基本不等式√ab≤a+b2課堂實錄

劉偉+孟祥東

在前兩節課的研究當中，學生已掌握了一些簡單的不等式及其應用，并能用不等式及不等式組抽象出實際問題中的不等量關系，掌握了不等式的一些簡單性質與證明，研究了一元二次不等式及其解法，學習了二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題.本節課的研究是前三大節學習的延續和拓展.另外，為基本不等式的應用墊定了堅實的基礎，所以說，本節課是起到了承上啟下的作用.本節課是通過讓學生觀察第24屆國際數學家大會的會標圖案中隱含的相等關系與不等關系而引入的.通過分析得出基本不等式：ab≤a+b2，然后從三種角度對基本不等式展開證明及對基本不等式展開一些簡單的應用，進而更深一層次地從理性角度建立不等觀念.教師應作好點撥，利用幾何背景，數形結合做好歸納總結、邏輯分析，并鼓勵學生從理性角度去分析探索過程，進而更深層次理解基本不等式，鼓勵學生對數學知識和方法獲得過程的探索，同時也能激發學生的學習興趣.

根據本節課的教學內容，應用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，進行啟發、探究式教學并使用投影儀輔助.

1課堂實錄

教學過程

1.1導入新課（走進智者，挑戰自我）

探究由菲爾茲獎引到在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，它既標志著中國古代的數學成就，同時又像一只轉動的風車，歡迎來自世界各地的數學精英們.多媒體展示上面的會標變化成轉動的風車.

圖1

接著問：你能在這個圖1中找出一些相等關系或不等關系嗎？

設計依據用多媒體展示菲爾茲獎獎牌，并簡單介紹菲爾茲獎背景，然后引出第24屆國際數學家大會的會標，并介紹此會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，通過直觀情景導入有利于吸引學生的注意力，在授課中滲透數學文化和數學背景，激發學生的學習興趣，并增強學生的自豪感和愛國主義熱情.

1.2探究新知（自學質疑，交流展示）

師：同學們能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？如何找？（沉靜片刻）

生：應該先從此圖案中抽象出幾何圖形.

師：同學們觀察得很細致，可以抽象出哪些幾何圖形？

生：四個全等的直角三角形，兩個正方形.

師：同學們的觀察比較準確.下面我們就來詳細的探究這些幾何圖形.

[過程引導]

師：設直角三角形的兩直角邊的長分別為a、b，那么，四個直角三角形的面積之和與大正方形的面積有什么關系呢？

生：顯然正方形的面積大于四個直角三角形的面積之和.

師：一定嗎？

（大家齊聲：不一定，有可能相等）

師：好！那大正方形的面積是多少？四個直角三角形的面積之和又是多少？同學們能否用數學符號去進行嚴格的推理證明剛剛的猜想呢？

（思考片刻）

生：每個直角三角形的面積為12ab，四個直角三角形的面積之和為2ab，正方形的邊長為a2+b2，所以正方形的面積為a2+b2，則a2+b2>2ab.

師：這位同學回答得很好，表達很全面、準確.請你接著回答，這里能取到等號嗎？

生：可以取到等號，當直角三角形是等腰直角三角形，即a=b時，等號成立

師：回答的非常好，也就是說我們得到的應該是a2+b2≥2ab.下面請大家思考一下，這位同學對a2+b2≥2ab證明了嗎？

生：沒有，他仍是由我們剛才的直觀得到的，只是用字母表達一下而已.

師：回答得很好.

（有的同學感到迷惑不解）

師：這樣的敘述不能代替證明.這是同學們在解題時經常會犯的錯誤.實質上，對文字性語言敘述證明題來說，他只是寫出了已知、求證，并未給出證明.

（有的同學竊竊私語，確實是這樣，并沒有給出證明）

師：請同學們繼續思考，該如何證明此不等式，即a2+b2≥2ab.

設計意圖在于引領學生從感性認識基本不等式到理性證明，實現從感性認識到理性認識的升華.

（思考片刻）

生：采用作差的方法，由a2+b2-2ab=（a-b）2，因為（a-b）2是一個完全平方數，它是非負數，即（a-b）2≥0，所以可得a2+b2≥2ab.

師：同學們思考一下，這位同學的證明是否正確？

生：正確.

[教師精講]

師：這位同學的證明思路很好.今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”，它和根據實數的基本性質比較兩個代數式的大小是否一樣.

生：實質一樣，只是設問的形式不同而已.一個是比較大小，一個是讓我們去證明.

