一類數列求和實驗模型的構建與思考

李世臣+張素勤

人教版八年級數學課本在分式加減單元之后的閱讀與思考欄目安排了《容器中的水能倒完嗎》的典型素材，教材這樣設計的目的在于滲透建模思想：即對于一些通過實驗難以探尋答案的問題，可以排除操作因素，不計干擾變量，將實際問題抽象為數學模型加以解決，從而凸顯依靠數學方法分析問題的優越性.然而，該素材同時還給我們啟示：當遇到的數學問題晦澀難懂時，可以構建貼近學生生活實際的實驗模型，將數學問題生活化、可視化、操作化、趣味化，讓學生借助已有的生活經驗很容易體會其中的代數式之間的等量關系，進而深化對數學問題本質的認識.受該素材的啟發，筆者對等差數列、等比數列及其生成的數列前n項求和問題進行了探究，構建了兩個具有一般意義的實驗模型.即使對于不會進行數學推導的小學生，也能輕而易舉利用模型對結果進行正確的判斷.

1等比數列問題

正數等比數列{an}，首項為a1，公比為q（q≠1），則數列{an}的前n項和為

a1+a2+a3+…+an=a1-an+11-q.

實驗模型一個裝有a11-q升水的容器，

第1次倒出a11-q×（1-q）=a1升水，剩余a11-q×q=a1q1-q=a21-q升水；

第2次倒出a21-q×（1-q）=a2升水，剩余a21-q×q=a2q1-q=a31-q升水；

第3次倒出a31-q×（1-q）=a3升水，剩余a31-q×q=a3q1-q=a41-q升水；

……

第n次倒出an1-q×（1-q）=an升水，剩余an1-q×q=anq1-q=an+11-q升水.

容易發現，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即an=an1-q-an+11-q.而前n次倒出的水量和等于原有總水量減去最后剩余的水量，即a1+a2+a3+…+an=a11-q-an+11-q.

有了以上發現我們很容易得到等比數列前n項求和的一種化簡方法：

a1+a2+a3+…+an

=a11-q-a21-q+a21-q-a31-q+a31-q-a41-q+…+an1-q-an+11-q

=a11-q-an+11-q=a1-an+11-q=a1（1-qn）1-q.

例1求23+232+233+…+23n的值.

解析由實驗模型已知a1=q=23，1-q=13，a11-q=2.

構造實驗：一個裝有2升水的容器，

第1次倒出2×13=23升水，剩余2×23升水；

第2次倒出2×23×13=232升水，剩余2×23×23=2×232升水；

第3次倒出2×232×13=233升水，剩余2×232×23=2×233升水；

……

第n次倒出2×23n-1×13=23n升水，剩余2×23n-1×23=2×23n升水；

顯然，根據生活經驗，第n次倒出的水量23n等于第n-1次剩余的水量2×23n-1減去第n次剩余的水量2×23n，即23n=2×23n-1-2×23n.

這樣，前n次倒出的水量總和等于總水量減去第n次剩余的水量，即

23+232+233+…+23n=2-2×23n.

有了前面的關系式，將等式左邊的每一項進行拆分，可以很快完成前n項和的數學推導.和人教版高中數學（必修5）中“等比數列的前n項和”使用印度國王棋盤放麥粒的傳說導入相比，顯得更清新、自然、有趣.既提供了化簡方法，又滲透了數學思想.

2等差數列問題

正數等差數列{an}，首項為a1，公差為d（d≠0），則數列1anan+1的前n項和為

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=na1an+1.

實驗模型一個裝有1a1d升水的容器，

第1次倒出1a1d×da2=1a1a2升水，剩余1a1d×1-da2=1a1d×a2-da2=1a1d×a1a2=1a2d升水；

第2次倒出1a2d×da3=1a2a3升水，剩余1a2d×1-da3=1a2d×a3-da3=1a2d×a2a3=1a3d升水；

第3次倒出1a3d×da4=1a3a4升水，剩余1a3d×1-da4=1a3d×a4-da4=1a3d×a3a4=1a4d升水；

……

第n次倒出1and×dan+1=1anan+1升水，剩余

1and×1-dan+1=1and×an+1-dan+1=1and×anan+1=1an+1d升水；

容易發現，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即1anan+1=1and-1an+1d.前n次倒出的水量總和等于容器中總水量減去最后剩余的水量，即1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=1a1d-1an+1d.

將等式左邊的每一項拆分化簡為：

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1

=1a1d-1a2d+1a2d-1a3d+…+1and-1an+1d

=1a1d-1an+1d=an+1-a1a1an+1d=nda1an+1d=na1an+1.

例2求11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）的值.

解析由實驗模型已知a1=1，d=2，1a1d=12.

