數(shù)學歸納法教學的困難、對策與價值

詹欣豪+何小亞

1前言

數(shù)學歸納法是一種特殊的數(shù)學演繹證明方法.我國著名數(shù)學家華羅庚指出：“數(shù)學歸納法這個方法很重要，對學好高等數(shù)學有幫助，對認識數(shù)學的性質也有裨益，同時可以幫助我們深思.”[1]法國數(shù)學家H.Poincare同樣十分推崇數(shù)學歸納法，稱它是“數(shù)學中全部優(yōu)點的根源”，并認為這個有限到無限的飛躍，既超越了經驗的歸納，也超越了純粹的演繹.

數(shù)學歸納法有許多形式，比如第一數(shù)學歸納法、第二數(shù)學歸納法、倒推數(shù)學歸納法，等等.在基礎教育階段，只要求學生學習第一數(shù)學歸納法.一直以來，世界各國的課程都將數(shù)學歸納法列為重要的學習內容：

2003年，我國高中數(shù)學課程標準要求學生：“了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.”[2]

1989年，全美數(shù)學教師協(xié)會（NCTM）要求學生更加關注數(shù)學歸納法，因為它是離散數(shù)學中很重要的一種證明方法[3].2000年，NCTM在其修訂的標準中，要求學生學習應用數(shù)學歸納法原理去證明一些特定類型的題目，因為反復演算和遞推方法的應用很廣泛[4].

2009年，日本高等學校學習指導要領要求學生理解數(shù)學歸納法，用其來證明簡單的命題，并活用于事物現(xiàn)象的考察[5].

Bourbaki指出，單是驗證了一個數(shù)學證明的逐步邏輯推導，卻沒有試圖洞察獲取這一連串推導的背后意念，并不算理解了那個數(shù)學證明.

數(shù)學歸納法從萌芽到以歸納公理的形式最終確定下來，共經歷了兩千多年的時間.與數(shù)學歸納法漫長的發(fā)展過程相比，學生對于數(shù)學歸納法的運用似乎顯得駕輕就熟.這背后，學生究竟是只知道“兩步一結論”的程式化操作，還是真正理解和掌握了原理呢？

2數(shù)學歸納法難在何處

數(shù)學歸納法的教學是一個世界難題，中外的研究[6—8]表明，學生在理解數(shù)學歸納法時面臨著許多心理困難，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

（1）分不清數(shù)學歸納法與歸納法；

（2）難以認同把無限步的三段論推理轉化為有限步的驗證；

（3）不理解“假設結論成立，然后再去證明結論成立”；

（4）不理解兩個步驟的必要性；

（5）“奠基”的初值與歸納假設要求的初值脫節(jié)；

（6）遞推關系證明的數(shù)學困難.

其中，尤以（3）為甚，學生面臨的心理困難是：第二步的證明過程整個建立在一個命題p（k）上，而它本身未被預先證明，并且在推理過程中不加以證明.實際上，該心理困難與理解“蘊含關系”存在密切的關系，其本質在于：證明所關注的不是p（k）和p（k+1）是否分別成立，而是它們之間是否存有蘊含關系，即該蘊含關系的真值是否為真與p（k）和p（k+1）是否成立沒有關系.

3理解困難的原因

3.1演繹證明思維方式的負遷移

學生在學習數(shù)學歸納法之前所進行的論證，其證明思路和表達方式都類似于日常生活中的推理，即：①從某個事實出發(fā)，去證明另一個事實；②從某個假設出發(fā)，通過與實際情況的比較去證明它.而數(shù)學歸納法是一種全新的、與以往完全不同的演繹證明方式，許多學生也許從來沒有想過可以這樣來說明一件事情的真實性，這也叫證明嗎？[9]

3.2數(shù)學歸納法的教學無“法”可依

圖1

無“法”可依體現(xiàn)在兩個方面：①數(shù)學歸納法事實上是基于自然數(shù)的歸納公理，然而中學教材中并沒有皮亞諾公理或最小數(shù)原理作前提；②數(shù)學歸納法的認知圖式涉及函數(shù)圖式與邏輯圖式（圖1），而學生的原有認知結構對于同化數(shù)學歸納法無論是數(shù)學知識還是邏輯知識都不夠充分.

3.3“考教悖論”的影響

面對高考，一方面，一線教師的態(tài)度是“考什么就教什么”；另一方面，命題專家的態(tài)度是“教什么就考什么”.這兩種矛盾的現(xiàn)象就構成了所謂的“考教悖論”.我國2003年的高中數(shù)學課程標準將數(shù)學歸納法安排在數(shù)學選修22中，但這一模塊要學習導數(shù)及其應用（24學時）、推理與證明（8學時）、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入（4學時）.數(shù)學歸納法放在推理與證明中，由于只要求達到了解數(shù)學歸納法的原理，加上高考主要以導數(shù)及其應用為重頭戲，許多省份很少考數(shù)學歸納法（廣東省除外），導致許多學校只講數(shù)學歸納法的操作步驟甚至不講數(shù)學歸納法的內容.