師：對.那么我們在遇到這類問題時，我們就可以采用作差法去證明.

設計依據此處講解，意在啟發學生以后遇到類似問題如何處理，把以后解決問題的思維空間切實留給學生.

[教師板書]

重要不等式：

一般地，對于任意實數a、b，我們有a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立.

[跟蹤訓練]

（1）sin2x+cos2x≥.

（2）9x2+y2≥.

（3）當a>0，b>0時，（a）2+（b）2≥.

師：請利用重要不等式填空.（學生思考）首先發問：上面的三個式子中，a、b對應的分別是什么？

生：回答略.

設計依據類比是學習數學的一種重要方法，此環節不僅讓學生理解了基本不等式的來源，理解了a、b只是一個符號，這樣突破了重點和難點，而且感受了其中的函數思想，為今后學習奠定基礎.

師：下面請同學們完成上面的不等式.

生：回答略.

師：（板書：當a>0，b>0時，（a）2+（b）2≥2ab，即a+b≥2ab.）大家來看，上面不等式兩邊同時除以2，我們可以得到什么式子？

生：當a>0，b>0時，ab≤a+b2.

師：說的好，這就是我們今天這節課學的最重要的不等式——基本不等式.

ab≤a+b2（a>0，b>0），當且僅當a=b時等號成立.

[教師精講]

師：上面不等式中ab叫做a、b的幾何平均數，a+b2叫做a、b的算數平均數.我們發現：兩個正數的幾何平均數不大于它們的算術平均數.

師：怎樣理解“當且僅當”？（學生小組討論，交流看法，師生總結）

生：“當且僅當a=b時，等號成立”的含義是：當a=b時，取等號，即a=bab=a+b2.

僅當a=b時，取等號，即ab=a+b2a=b.

[幾何解釋]

師：上面我們從代數角度證明了基本不等式，下面我們再從幾何的角度驗證一下.

圖2

設計意圖借助初中階段學生熟知的幾何圖形，引導學生探究不等式的幾何解釋，通過數形結合，賦予不等式幾何直觀.進一步領悟不等式中等號成立的條件.

多媒體展示：如圖2，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a，CB=b，請比較CD與OD的大小關系.

師：要比較CD與OD的大小關系就需要先求CD與OD.

那么CD與OD怎么求呢？

（學生思考）

生：OD=a+b2，可是CD不好求.

師：我們是不是可以借助三角形相似求CD.易知△ACD∽△DCB，從而CD2=AC.CB，即CD=ab.

由于半弦長小于或等于半徑，所以ab≤a+b2.

師：幾何解釋實質可認為是：在同一個圓中，半徑不小于半弦；或者認為是，直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高.

[不等式的變形]

ab≤a+b2（a>0，b>0）；

ab≤（a+b2）2（a>0，b>0）；

a+b≥2ab（a>0，b>0）.

生：還有其他的變形嗎？

師：還有其他的變形，但是，這幾個是以后我們用的最多的.

1.3鞏固新知（小組合作，學習研討）

（小試牛刀：應用基本不等式完成下列各題）

（1）當x>0時，x+1x≥，當x=時，等號成立.

（2）當ab>0時，ab+ba≥，當時，等號成立.

（3）x2+2+1x2+2≥，等號什么時候成立？

追問：當x>0時，x+1x的最小值是多少？當x等于多少時，x+1x取最小值.

設計意圖以上題目均是根據基本不等式的使用條件中的難點和關鍵處設置的，目的是利用學生原有的知識，進一步領悟到不等式ab≤a+b2成立的條件a>0，b>0，及當且僅當a=b時，等號成立.這些“陷阱”要讓學生自己往里跳，然后自己再從中爬出來，完全放手讓學生自主探究，老師指導，師生歸納總結.

結論：

若兩正數的乘積為定值，則當且僅當兩數相等時，它們的和有最小值；

若兩正數的和為定值，則當且僅當兩數相等時，它們的乘積有最大值；

簡記為：“一正、二定、三相等”.

1.4深化新知（互動探究，精講點撥）

[初顯身手]

公式應用之一：

師：請應用基本不等式完成下列各題.

（1）若x>0，x+1x的最小值為，此時x=.

（2）若a>0，b>0，且a+b=2，則ab的最大值為，此時a=，b=.

生回答略.

[展露鋒芒]

公式應用之二：（最優化問題）

設計意圖新穎有趣、簡單易懂、貼近生活的問題，不僅極大地增強學生的興趣，拓寬學生的視野，更重要的是調動學生探究鉆研的興趣，引導學生加強對生活的關注，讓學生體會：數學就在我們身邊的生活中.