構造實驗：一個裝有12升水的容器，

第1次倒出12×23=11×3升水，剩余12×13升水；

第2次倒出12×13×25=13×5升水，剩余12×13×35=12×15升水；

第3次倒出12×15×27=15×7升水，剩余12×15×57=12×17升水；

……

第n次倒出12×12n-1×22n+1=1（2n-1）（2n+1）升水，剩余12×12n-1×2n-12n+1=12×12n+1升水；

顯然，第n次倒出的水量1（2n-1）（2n+1）等于第n-1次剩余的水量12×12n-1減去第n次倒水后剩余的水量12×12n+1，即1（2n-1）（2n+1）=12×12n-1-12×12n+1.這樣前n次倒出的水量總和等于容器中原有總水量減去第n次剩余的水量，即

11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）=12-12×12n+1=n2n+1.

以上涉及的兩類級數求和的實驗模型，運用了重算原理，體現了整體思想，使得冰冷的數學生活化.由于實際背景可以變成剪紙、截線等形式，因此實現了在數學思維活動的參與下，以人人參與實際操作為特征的數學驗證和探究活動.由實際問題構建數學模型和由數學問題構建實驗模型都能有效的幫助學生對數學本質的理解，培養學生從生活中發現數學，并將數學滲透到生活當中的數學意識.在數學教學中融入模型化思想，除了給學生一種直觀的感受外，更重要的是能夠激發學生的學習興趣，促使學生獨立思考、自覺運用建模的方法解決數學問題，從而樹立正確的數學觀，逐步培養敏銳的洞察力、豐富的想象力和非凡的創造力.

人教版八年級數學課本在分式加減單元之后的閱讀與思考欄目安排了《容器中的水能倒完嗎》的典型素材，教材這樣設計的目的在于滲透建模思想：即對于一些通過實驗難以探尋答案的問題，可以排除操作因素，不計干擾變量，將實際問題抽象為數學模型加以解決，從而凸顯依靠數學方法分析問題的優越性.然而，該素材同時還給我們啟示：當遇到的數學問題晦澀難懂時，可以構建貼近學生生活實際的實驗模型，將數學問題生活化、可視化、操作化、趣味化，讓學生借助已有的生活經驗很容易體會其中的代數式之間的等量關系，進而深化對數學問題本質的認識.受該素材的啟發，筆者對等差數列、等比數列及其生成的數列前n項求和問題進行了探究，構建了兩個具有一般意義的實驗模型.即使對于不會進行數學推導的小學生，也能輕而易舉利用模型對結果進行正確的判斷.

1等比數列問題

正數等比數列{an}，首項為a1，公比為q（q≠1），則數列{an}的前n項和為

a1+a2+a3+…+an=a1-an+11-q.

實驗模型一個裝有a11-q升水的容器，

第1次倒出a11-q×（1-q）=a1升水，剩余a11-q×q=a1q1-q=a21-q升水；

第2次倒出a21-q×（1-q）=a2升水，剩余a21-q×q=a2q1-q=a31-q升水；

第3次倒出a31-q×（1-q）=a3升水，剩余a31-q×q=a3q1-q=a41-q升水；

……

第n次倒出an1-q×（1-q）=an升水，剩余an1-q×q=anq1-q=an+11-q升水.

容易發現，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即an=an1-q-an+11-q.而前n次倒出的水量和等于原有總水量減去最后剩余的水量，即a1+a2+a3+…+an=a11-q-an+11-q.

有了以上發現我們很容易得到等比數列前n項求和的一種化簡方法：

a1+a2+a3+…+an

=a11-q-a21-q+a21-q-a31-q+a31-q-a41-q+…+an1-q-an+11-q

=a11-q-an+11-q=a1-an+11-q=a1（1-qn）1-q.

例1求23+232+233+…+23n的值.

解析由實驗模型已知a1=q=23，1-q=13，a11-q=2.

構造實驗：一個裝有2升水的容器，

第1次倒出2×13=23升水，剩余2×23升水；

第2次倒出2×23×13=232升水，剩余2×23×23=2×232升水；

第3次倒出2×232×13=233升水，剩余2×232×23=2×233升水；

……

第n次倒出2×23n-1×13=23n升水，剩余2×23n-1×23=2×23n升水；

顯然，根據生活經驗，第n次倒出的水量23n等于第n-1次剩余的水量2×23n-1減去第n次剩余的水量2×23n，即23n=2×23n-1-2×23n.

這樣，前n次倒出的水量總和等于總水量減去第n次剩余的水量，即

23+232+233+…+23n=2-2×23n.