3.4教材的編排不合理

Bell對證明進行了以下分類：①個人的經驗；②權威的認可；③觀察到的實例；④舉不出反例；⑤結論的有效性；⑥數(shù)學的邏輯演繹推理[10].也就是說，數(shù)學證明只是眾多證明方式中的一種.證明學習，除了學習形式推理之外，更重要的是理解數(shù)學證明的必要性與合理性.然而，教材的呈現(xiàn)太過突然，學生不知道為什么要學習數(shù)學歸納法，而且他們也缺少遞推的過程性經驗.

3.5教學法的顛倒

數(shù)學歸納法誕生的歷史發(fā)展過程是先水平數(shù)學化，然后再垂直數(shù)學化，但教師們的教學卻跳過了水平數(shù)學化，直奔垂直數(shù)學化，而且教師的教學采取了公理演繹式的教學方式，這恰恰是Freudenthal所反對的“教學法的顛倒”.

3.6教育文化的影響

受教育文化的影響，我國學生不喜歡質疑與提出問題，寧愿懵懵懂懂一知半解，也不會把心中的問題搞得水落石出.

4教學對策

教學設計成果是設計者教育思想的結晶，反映著一定的教育價值取向.本設計體現(xiàn)了追求理解的數(shù)學教育價值取向，其設計理念為：“既要教操作步驟，更要教原理的理解；既要提供“公理”的背景，更要借助日常情境模型把重點放在對蘊含關系p→q的理解上.”

4.1相識：創(chuàng)設情境，使其一見鐘情

回顧：在前面學習歸納推理的時候，我們遇到過這樣的一個問題：

例已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an1+an.試求數(shù)列的通項公式.

問題1大家還記得當時我們是怎樣解決的嗎？

學生是在學習了合情推理與演繹推理基礎上學習數(shù)學歸納法的，該問題起到了先行組織者的作用.

問題2我們當時的猜想真的正確嗎？能證明嗎？

引發(fā)矛盾：正整數(shù)無限，即使窮盡一生，也無法一一驗證.

問題3怎樣才能進行無限的驗證呢？必須找到新的方法！

正所謂“不憤不啟，不悱不發(fā)”，為了解決有限與無限的矛盾，學生便會面向生活與實踐，為解決問題而學習.

評注Freudenthal指出，學習數(shù)學歸納法的正確途徑是，向學生提出一些必須用數(shù)學歸納法才能解決的問題，迫使他們直觀地去用這個方法，從而發(fā)現(xiàn)這個方法.該例存在明顯的遞推關系，符合數(shù)學歸納法的本質；同時制造認知沖突，使學生產生“饑餓”之感.

4.2勾魂：問題驅動，使其欲罷不能

問題4在以前的數(shù)學學習中，我們有遇到過類似的問題嗎？

以立體幾何中證明“線面垂直”為例.

①按定義證：即證明直線與平面內的“任意一條”直線都垂直——“無限”的驗證！

②按判定定理證：證明直線與平面內的“兩條”相交直線垂直——“有限”的驗證！

問題5由這個例子，你們可以得到什么啟發(fā)？

思考的方向：能不能找到一種方法，只要通過對有限個步驟的驗證，就能確保對無限個步驟也能成立？

評注數(shù)學歸納法的認知難點之一是“把無限步的驗證轉化為對有限步的驗證”，通過類比立體幾何中線面垂直的定義中的無限性與判定定理的有限性之間的轉化，可以克服這一難點.

4.3相知：解決問題，使其豁然開朗

教師指出：究竟該通過“怎樣的有限步”才能確保無限步成立呢？為解決這個問題，引入多米諾骨牌的三次實驗！

實驗一：如圖2，課件展示動畫，老師用手推倒第1塊骨牌，然后第2塊骨牌、第3塊骨牌……緊跟著全部倒下，實驗成功.

圖2

問題6思考為什么會出現(xiàn)這樣的結果？

圖3

實驗二：如圖3，課件展示動畫，在該實驗中，骨牌的間距和實驗1相同，老師用手推第1塊骨牌，沒有推倒，自然第2塊骨牌、第3塊骨牌……也就沒有倒下，實驗失敗.

問題7對比實驗一和實驗二，討論實驗失敗的原因？

結論：實驗成功所需具備的第一個條件是：第1塊骨牌必須倒下.……①

圖4

實驗三：如圖4，課件展示動畫，在該實驗中，骨牌的間距出現(xiàn)分化，將其中兩塊骨牌的間距拉開足夠大，而其它間距保持不變.老師用手推倒第1塊骨牌，還是沒有全部倒下，實驗失敗.

