出的差分定義方程，構造了該文的分數階掩模算子。通過與傳統邊緣檢測算子檢測結果的對比試驗，結果表明：該算子可以有效地提取遙感圖像的邊緣信息、對噪聲有較好的抑制作用和能獲得更高的信噪比。

關鍵字： 遙感圖像； 分數階微分； 邊緣檢測； PSNR

中圖分類號： TN919.8?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）20?0099?04

Method on remote sensing image edge detection based on fractional order differential

ZHANG Zhi?bao1， SHEN Huai?rong2， LU Zhen?min1， HUAI Yang1

（1. Company of Postgraduate Management， the Academy of Equipment， Beijing 101416， China；

2. Department of Space Equipment， the Academy of Equipment， Beijing 101416， China）

Abstract： Edge retention is the key step in super resolution reconstruction of single remote sensing image. The effect of edge retention is directly affected by the accuracy of edge detection. In order to overcome shortcomings that the traditional edge detection operators are sensitive to noise and its effect is not ideal， the fractional definition equation was deduced according to classical fractional order differential G?L definition， and the fractional mask operator was constructed. The experiment results of edge detection show that the fractional differential operator can effectively extract edge information of the remote sensing images， has better anti?noise performance and higher PSNR than traditional operators.

Keywords： remote sensing image； fractional order differential； edge detection； PSNR

0 引 言

近年來，隨著遙感技術的大力發展，高分辨率遙感影像在軍事偵察、測繪、民用等領域都有重大需求。但由于受到在軌遙感器的平臺姿態、大氣湍流、環境條件、設備老化等因素影響，造成遙感影像質量達不到設計水平，一定程度上限制了遙感影像的判讀、解譯、目標識別等應用。超分別率重建技術是提高遙感影像質量的重要途徑，可以分為單幅圖像重建和多幅圖像重建，多幅圖像重建受數據量大和重建精度的限制，在遙感領域還未得到廣泛的應用。由于光學衍射和運動模糊是影響空間分辨率的主要因素，主要采用單幅超分辨率重建技術來改善空間分辨率，提高影像質量。保持邊緣是單幅圖像的超分辨率重建的關鍵步驟之一[1]。傳統的重采樣方法都是全局的方法，未考慮圖像局部幾何空間結構信息，因此會出現“馬賽克”、“鋸齒”、邊緣模糊等偽信息等現象[2]。邊緣檢測可以極大地減少分析的數據，同時對邊緣區和非邊緣區采取不同的方法處理，能夠較好地保持圖像的結構信息和邊緣，抑制模糊和塊效應。經典的邊緣檢測算子雖然具有邊緣定位較準確，但也有邊緣信息缺失、出現虛假邊緣等缺點[3?4]。

分數階微分是整數階微分運算的推廣，它是將傳統的微積分運算的階次從整數階推廣到分數的情況。隨著科學技術日新月異的發展，分數階微積分受到各領域的專家學者廣泛的關注。本文提出了一種改進的分數階微分邊緣檢測算子，獲得了較好的檢測效果。

1 微分運算對信號作用的分析

對于任一能量型函數（或信號）[f（t）∈L2（R）]，設其傅里葉變換為[f（ω）=Rf（t）·e-iωxdt]，假設函數[f（t）]的整數[k（k∈Z+）]階微分存在，即[fk（t）=Dkf（t）=dkf（t）dtk]，則傅里葉變換為：[（Dkf）（ω）=（iω）kf（ω）=dk（ω）·f（ω）]，其中，[dk（ω）=（iω）k]，[dk（ω）]的指數形式為：

[dk（ω）=ak（ω）·exp（iθk（ω））ak（ω）=ωk，θk（ω）=kπ2sgn（ω），k∈Z+] （1）

將式（1）的整數階[k]推廣到任意階算子[Dα]，函數[f（t）]對應任意的階數[α（α∈R+）]的傅里葉變換為：[（Dαf）（ω）=（iω）αf（ω）=da（ω）·f（ω）]，其中，[da（ω）]的指數形式為：