有了前面的關系式，將等式左邊的每一項進行拆分，可以很快完成前n項和的數學推導.和人教版高中數學（必修5）中“等比數列的前n項和”使用印度國王棋盤放麥粒的傳說導入相比，顯得更清新、自然、有趣.既提供了化簡方法，又滲透了數學思想.

2等差數列問題

正數等差數列{an}，首項為a1，公差為d（d≠0），則數列1anan+1的前n項和為

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=na1an+1.

實驗模型一個裝有1a1d升水的容器，

第1次倒出1a1d×da2=1a1a2升水，剩余1a1d×1-da2=1a1d×a2-da2=1a1d×a1a2=1a2d升水；

第2次倒出1a2d×da3=1a2a3升水，剩余1a2d×1-da3=1a2d×a3-da3=1a2d×a2a3=1a3d升水；

第3次倒出1a3d×da4=1a3a4升水，剩余1a3d×1-da4=1a3d×a4-da4=1a3d×a3a4=1a4d升水；

……

第n次倒出1and×dan+1=1anan+1升水，剩余

1and×1-dan+1=1and×an+1-dan+1=1and×anan+1=1an+1d升水；

容易發現，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即1anan+1=1and-1an+1d.前n次倒出的水量總和等于容器中總水量減去最后剩余的水量，即1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=1a1d-1an+1d.

將等式左邊的每一項拆分化簡為：

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1

=1a1d-1a2d+1a2d-1a3d+…+1and-1an+1d

=1a1d-1an+1d=an+1-a1a1an+1d=nda1an+1d=na1an+1.

例2求11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）的值.

解析由實驗模型已知a1=1，d=2，1a1d=12.

構造實驗：一個裝有12升水的容器，

第1次倒出12×23=11×3升水，剩余12×13升水；

第2次倒出12×13×25=13×5升水，剩余12×13×35=12×15升水；

第3次倒出12×15×27=15×7升水，剩余12×15×57=12×17升水；

……

第n次倒出12×12n-1×22n+1=1（2n-1）（2n+1）升水，剩余12×12n-1×2n-12n+1=12×12n+1升水；

顯然，第n次倒出的水量1（2n-1）（2n+1）等于第n-1次剩余的水量12×12n-1減去第n次倒水后剩余的水量12×12n+1，即1（2n-1）（2n+1）=12×12n-1-12×12n+1.這樣前n次倒出的水量總和等于容器中原有總水量減去第n次剩余的水量，即

11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）=12-12×12n+1=n2n+1.

以上涉及的兩類級數求和的實驗模型，運用了重算原理，體現了整體思想，使得冰冷的數學生活化.由于實際背景可以變成剪紙、截線等形式，因此實現了在數學思維活動的參與下，以人人參與實際操作為特征的數學驗證和探究活動.由實際問題構建數學模型和由數學問題構建實驗模型都能有效的幫助學生對數學本質的理解，培養學生從生活中發現數學，并將數學滲透到生活當中的數學意識.在數學教學中融入模型化思想，除了給學生一種直觀的感受外，更重要的是能夠激發學生的學習興趣，促使學生獨立思考、自覺運用建模的方法解決數學問題，從而樹立正確的數學觀，逐步培養敏銳的洞察力、豐富的想象力和非凡的創造力.

人教版八年級數學課本在分式加減單元之后的閱讀與思考欄目安排了《容器中的水能倒完嗎》的典型素材，教材這樣設計的目的在于滲透建模思想：即對于一些通過實驗難以探尋答案的問題，可以排除操作因素，不計干擾變量，將實際問題抽象為數學模型加以解決，從而凸顯依靠數學方法分析問題的優越性.然而，該素材同時還給我們啟示：當遇到的數學問題晦澀難懂時，可以構建貼近學生生活實際的實驗模型，將數學問題生活化、可視化、操作化、趣味化，讓學生借助已有的生活經驗很容易體會其中的代數式之間的等量關系，進而深化對數學問題本質的認識.受該素材的啟發，筆者對等差數列、等比數列及其生成的數列前n項求和問題進行了探究，構建了兩個具有一般意義的實驗模型.即使對于不會進行數學推導的小學生，也能輕而易舉利用模型對結果進行正確的判斷.

1等比數列問題

正數等比數列{an}，首項為a1，公比為q（q≠1），則數列{an}的前n項和為

a1+a2+a3+…+an=a1-an+11-q.

實驗模型一個裝有a11-q升水的容器，

第1次倒出a11-q×（1-q）=a1升水，剩余a11-q×q=a1q1-q=a21-q升水；

第2次倒出a21-q×（1-q）=a2升水，剩余a21-q×q=a2q1-q=a31-q升水；

第3次倒出a31-q×（1-q）=a3升水，剩余a31-q×q=a3q1-q=a41-q升水；

……

第n次倒出an1-q×（1-q）=an升水，剩余an1-q×q=anq1-q=an+11-q升水.