問題8對比實驗一和實驗三，討論實驗失敗的原因？

結論：實驗成功所需具備的第二個條件是：任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.

問題9如何用數(shù)學語言描述上述結論？

改寫結論：若第k塊倒下，則第k+1塊也倒下.……②

評注數(shù)學歸納法的認知難點之二是“理解兩步驟的必要性”，通過多米諾骨牌實驗一、二、三的對比操作分析展示：有1沒2不行；有2沒1也不行；有1且有2才行，直觀地化解了這一難點.數(shù)學歸納法的認知難點之三是“對蘊含關系p（k）→p（k+1）的不理解”，我們的作法是通過“擺好的”多米諾骨牌來搭建理解的腳手架，為此要做兩件事：一是通過一些沒擺好的骨牌作為反例來強化什么叫擺好；二是通過“擺好的”骨牌說明這一關系與第k塊倒沒倒下沒有關系.

4.4動情：欣賞數(shù)學，使其念念不忘

教師指出：多米諾骨牌實驗使我們看到方法的影子，但畢竟不能用來證明數(shù)學問題，需要抽出蘊含的原理，遷移到數(shù)學問題.

遷移一：將骨牌實驗換成數(shù)學問題，回到最初的例子.

要證明猜想an=1n，即證明下面與正整數(shù)有關的無限多個等式成立：

a1=11，a2=12，a3=13，…，ak=1k，…

問題10類比多米諾骨牌實驗的思維過程，概括證明該猜想的步驟.

遷移二：讓學生就該數(shù)學問題進行具體嘗試.

問題11能否做到這兩步？

證明：①我們已經驗證第一個等式成立.②若第k個等式成立，即ak=1k，則：ak+1=ak1+ak=1k1+1k=1k+1，可推出第k+1個等式成立.

事實告訴我們，這樣的方法是可行的！我們并沒有對所有情況進行一一驗證，而是利用遞推思想，完美實現(xiàn)了無限到有限的轉化.

概括提煉，得出數(shù)學歸納法的形式化模型（略）.

評注從多米諾骨牌實驗到數(shù)學歸納法原理，清晰地反映了生活問題——數(shù)學問題——數(shù)學形式化的發(fā)展軌跡.學生經歷了將生活中蘊含的原理逐級抽象為數(shù)學原理的水平數(shù)學化全過程.

5數(shù)學歸納法的教學價值

5.1方法論的價值

數(shù)學歸納法是數(shù)學中一種獨特的證明方法，它是解決求數(shù)列通項公式、數(shù)列求和、二項式定理、整除問題等問題的新方法.它充分體現(xiàn)了有限與無限的辯證關系與轉化思想，是溝通有限與無限的橋梁，為學生增添了一種有力的工具.

5.2思維品質的訓練

我們認為，學習數(shù)學歸納法，最有價值、最精彩的就是要學習一種思維方式，也就是說，要先從個別樣例中的觀察、思考中去探索規(guī)律，再從一般性上來進行邏輯證明，實現(xiàn)由簡到繁，由有限到無限的突破.同時，讓學生借助具體問題與直觀模型，經歷數(shù)學歸納法的的“再創(chuàng)造”過程，培養(yǎng)數(shù)學探究的意識.但我國的高中課程標準把數(shù)學歸納法的學習要求僅僅列為“了解”層次，造成了舍本求末的現(xiàn)狀，建議在修訂的高中數(shù)學課程標準中將其調整為“理解”層次.

5.3情感領域目標的落實

三維目標包括知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀，然而情感領域的目標最容易被廣大一線教師所忽視，原因有三：（1）情感目標沒有數(shù)學特色；（2）情感目標難以落實；（3）情感目標是課程目標，不必作為課堂教學目標.殊不知，在新浪網的一項調查中，70%以上的網友坦承求學期間被數(shù)學“傷害”過，希望數(shù)學“滾出高考”，而這恰恰是因為情感目標的缺失.數(shù)學歸納法具有豐富的生活模型，可以寓教于樂，改變數(shù)學枯燥的印象；教師以情施教，帶領學生由相識——勾魂——相知——動情，體會數(shù)學歸納法以有限駕馭無限，以靜制動的威力.更重要的是通過“既教操作步驟，更教原理理解”，使學生相信數(shù)學結論，獲得數(shù)學自信.

參考文獻

[1]華羅庚.數(shù)學歸納法[M].上海：上海教育出版社，1964：16.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2003：59.

[3]NCTM（1989）.Principles and Stan dards for School Mathematics[S].Reston：National Council of Teacher of Mathematics，143.

[4]NCTM（2000）.Principles and Stan dards for School Mathematics[S].Reston：National Council of Teacher of Mathematics，345.

[5]日本文部科學省（2009）.高等學校學習指導要領改定案文本[EB/OL].http：//www.mext.

go.jp/amenu/shotou/new-cs/081233.htm.