[da（ω）=aa（ω）·exp（iθα（ω））=aa（ω）·pa（ω）aa（ω）=ωα，θα（ω）=kπ2sgn（ω），α∈R+] （2）

式中：[α∈（0，m]]；[dα（t）]的時域形式為[dα（t）=aα（t）·pα（t）]。其中：[aα（t）=12π-∞∞a（ω）·eiωtdω=-1πsinαπ2Γ（α+1）tα+1，（α≠0，][2，4，…，-1，-3，…），][Γ（·）]為Gamma函數，[Γn=0∞tn-1·e-tdt=n-1！][pαt=12π]；[-∞∞eiθαω·eiωtdω=][cosαπ2·δt-sinαπ2·1πt]。

從信號調制角度看，信號的分數階微分的物理意義可以理解為廣義的調幅調相，振幅隨頻率與微分階數呈冪指數變化，相位是頻率的廣義希爾伯特矩陣變換。

根據上述關系式可以畫出整數一階、二階和分數階的幅頻特性曲線如圖1所示。

圖1 分數階微分幅頻特性曲線

從圖1的幅頻特性曲線可知，信號函數的微分運算對信號的高頻部分具有非線性提升作用，但對信號的低頻有非線性消弱作用。

當[0<α<1]，[ω>1]時， 微分運算對信號有所提升，整數階一階、二階微分對信號的提升幅度明顯大于分數階微分。

當[0<ω<1]時，微分運算信號有消弱作用，呈非線性衰減，分數階微分衰減幅度小于整數階微分。可見，分數階微分，不僅可以提升信號的中高頻成分，還可以非線性的保留信號的低頻成分。

2 分數階微分算子的實現

分數階微分是相對于傳統整數階微分提出來的，是整數階微分的推廣。從分數階微分提出之后，有許多科學家對此問題進行了探討，但對分數階微分理論進行系統的研究開始于19世紀中葉。分數階微分理論經過一百多年的發展，許多科學家從不同的角度進行了不同的嘗試，得到不同的分數階微分定義，經典的定義有G?L定義[5]，R?L定義[6]和Caputo定義[7]。由于對分數階微分的物理意義不明確，阻礙了分數階微分在工程領域的應用。隨著科學技術的日新月異的發展，相對于整數階微分，分數階微分運算在動力學分析、生物工程、信號處理等領域處理過程所擁有的優點逐漸凸顯出來，逐漸引起人們的關注并在一些領域嘗試應用[8]。

2.1 分數階微分的差分定義

Grünwald?Letnikov定義將連續函數經典的整數階微分階數從整數推廣到分數，通過對原整數階微分的差分近似遞推式求極限推衍而來的[9]：

[GaDαt=limh→01hαm=0t-ah-1mΓα+1m！Γα-m+1ft-mh] （3）

式中：Gamma函數[Γn=0∞tn-1·e-tdt=n-1！]。根據式（3），若一元信號[ft]的持續期間為[t∈a，t]，將信號持續期間[a，t]按單位等分間隔[h=1]進行等分，所以[n=t-ahh=1=t-a]，可以推導出一元信號[ft]分數階微分的差分表達式為：

[dαftdtα≈ft+-αft-1+-α-α+12ft-2+…+ Γ-α+1n！Γ-α+n+1ft-n （4）]