容易發現，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即an=an1-q-an+11-q.而前n次倒出的水量和等于原有總水量減去最后剩余的水量，即a1+a2+a3+…+an=a11-q-an+11-q.

有了以上發現我們很容易得到等比數列前n項求和的一種化簡方法：

a1+a2+a3+…+an

=a11-q-a21-q+a21-q-a31-q+a31-q-a41-q+…+an1-q-an+11-q

=a11-q-an+11-q=a1-an+11-q=a1（1-qn）1-q.

例1求23+232+233+…+23n的值.

解析由實驗模型已知a1=q=23，1-q=13，a11-q=2.

構造實驗：一個裝有2升水的容器，

第1次倒出2×13=23升水，剩余2×23升水；

第2次倒出2×23×13=232升水，剩余2×23×23=2×232升水；

第3次倒出2×232×13=233升水，剩余2×232×23=2×233升水；

……

第n次倒出2×23n-1×13=23n升水，剩余2×23n-1×23=2×23n升水；

顯然，根據生活經驗，第n次倒出的水量23n等于第n-1次剩余的水量2×23n-1減去第n次剩余的水量2×23n，即23n=2×23n-1-2×23n.

這樣，前n次倒出的水量總和等于總水量減去第n次剩余的水量，即

23+232+233+…+23n=2-2×23n.

有了前面的關系式，將等式左邊的每一項進行拆分，可以很快完成前n項和的數學推導.和人教版高中數學（必修5）中“等比數列的前n項和”使用印度國王棋盤放麥粒的傳說導入相比，顯得更清新、自然、有趣.既提供了化簡方法，又滲透了數學思想.

2等差數列問題

正數等差數列{an}，首項為a1，公差為d（d≠0），則數列1anan+1的前n項和為

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=na1an+1.

實驗模型一個裝有1a1d升水的容器，

第1次倒出1a1d×da2=1a1a2升水，剩余1a1d×1-da2=1a1d×a2-da2=1a1d×a1a2=1a2d升水；

第2次倒出1a2d×da3=1a2a3升水，剩余1a2d×1-da3=1a2d×a3-da3=1a2d×a2a3=1a3d升水；

第3次倒出1a3d×da4=1a3a4升水，剩余1a3d×1-da4=1a3d×a4-da4=1a3d×a3a4=1a4d升水；

……

第n次倒出1and×dan+1=1anan+1升水，剩余

1and×1-dan+1=1and×an+1-dan+1=1and×anan+1=1an+1d升水；

容易發現，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即1anan+1=1and-1an+1d.前n次倒出的水量總和等于容器中總水量減去最后剩余的水量，即1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=1a1d-1an+1d.

將等式左邊的每一項拆分化簡為：

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1

=1a1d-1a2d+1a2d-1a3d+…+1and-1an+1d

=1a1d-1an+1d=an+1-a1a1an+1d=nda1an+1d=na1an+1.

例2求11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）的值.

解析由實驗模型已知a1=1，d=2，1a1d=12.

構造實驗：一個裝有12升水的容器，

第1次倒出12×23=11×3升水，剩余12×13升水；

第2次倒出12×13×25=13×5升水，剩余12×13×35=12×15升水；

第3次倒出12×15×27=15×7升水，剩余12×15×57=12×17升水；

……

第n次倒出12×12n-1×22n+1=1（2n-1）（2n+1）升水，剩余12×12n-1×2n-12n+1=12×12n+1升水；

顯然，第n次倒出的水量1（2n-1）（2n+1）等于第n-1次剩余的水量12×12n-1減去第n次倒水后剩余的水量12×12n+1，即1（2n-1）（2n+1）=12×12n-1-12×12n+1.這樣前n次倒出的水量總和等于容器中原有總水量減去第n次剩余的水量，即

11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）=12-12×12n+1=n2n+1.

以上涉及的兩類級數求和的實驗模型，運用了重算原理，體現了整體思想，使得冰冷的數學生活化.由于實際背景可以變成剪紙、截線等形式，因此實現了在數學思維活動的參與下，以人人參與實際操作為特征的數學驗證和探究活動.由實際問題構建數學模型和由數學問題構建實驗模型都能有效的幫助學生對數學本質的理解，培養學生從生活中發現數學，并將數學滲透到生活當中的數學意識.在數學教學中融入模型化思想，除了給學生一種直觀的感受外，更重要的是能夠激發學生的學習興趣，促使學生獨立思考、自覺運用建模的方法解決數學問題，從而樹立正確的數學觀，逐步培養敏銳的洞察力、豐富的想象力和非凡的創造力.