（1）陶淵明打算用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短籬笆是多少米？

（2）陶淵明打算用一段長為36m的籬笆圍成一矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大.最大面積是多少？

學生作答略

1.5全課小結，內化新知

通過本節課的學習你有什么收獲？取得了哪些經驗教訓？還有哪些問題需要請教？

設計意圖通過反思、歸納，培養概括能力，幫助學生總結經驗教訓，鞏固知識技能，提高認知水平.

老師根據情況完善如下：

一個不等式：若a>0，b>0，則有ab≤a+b2，當且僅當a=b時，ab=a+b2.

兩種思想：數形結合思想、歸納類比思想.

三個注意：基本不等式求函數的最大（?。┲禃r注意：“一正二定三相等”.

1.6布置作業（略）

板書設計

基本不等式ab≤a+b2

一、重要不等式

a2+b2≥2ab

二、定理

若a>0，b>0，

則a+b2≥ab.

證明過程：全課小結

課后作業

2點評

這是2013年10月23日在曲阜師范大學附屬中學多媒體教室為國培項目——2013年高中數學示范性集中培訓項目上的一節公開課的實錄.本節課的核心是了解基本不等式結構，理解基本不等式的意義，并會用基本不等式解決有關問題.在本節課的教學中，劉偉老師通過導入新課、推進新課、探究歸納、初顯身手、展露鋒芒、反思總結等環節，充分發揮學生的主觀能動性，使學生在本課的學習中，一步步的去發現、總結基本不等式的結構特點并熟練應用基本不等式，讓學生成為數學課堂的主體，而教師則是課堂活動的組織者、引導者和參與者.在課后的交流中，來自全國各地的國培項目學員，對這節課給予高度評價，所以推薦給大家，供觀摩研討.本節課主要有以下特色：

2.1可以激發全體同學的求知欲

我不止一次思考過，我們教師給學生留下什么是最重要的？我想應該就是學生的求知欲和思考問題的方式方法.在本節課的教學中，劉老師以數學故事為引子，以問題為紐帶，不斷提出問題，由學生通過獨立思考或合作交流，在不斷的討論中積極參與學習活動，積極思考問題，主動探求問題的答案.劉老師運用多媒體課件教學，把文字、聲音、圖像、顏色、動畫等多種信息高質量高速度的傳達給學生，極大的豐富了教學信息，化難為易，化抽象為具體，化枯燥為生動，增強了學生的學習興趣.

2.2可以讓學生有成功的感覺，增強學生的自信心.

有效的數學學習來自于學生對數學活動的參與，而參與的程度卻與學生學習時產生的情感因素密切相關.情感態度價值觀在學習活動中具有動力作用，所以有必要在數學教育中加強情感態度價值觀教育.在本節課中，劉老師多次對學生的表現給予表揚，學生在課堂學習中感受到了老師對自己的認可，也感受到了對數學問題探究的樂趣以及由此獲得的成功的喜悅.

2.3可以培養學生的團隊精神

孔子曰：“獨學而無友，則孤陋而寡聞.”在鞏固新知和深化新知（初顯身手和展露鋒芒）中，由學習小組觀察、模仿公式形式、合作交流、解決問題等方面的學習行為，產生了同學間互助學習的效果，促進團隊合作精神.

2.4可以培養學生的自學能力

劉老師在本節課的教學中，不是簡單的把基本不等式及其用法講授給學生，而是讓學生逐步的發現、總結基本不等式的特點，并應用基本不等式解決相關問題.整個課堂設計都是以學生為主題，教師引導學生通過主動參與探索、歸納來獲取知識，從而培養了學生的觀察、比較、歸納和自學能力.

2.5本節課充分展示了教師駕馭教材和把握學情的能力

教師一進課堂就胸有成竹，充滿信心.面對復雜多變的課堂，能駕輕就熟、游刃有余的指揮調度，能牢牢地吸引住學生的注意力，充分的調動學生的學習積極性，出色的完成了教育教學任務.教師講授課時語言生動、動作富有感染力，使學生在45分鐘內不僅學到了知識，而且還有一種美的享受，讓學生在輕松愉悅的氛圍中快樂學習.