將上面的一元函數分數階微分推廣到二維圖像上，定義二維分數階微分的差分在[x]方向和[y]方向上的表達式為：

[?fx，y?xα≈fx，y+-αfx-1，y+ -α-α+12fx-2，y] （5）

[?fx，y?yα≈fx，y+-αfx，y-1+ -α-α+12fx，y-2] （6）

用式（5），式（6）所對應的掩模與圖像做卷積時較為復雜，所以為了簡化計算和便于處理，文獻[10]中重新定義圖像信號[fx，y]偏分數階微分為：

[?fx，y?xα≈-αfx+1，y+fx，y+ -α-α+12fx-2，y] （7）

[?fx，y?yα≈-αfx，y+1+fx，y+ -α-α+12fx，y-2] （8）

相應的[x]軸正方向和[y]軸正方向上的分數階掩模如圖2所示。

圖2 x軸和y軸正方向上掩模

2.2 分數階微分算子的構造

在[M×N]的圖像[fx，y]上，用[m×n]大小的濾波器掩模進行濾波：

[gx，y=s=-aas=-bbws，tfx+s，y+t] （9）

式中：[ws，t]稱為掩模算子；[a=m-12]；[b=n-12]為了獲得一張完整的經過濾波的圖像，必須對[x=0，1，2，…，M-1]和[y=0，1，2，…，N-1]依次使用該公式。這樣就保證了所有像素點都進行了處理。

對于數字圖像[fx，y]，分數階掩模算子的尺度可以大到等于數字圖像本身的尺度，但是計算量太大，也只是分數階微分解析解的最大逼近。為了實現分數階濾波器且誤差不能太大，取分數階差分式的前三項，構造[3×3]的分數階掩模。

由式（7），式（8）可以得到[x]軸正方向，[y]軸正方向的掩模算子，依次還可以類推到[x]軸負方向，[y]軸負方向的掩模算子。

將這4個分數階微分算子分別與圖像[fx，y]進行分數階微分，但是考慮到斜邊緣一部分漏檢，實現微分算子的旋轉各向性，于是結合對角線45°，135°，225°，315°四個方向上的分數階掩模算子。

最后將8個方向上的掩模算子相加后得到最終掩模算子如圖3所示。

圖3 分數階微分掩模

3 圖像邊緣提取的實驗仿真與結果分析

在二維灰度圖像中，邊緣和噪聲都是局部不連續的點，噪聲和邊緣相應的鄰域像素的灰度值發生了劇烈的變化。所謂圖像邊緣就是指其鄰域像素灰度值或亮度值有階躍變化或屋頂變化的像素的集合，它存在于目標與背景，目標與目標之間、區域與區域之間、像元與像元之間。邊緣具有有序性和方向性，與鄰域的像素具有很高的相關性，而噪聲信號具有隨機性，與鄰域的像素無相關性。在信號處理過程中，利用鄰域像素的相關性，可以抵消噪聲的影響，加強邊緣信號。

3.1 不同階微分算子邊緣檢測的對比

根據圖3所示分數階掩模算子，獲取圖像的邊緣信息。首先對圖3的掩模算子的每一項除以[4α2-12α+8]，完成掩模算子的歸一化處理。其次，使用掩模算子對圖像進行卷積運算，對于圖像的平滑區域，輸出的像素值得變化很小；對于圖像的像素值變化較大的區域，輸出的像素值發生了顯著地變化。通過對圖像分數階微分后，邊緣的特征顯著突出，紋理更加清晰，平滑區域保持不變。最后將經過分數階微分運算的圖像的像素值與原圖像中的像素值相減，得到圖像的邊緣信息。

圖4是不同階微分算子對圖像的邊緣提取結果，通過對比可以看出不同階次的微分算子所提取的邊緣信息基本相同。

圖4 不同階微分算子提取的邊緣信息

實際需要處理的遙感圖像不可避免的帶有噪聲，噪聲往往會使圖像的邊緣模糊，導致一些細節無法檢測出來，邊緣信息不夠連續，然而通過實驗結果可以看出：隨著階數的增加，邊緣信息基本不變，但是噪聲有所增加，說明取較低的階數時能很好地抑制噪聲。說明構造的該微分算子可以有效的提取邊緣信息，還可以通過改變分數階微分的階次獲得連續的邊緣信息來滿足圖像處理的不同需求。

