具有縱向可比性的三維動態灰關聯模型及其應用

趙 凱，門可佩，蔣 勇

(南京信息工程大學數學與統計學院，南京 210044)

0 引言

灰色系統理論是鄧聚龍教授于1982年首先提出來的，其實質為對部分信息已知部分信息未知的系統的定量分析[1-3]。灰色關聯分析[1,2]是灰色系統理論的兩大基石之一，它并不深究系統的運行機制和物理模型，而是在距離空間與拓撲空間的基礎上[4]，對系統的時間序列或截面數據建立關聯分析模型，以量化系統運行狀態。

目前常用的灰色關聯度模型主要有：鄧聚龍提出的鄧氏灰關聯度[1]，從曲線間的接近性或相似性來考慮量化；王清印的灰色B型關聯度和C型關聯度[5，6]，從位移、速度、加速度的角度來考慮量化；劉思峰的廣義灰關聯度[7]，從兩條序列折線所夾的面積大小來考慮量化；李學全的灰色斜率關聯度[8]主要從因素序列曲線的平均相對變化態勢來考慮量化關聯度。現有的計算模型的建立是基于充分考慮系統在發展過程中的相近性，全面考慮事物之間發展過程的異同性。但是，上述關聯度模型給出的是靜態的模型值，在縱向上變化發展的動態綜合評價問題中，不同時間截面的關聯度則不具有可比性。本文從縱向角度出發，給出一種具有動態可比性的三維灰關聯模型，同時給出應用實例。

1 灰關聯分析模型及其縱向可比性探討

記評價系統為X={Xi=(xi(1),xi(2),...,xi(N))|i=0,1,2,...,m}，其中，m代表系統個數，N代表時間長度，并滿足灰色關聯四公理：

(1)規范性：0＜γ(X0,Xi)≤1，γ(X0,Xi)=1?Xi=aX0+b。

其中，i=1,2,...,m為評價序列的下標，a和b為常數。

(2)整體性：?Xi,Xj(i≠j)∈X?γ(Xi,Xj)≠γ(Xj,Xi)。

(3)偶對稱性：?Xi,Xj(i≠j)∈X,γ(Xi,Xj)=γ(Xj,Xi)?X={Xi,Xj}。

(4)接近性：|X0(t)-Xi(t)|越小，則γ(X0(t),Xi(t))越大。

稱無量綱數γ(X0,Xi)為系統Xi與參照系統X0之間的灰色關聯度，γ(X0(t),Xi(t))為系統Xi與參照系統X0在t時刻的灰色關聯系數。鄧氏灰關聯度定義為

該定義默認系統行為序列是個一維時間序列，沒有考慮動態多指標的問題。另外，在點關聯系數有顯著差異的情況下，鄧氏灰關聯度也有其缺陷，詳見文獻[9]。

按上面的定義，鄧氏灰關聯分析的計算步驟如下:

(1)確定參考序列和比較序列。在m個系統、N個時間長度的條件下，令參考序列與比較序列分別如下：

X0=(x0(1),x0(2),...,x0(N))，Xi=(xi(1),xi(2),...,xi(N))

(2)求各序列的初值像。為消除量綱的影響，設

(3)求兩級最大差和最小差。記

(4)求關聯系數

其中，分辨系數ρ∈(0,1)，通常取ρ=0.5。

(5)計算關聯度上述關聯度的定義，是針對多系統、單指標的時間序列定量化評價問題。對于多系統、多指標的評價問題{xij(t)∈(Si,Xj,Tt)|i=0,1,2,...,m;j=1,2,...,n;t=1,2,...,N}，其中，m是系統的個數，n是評價指標的個數，N為時間長度，該評價問題的信息矩陣為

可以證明，對于上述動態評價問題，由(4)式定義的灰色關聯度不具有縱向可比性。

但在應用灰色關聯度進行動態多系統、多指標評價問題時，構造參考序列，使得該參考序列包含所有時間的信息，則所得的灰色關聯度在橫向和縱向上都具有可比性。

2 基于時間維度的參考序列選擇及其關聯度的可比性

對于多系統、多指標評價系統

其不同時刻所有系統的信息矩陣為

(1)時間維度上的最大均值

(2)數據無量綱化處理

(3)令動態參考序列為

利用鄧氏灰色關聯度模型的(2)～(4)式，計算各個時間、各個系統與參考系統S0(T)之間的灰色關聯度。由該方法計算出的關聯度，不但繼承了傳統灰色關聯模型可以橫向比較的特性，而且還可以進行縱向比較分析，這在多系統、多指標、動態綜合評價問題中可以取得很好的效果，同時也大大簡化了計算。由于不同時刻各系統的信息矩陣已經進行過M0的均值化處理，所以無需再由(1)式對數據做無量綱化處理。