2.6教學設計體現了數學來源于生活又服務于生活的中心思想

在整節課的教學設計中體現了：數學來源于生活又服務于生活的中心思想.從一開始由第24屆國際數學家大會會標中幾何圖形的面積關系引入基本不等式，到后來用一定長度的籬笆圍最大的矩形菜園面積和用最少的籬笆圍一個面積一定的矩形面積，都是生活中經常用到的實際問題.在整節課的教學設計中站的高度較高，知識有一定的的深度和難度.在課堂的最后以兩個高考題作為思考讓學生體會基本不等式在高考中的難度，讓學生發現自身與高考的距離，在平時的學習過程中方向性更加明確.

總之，本課教學依據學生、教材實際，遵循“教學設計問題化，教學過程活動化，活動過程練習化，練習過程要點化，要點問題目標化，目標確定課程化”的課程理念.在不違背新課程標準要求，不破壞學科知識的科學性、系統性的前提下，對教材進行適當調整重組，并通過“走進智者，挑戰自我：引入新課—自學質疑，交流展示：探究新知—小組合作，學習研討：鞏固新知—互動探究，精講點撥：深化新知（初顯身手、展露鋒芒）—全課小結，內化新知”五個活動展示教學流程.以學生學習活動為中心，不斷創造知識障礙，引領學生進行深度嘗試探索.變式練習由易到難，讓思維在問題解決中成長，讓問題解決在思維中拓展，最終讓學生真正成為學習的主人.

2.1可以激發全體同學的求知欲

我不止一次思考過，我們教師給學生留下什么是最重要的？我想應該就是學生的求知欲和思考問題的方式方法.在本節課的教學中，劉老師以數學故事為引子，以問題為紐帶，不斷提出問題，由學生通過獨立思考或合作交流，在不斷的討論中積極參與學習活動，積極思考問題，主動探求問題的答案.劉老師運用多媒體課件教學，把文字、聲音、圖像、顏色、動畫等多種信息高質量高速度的傳達給學生，極大的豐富了教學信息，化難為易，化抽象為具體，化枯燥為生動，增強了學生的學習興趣.

2.2可以讓學生有成功的感覺，增強學生的自信心.

有效的數學學習來自于學生對數學活動的參與，而參與的程度卻與學生學習時產生的情感因素密切相關.情感態度價值觀在學習活動中具有動力作用，所以有必要在數學教育中加強情感態度價值觀教育.在本節課中，劉老師多次對學生的表現給予表揚，學生在課堂學習中感受到了老師對自己的認可，也感受到了對數學問題探究的樂趣以及由此獲得的成功的喜悅.

2.3可以培養學生的團隊精神

孔子曰：“獨學而無友，則孤陋而寡聞.”在鞏固新知和深化新知（初顯身手和展露鋒芒）中，由學習小組觀察、模仿公式形式、合作交流、解決問題等方面的學習行為，產生了同學間互助學習的效果，促進團隊合作精神.

2.4可以培養學生的自學能力

劉老師在本節課的教學中，不是簡單的把基本不等式及其用法講授給學生，而是讓學生逐步的發現、總結基本不等式的特點，并應用基本不等式解決相關問題.整個課堂設計都是以學生為主題，教師引導學生通過主動參與探索、歸納來獲取知識，從而培養了學生的觀察、比較、歸納和自學能力.

2.5本節課充分展示了教師駕馭教材和把握學情的能力

教師一進課堂就胸有成竹，充滿信心.面對復雜多變的課堂，能駕輕就熟、游刃有余的指揮調度，能牢牢地吸引住學生的注意力，充分的調動學生的學習積極性，出色的完成了教育教學任務.教師講授課時語言生動、動作富有感染力，使學生在45分鐘內不僅學到了知識，而且還有一種美的享受，讓學生在輕松愉悅的氛圍中快樂學習.

2.6教學設計體現了數學來源于生活又服務于生活的中心思想

在整節課的教學設計中體現了：數學來源于生活又服務于生活的中心思想.從一開始由第24屆國際數學家大會會標中幾何圖形的面積關系引入基本不等式，到后來用一定長度的籬笆圍最大的矩形菜園面積和用最少的籬笆圍一個面積一定的矩形面積，都是生活中經常用到的實際問題.在整節課的教學設計中站的高度較高，知識有一定的的深度和難度.在課堂的最后以兩個高考題作為思考讓學生體會基本不等式在高考中的難度，讓學生發現自身與高考的距離，在平時的學習過程中方向性更加明確.