3.2 各種算子邊緣檢測對比

圖5（b）～（f）為經典的1階Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子和Canny算子與0.6階分數階微分算子提取的邊緣信息。

從仿真結果圖中可以得出：1階Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子提取的結果很不理想，邊緣細

節信息缺失嚴重。Canny算子和0.6階微分算子相對于一階算子能提取更豐富的邊緣信息。0.6階的微分算子提取的邊緣信息更豐富，效果更好。因為Canny算子在對圖像進行平滑時會造成過度平滑，雖然提高了信噪比，去除了噪聲，但是平滑時會使很多邊緣也被模糊掉，致使檢測到的邊緣信息較少。

圖5 各種邊緣檢測算子檢測結果

3.3 高斯白噪聲條件下各種微分算子檢測對比

圖6（b）～（f）是對原圖像加入均值為0，方差為0.001的高斯白噪聲后提取的邊緣信息，從圖中可知，0.6階分數階微分算子相對于1階Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子能很好的抑制噪聲。

圖6 高斯噪聲圖像的檢測結果

Canny算子和0.6階分數階微分算子都能很好地抑制噪聲，但Canny算子在檢測時會損失部分水平、垂直方向上的邊緣信息，因為Canny算子在對圖像平滑后計算梯度幅值時只針對了水平方向和垂直方向。

3.4 不同階微分算子提取邊緣的峰值信噪比

對原圖像加入均值為0，方差為0.001的隨機噪聲，表1為基于不同階微分算子提取的邊緣信息的均方根和峰值信噪比。

表1 不同微分階數提取邊緣的均方誤差和峰值信噪比

從表中可以得出：當階數[0<α<0.3]時，均方誤差（MSE）隨著階數的增大而減小，當階數[0.3<α<1]時，MSE隨著階數的增大而增大，均方誤差在0.3階附近取到最小值，即兩幅圖像的誤差越小，越接近原圖像。當階數[0<α<0.3]時，峰值信噪比（PSNR）隨著階數的增大而增大，當階數[0.3<α<1]時，PSNR隨著階數的增大而減小，峰值信噪比最大值在0.3階附近取到。 因為微分階數很小時，分數階微分算子對圖像的紋理的提升會對圖像的邊緣提取產生一定的干擾。

4 結 語

本文基于分數階微分理論，對信號經過微分的幅頻特性進行了詳細的分析，分數階微分在增強高頻信息的同時，也保留一定的低頻信息。根據經典的分數階微分G?L定義推導出的差分定義，構造了本文的分數階微分算子，在提升高頻信息和保留低頻信息方面具有良好的效果。實驗結果證明了分數階微分算子可以彌補傳統邊緣檢測算子提取邊緣信息的缺失的缺點，相比于傳統算子具有一定的抑制噪聲的作用，因此，該方法是一種可行的遙感圖像邊緣檢測方法。

參考文獻

[1] 孫濤，林立宇.光學遙感影像復原與超分辨率重建[M].北京：國防工業出版社，2012.

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[10] 楊柱中，周激流，黃梅，等.基于分數階微分的邊緣檢測[J].四川大學學報：工程科學版，2008，40（1）：152?157.

3.1 不同階微分算子邊緣檢測的對比

根據圖3所示分數階掩模算子，獲取圖像的邊緣信息。首先對圖3的掩模算子的每一項除以[4α2-12α+8]，完成掩模算子的歸一化處理。其次，使用掩模算子對圖像進行卷積運算，對于圖像的平滑區域，輸出的像素值得變化很小；對于圖像的像素值變化較大的區域，輸出的像素值發生了顯著地變化。通過對圖像分數階微分后，邊緣的特征顯著突出，紋理更加清晰，平滑區域保持不變。最后將經過分數階微分運算的圖像的像素值與原圖像中的像素值相減，得到圖像的邊緣信息。