[6]菲施拜因（E.Fischbein）等.理解數(shù)學歸納法原理的心理困難.（見張奠宙等.《數(shù)學教育研究導引》.江蘇教育出版社，1994：399-404.）

[7]季建平.關于理解數(shù)學歸納法原理的心理困難的實驗報告[J].數(shù)學教學，1998（3）：33-35.

[8]李丹艷.關于“數(shù)學歸納法”的調查報告[J].數(shù)學教學，1999（3）：14-15.

[9]邵光華.作為教育任務的數(shù)學思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009：345.

[10]李士锜.PME：數(shù)學教育心理[M].上海：華東師范大學出版社，2001：129.

三維目標包括知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀，然而情感領域的目標最容易被廣大一線教師所忽視，原因有三：（1）情感目標沒有數(shù)學特色；（2）情感目標難以落實；（3）情感目標是課程目標，不必作為課堂教學目標.殊不知，在新浪網的一項調查中，70%以上的網友坦承求學期間被數(shù)學“傷害”過，希望數(shù)學“滾出高考”，而這恰恰是因為情感目標的缺失.數(shù)學歸納法具有豐富的生活模型，可以寓教于樂，改變數(shù)學枯燥的印象；教師以情施教，帶領學生由相識——勾魂——相知——動情，體會數(shù)學歸納法以有限駕馭無限，以靜制動的威力.更重要的是通過“既教操作步驟，更教原理理解”，使學生相信數(shù)學結論，獲得數(shù)學自信.

參考文獻

[1]華羅庚.數(shù)學歸納法[M].上海：上海教育出版社，1964：16.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2003：59.

[3]NCTM（1989）.Principles and Stan dards for School Mathematics[S].Reston：National Council of Teacher of Mathematics，143.

[4]NCTM（2000）.Principles and Stan dards for School Mathematics[S].Reston：National Council of Teacher of Mathematics，345.

[5]日本文部科學省（2009）.高等學校學習指導要領改定案文本[EB/OL].http：//www.mext.

go.jp/amenu/shotou/new-cs/081233.htm.

[6]菲施拜因（E.Fischbein）等.理解數(shù)學歸納法原理的心理困難.（見張奠宙等.《數(shù)學教育研究導引》.江蘇教育出版社，1994：399-404.）

[7]季建平.關于理解數(shù)學歸納法原理的心理困難的實驗報告[J].數(shù)學教學，1998（3）：33-35.

[8]李丹艷.關于“數(shù)學歸納法”的調查報告[J].數(shù)學教學，1999（3）：14-15.

[9]邵光華.作為教育任務的數(shù)學思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009：345.

[10]李士锜.PME：數(shù)學教育心理[M].上海：華東師范大學出版社，2001：129.

三維目標包括知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀，然而情感領域的目標最容易被廣大一線教師所忽視，原因有三：（1）情感目標沒有數(shù)學特色；（2）情感目標難以落實；（3）情感目標是課程目標，不必作為課堂教學目標.殊不知，在新浪網的一項調查中，70%以上的網友坦承求學期間被數(shù)學“傷害”過，希望數(shù)學“滾出高考”，而這恰恰是因為情感目標的缺失.數(shù)學歸納法具有豐富的生活模型，可以寓教于樂，改變數(shù)學枯燥的印象；教師以情施教，帶領學生由相識——勾魂——相知——動情，體會數(shù)學歸納法以有限駕馭無限，以靜制動的威力.更重要的是通過“既教操作步驟，更教原理理解”，使學生相信數(shù)學結論，獲得數(shù)學自信.

參考文獻

[1]華羅庚.數(shù)學歸納法[M].上海：上海教育出版社，1964：16.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2003：59.

[3]NCTM（1989）.Principles and Stan dards for School Mathematics[S].Reston：National Council of Teacher of Mathematics，143.

[4]NCTM（2000）.Principles and Stan dards for School Mathematics[S].Reston：National Council of Teacher of Mathematics，345.

[5]日本文部科學省（2009）.高等學校學習指導要領改定案文本[EB/OL].http：//www.mext.

go.jp/amenu/shotou/new-cs/081233.htm.

[6]菲施拜因（E.Fischbein）等.理解數(shù)學歸納法原理的心理困難.（見張奠宙等.《數(shù)學教育研究導引》.江蘇教育出版社，1994：399-404.）

[7]季建平.關于理解數(shù)學歸納法原理的心理困難的實驗報告[J].數(shù)學教學，1998（3）：33-35.

[8]李丹艷.關于“數(shù)學歸納法”的調查報告[J].數(shù)學教學，1999（3）：14-15.

[9]邵光華.作為教育任務的數(shù)學思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009：345.

[10]李士锜.PME：數(shù)學教育心理[M].上海：華東師范大學出版社，2001：129.