總之，本課教學依據學生、教材實際，遵循“教學設計問題化，教學過程活動化，活動過程練習化，練習過程要點化，要點問題目標化，目標確定課程化”的課程理念.在不違背新課程標準要求，不破壞學科知識的科學性、系統性的前提下，對教材進行適當調整重組，并通過“走進智者，挑戰自我：引入新課—自學質疑，交流展示：探究新知—小組合作，學習研討：鞏固新知—互動探究，精講點撥：深化新知（初顯身手、展露鋒芒）—全課小結，內化新知”五個活動展示教學流程.以學生學習活動為中心，不斷創造知識障礙，引領學生進行深度嘗試探索.變式練習由易到難，讓思維在問題解決中成長，讓問題解決在思維中拓展，最終讓學生真正成為學習的主人.

2.1可以激發全體同學的求知欲

我不止一次思考過，我們教師給學生留下什么是最重要的？我想應該就是學生的求知欲和思考問題的方式方法.在本節課的教學中，劉老師以數學故事為引子，以問題為紐帶，不斷提出問題，由學生通過獨立思考或合作交流，在不斷的討論中積極參與學習活動，積極思考問題，主動探求問題的答案.劉老師運用多媒體課件教學，把文字、聲音、圖像、顏色、動畫等多種信息高質量高速度的傳達給學生，極大的豐富了教學信息，化難為易，化抽象為具體，化枯燥為生動，增強了學生的學習興趣.

2.2可以讓學生有成功的感覺，增強學生的自信心.

有效的數學學習來自于學生對數學活動的參與，而參與的程度卻與學生學習時產生的情感因素密切相關.情感態度價值觀在學習活動中具有動力作用，所以有必要在數學教育中加強情感態度價值觀教育.在本節課中，劉老師多次對學生的表現給予表揚，學生在課堂學習中感受到了老師對自己的認可，也感受到了對數學問題探究的樂趣以及由此獲得的成功的喜悅.

2.3可以培養學生的團隊精神

孔子曰：“獨學而無友，則孤陋而寡聞.”在鞏固新知和深化新知（初顯身手和展露鋒芒）中，由學習小組觀察、模仿公式形式、合作交流、解決問題等方面的學習行為，產生了同學間互助學習的效果，促進團隊合作精神.

2.4可以培養學生的自學能力

劉老師在本節課的教學中，不是簡單的把基本不等式及其用法講授給學生，而是讓學生逐步的發現、總結基本不等式的特點，并應用基本不等式解決相關問題.整個課堂設計都是以學生為主題，教師引導學生通過主動參與探索、歸納來獲取知識，從而培養了學生的觀察、比較、歸納和自學能力.

2.5本節課充分展示了教師駕馭教材和把握學情的能力

教師一進課堂就胸有成竹，充滿信心.面對復雜多變的課堂，能駕輕就熟、游刃有余的指揮調度，能牢牢地吸引住學生的注意力，充分的調動學生的學習積極性，出色的完成了教育教學任務.教師講授課時語言生動、動作富有感染力，使學生在45分鐘內不僅學到了知識，而且還有一種美的享受，讓學生在輕松愉悅的氛圍中快樂學習.

2.6教學設計體現了數學來源于生活又服務于生活的中心思想

在整節課的教學設計中體現了：數學來源于生活又服務于生活的中心思想.從一開始由第24屆國際數學家大會會標中幾何圖形的面積關系引入基本不等式，到后來用一定長度的籬笆圍最大的矩形菜園面積和用最少的籬笆圍一個面積一定的矩形面積，都是生活中經常用到的實際問題.在整節課的教學設計中站的高度較高，知識有一定的的深度和難度.在課堂的最后以兩個高考題作為思考讓學生體會基本不等式在高考中的難度，讓學生發現自身與高考的距離，在平時的學習過程中方向性更加明確.

總之，本課教學依據學生、教材實際，遵循“教學設計問題化，教學過程活動化，活動過程練習化，練習過程要點化，要點問題目標化，目標確定課程化”的課程理念.在不違背新課程標準要求，不破壞學科知識的科學性、系統性的前提下，對教材進行適當調整重組，并通過“走進智者，挑戰自我：引入新課—自學質疑，交流展示：探究新知—小組合作，學習研討：鞏固新知—互動探究，精講點撥：深化新知（初顯身手、展露鋒芒）—全課小結，內化新知”五個活動展示教學流程.以學生學習活動為中心，不斷創造知識障礙，引領學生進行深度嘗試探索.變式練習由易到難，讓思維在問題解決中成長，讓問題解決在思維中拓展，最終讓學生真正成為學習的主人.