圖4是不同階微分算子對圖像的邊緣提取結果，通過對比可以看出不同階次的微分算子所提取的邊緣信息基本相同。

圖4 不同階微分算子提取的邊緣信息

實際需要處理的遙感圖像不可避免的帶有噪聲，噪聲往往會使圖像的邊緣模糊，導致一些細節無法檢測出來，邊緣信息不夠連續，然而通過實驗結果可以看出：隨著階數的增加，邊緣信息基本不變，但是噪聲有所增加，說明取較低的階數時能很好地抑制噪聲。說明構造的該微分算子可以有效的提取邊緣信息，還可以通過改變分數階微分的階次獲得連續的邊緣信息來滿足圖像處理的不同需求。

3.2 各種算子邊緣檢測對比

圖5（b）～（f）為經典的1階Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子和Canny算子與0.6階分數階微分算子提取的邊緣信息。

從仿真結果圖中可以得出：1階Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子提取的結果很不理想，邊緣細

節信息缺失嚴重。Canny算子和0.6階微分算子相對于一階算子能提取更豐富的邊緣信息。0.6階的微分算子提取的邊緣信息更豐富，效果更好。因為Canny算子在對圖像進行平滑時會造成過度平滑，雖然提高了信噪比，去除了噪聲，但是平滑時會使很多邊緣也被模糊掉，致使檢測到的邊緣信息較少。

圖5 各種邊緣檢測算子檢測結果

3.3 高斯白噪聲條件下各種微分算子檢測對比

圖6（b）～（f）是對原圖像加入均值為0，方差為0.001的高斯白噪聲后提取的邊緣信息，從圖中可知，0.6階分數階微分算子相對于1階Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子能很好的抑制噪聲。

圖6 高斯噪聲圖像的檢測結果

Canny算子和0.6階分數階微分算子都能很好地抑制噪聲，但Canny算子在檢測時會損失部分水平、垂直方向上的邊緣信息，因為Canny算子在對圖像平滑后計算梯度幅值時只針對了水平方向和垂直方向。

3.4 不同階微分算子提取邊緣的峰值信噪比

對原圖像加入均值為0，方差為0.001的隨機噪聲，表1為基于不同階微分算子提取的邊緣信息的均方根和峰值信噪比。

表1 不同微分階數提取邊緣的均方誤差和峰值信噪比

從表中可以得出：當階數[0<α<0.3]時，均方誤差（MSE）隨著階數的增大而減小，當階數[0.3<α<1]時，MSE隨著階數的增大而增大，均方誤差在0.3階附近取到最小值，即兩幅圖像的誤差越小，越接近原圖像。當階數[0<α<0.3]時，峰值信噪比（PSNR）隨著階數的增大而增大，當階數[0.3<α<1]時，PSNR隨著階數的增大而減小，峰值信噪比最大值在0.3階附近取到。 因為微分階數很小時，分數階微分算子對圖像的紋理的提升會對圖像的邊緣提取產生一定的干擾。

4 結 語

本文基于分數階微分理論，對信號經過微分的幅頻特性進行了詳細的分析，分數階微分在增強高頻信息的同時，也保留一定的低頻信息。根據經典的分數階微分G?L定義推導出的差分定義，構造了本文的分數階微分算子，在提升高頻信息和保留低頻信息方面具有良好的效果。實驗結果證明了分數階微分算子可以彌補傳統邊緣檢測算子提取邊緣信息的缺失的缺點，相比于傳統算子具有一定的抑制噪聲的作用，因此，該方法是一種可行的遙感圖像邊緣檢測方法。

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3.1 不同階微分算子邊緣檢測的對比

根據圖3所示分數階掩模算子，獲取圖像的邊緣信息。首先對圖3的掩模算子的每一項除以[4α2-12α+8]，完成掩模算子的歸一化處理。其次，使用掩模算子對圖像進行卷積運算，對于圖像的平滑區域，輸出的像素值得變化很小；對于圖像的像素值變化較大的區域，輸出的像素值發生了顯著地變化。通過對圖像分數階微分后，邊緣的特征顯著突出，紋理更加清晰，平滑區域保持不變。最后將經過分數階微分運算的圖像的像素值與原圖像中的像素值相減，得到圖像的邊緣信息。