文獻[11]給出的三維灰色關聯模型，是對各個時刻的灰色關聯度求均值，這是一個總體值，不同時刻的關聯度仍然不能做縱向的比較。

3 應用實例

運用本文給出的新型灰色關聯分析模型，對江蘇省13個城市分別在“九五”末、“十五”末、“十一五”末的經濟社會發展狀況進行綜合評價，也就是對2001、2006、2010年的運行狀況進行綜合評價，其評價系統為{xij(t)∈(Si,Xj,Tt)}13*5*3，系統信息、指標信息、時間信息和信息矩陣分別列于表1至表4所示。

表4給出2001、2006、2010年各個系統、各個指標經過本文定義的數據無量綱化后的數值，其具體趨勢見圖1至圖3所示。經計算，時間維度上的最大均值序列為

M0=[m1,m2,m3,m4,m5]=[40054.270,37.900,80.543,390.886,131.520]；

其動態參考序列為

S0(T)=[x1(T),x2(T),x3(T),x4(T),x5(T)]=[1.792,3.523,4.199,3.116,7.656]。

表1 系統信息表

表2 指標信息表

表3 時間信息表

圖1 2001年江蘇各系統經過最大均值序列無量綱化后的狀態

圖2 2006年江蘇各系統經過最大均值序列無量綱化后的狀態

圖3 2010年江蘇各系統經過最大均值序列無量綱化后的狀態

由(7)式得到的動態參考序列，結合(2)—(4)式則可計算出動態灰關聯度值，如圖4和圖5所示。上述所求出的灰色關聯度加入了時間信息，繼承了傳統灰色關聯度的橫向可比性，同時也具有縱向可比性。在考察系統與系統運行之間的相互關系的同時，可以考察同一系統在不同時間的運行狀況。由圖4，從時序縱向上比較灰色關聯度，比如就蘇州而言，2001、2006、2010年與動態參考序列的灰色關聯度分別為0.7153、0.7639、0.7659，這說明蘇州發展態勢逐年提升，接近于參考系統的發展水平，而無錫則相反，徐州則有波動。從橫向上比較灰色關聯度，由圖5可以看出，灰色關聯度按照：＞2.0,(1.7,2.0),＜1.7的標準，可依次劃分為三大方陣：第一方陣3個城市：南京、蘇州、無錫；第二方陣6個城市：常州、淮安、南通、徐州、揚州、鎮江；第三方陣4個城市：連云港、宿遷、泰州、鹽城。該評價符合江蘇經濟社會發展的實際。

表4 經過M0無量綱化后的信息矩陣*

圖4 2001、2006、2010年江蘇13個城市與動態參考序列灰關聯度

圖6 江蘇13個城市與動態參考序列灰關聯度的3年總和

4 結論

本文在鄧氏灰關聯分析模型考慮多系統、單指標時間序列之間相關程度的基礎上，構建三維動態多系統、多指標系統綜合評價問題的灰關聯度模型，其實質是在關于數據無量綱化處理的過程中，引入時間維度上的最大均值組M0=[m1,m2,...,mn]，并在選擇動態參考序列S0(T)=[x1(T),x2(T),...,xn(T)]的時候引入時間維度，使得最后計算出來的灰色關聯度同時具有橫向和縱向的比較特性，可以更真實地反映系統的運行特點。相對于利用回歸分析、主成份分析等方法而言，采用本文提出的基于動態參考序列的灰色關聯度模型綜合評價，其評價結果更為合理，失真度較小，且具有方便易行，計算量小等優點。因此，本文提出的方法不僅在社會經濟統計等領域，而且在氣象與空間統計領域也大有用武之地。

[1]鄧聚龍.灰色控制系統[M].武漢:華中理工大學出版社,1995.

[2]鄧聚龍.灰理論基礎[M].武漢:華中理工大學出版社,2002.

[3]鄧聚龍,黨耀國,方志耕.灰色理論及其應用（第三版）[M].北京:科學出版社,2004.

[4]曹明霞,黨耀國.灰色關聯分析模型及其應用的研究[D].南京：南京航空航天大學碩士學位論文,2007.

[5]王清印.灰色B型關聯分析[J].華中理工大學學報,1987,17(6).

[6]王清印,趙秀恒.C型關聯分析[Z].華中理工大學學報,1999,27(3).

[7]Liu Sifeng.Generalized Degree of Grey Incidence[M].Information and Systems,Dalian DMU Publishing House,1992.

[8]李學全.灰色關聯度模型的進一步研究[J].系統工程,1995,13(6).

[9]崔杰.點關聯系數由顯著性差異下灰色關聯分析模型的改進[J].統計與決策,2008,(24).

[10]周亞,張駿.多屬性決策中的TOPSIS法研究[D].武漢：武漢理工大學碩學位論文,2009.

[11]王正新,黨耀國,沈春光.三維灰色關聯模型及其應用[J].統計與決策,2011,(15).

[12]江蘇省統計局.江蘇統計年鑒（2002～2011）[M].北京:中國統計出版社,2002～2011.