圖4是不同階微分算子對圖像的邊緣提取結果，通過對比可以看出不同階次的微分算子所提取的邊緣信息基本相同。

圖4 不同階微分算子提取的邊緣信息

實際需要處理的遙感圖像不可避免的帶有噪聲，噪聲往往會使圖像的邊緣模糊，導致一些細節無法檢測出來，邊緣信息不夠連續，然而通過實驗結果可以看出：隨著階數的增加，邊緣信息基本不變，但是噪聲有所增加，說明取較低的階數時能很好地抑制噪聲。說明構造的該微分算子可以有效的提取邊緣信息，還可以通過改變分數階微分的階次獲得連續的邊緣信息來滿足圖像處理的不同需求。

3.2 各種算子邊緣檢測對比

圖5（b）～（f）為經典的1階Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子和Canny算子與0.6階分數階微分算子提取的邊緣信息。

從仿真結果圖中可以得出：1階Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子提取的結果很不理想，邊緣細

節信息缺失嚴重。Canny算子和0.6階微分算子相對于一階算子能提取更豐富的邊緣信息。0.6階的微分算子提取的邊緣信息更豐富，效果更好。因為Canny算子在對圖像進行平滑時會造成過度平滑，雖然提高了信噪比，去除了噪聲，但是平滑時會使很多邊緣也被模糊掉，致使檢測到的邊緣信息較少。

圖5 各種邊緣檢測算子檢測結果

3.3 高斯白噪聲條件下各種微分算子檢測對比

圖6（b）～（f）是對原圖像加入均值為0，方差為0.001的高斯白噪聲后提取的邊緣信息，從圖中可知，0.6階分數階微分算子相對于1階Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子能很好的抑制噪聲。

圖6 高斯噪聲圖像的檢測結果

Canny算子和0.6階分數階微分算子都能很好地抑制噪聲，但Canny算子在檢測時會損失部分水平、垂直方向上的邊緣信息，因為Canny算子在對圖像平滑后計算梯度幅值時只針對了水平方向和垂直方向。

3.4 不同階微分算子提取邊緣的峰值信噪比

對原圖像加入均值為0，方差為0.001的隨機噪聲，表1為基于不同階微分算子提取的邊緣信息的均方根和峰值信噪比。

表1 不同微分階數提取邊緣的均方誤差和峰值信噪比

從表中可以得出：當階數[0<α<0.3]時，均方誤差（MSE）隨著階數的增大而減小，當階數[0.3<α<1]時，MSE隨著階數的增大而增大，均方誤差在0.3階附近取到最小值，即兩幅圖像的誤差越小，越接近原圖像。當階數[0<α<0.3]時，峰值信噪比（PSNR）隨著階數的增大而增大，當階數[0.3<α<1]時，PSNR隨著階數的增大而減小，峰值信噪比最大值在0.3階附近取到。 因為微分階數很小時，分數階微分算子對圖像的紋理的提升會對圖像的邊緣提取產生一定的干擾。

4 結 語

本文基于分數階微分理論，對信號經過微分的幅頻特性進行了詳細的分析，分數階微分在增強高頻信息的同時，也保留一定的低頻信息。根據經典的分數階微分G?L定義推導出的差分定義，構造了本文的分數階微分算子，在提升高頻信息和保留低頻信息方面具有良好的效果。實驗結果證明了分數階微分算子可以彌補傳統邊緣檢測算子提取邊緣信息的缺失的缺點，相比于傳統算子具有一定的抑制噪聲的作用，因此，該方法是一種可行的遙感圖像邊緣檢測方法。

參考文獻

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