學情分析是數學教學的前提

趙緒昌

關注每一位學生的發展是新課程改革的核心理念.從學生發展的需要出發審視整個教學過程，真正了解學生的發展需要自然成為課堂教學的首要任務.學生是學習的主體，教學的出發點和歸宿都應體現在學生身上，高效的教學離不開對學生的全面了解.只有了解學生、讀懂學生，走進學生的心靈，我們的教學才能有的放矢，才能真正“以學論教”.我們想引領學生到我們想讓他去的地方，那必須首先知道學生現在到底在哪里.這是一個不爭的事實.我們想引領學生到另一個地方去，這會涉及三個問題，一是究竟想到哪里去.二是學生現在在哪里.三是怎樣去.了解學生現在在哪里，就是了解學生學習的起點，怎樣引領就是學生的學習方式，引領到哪里就是學生學習的目標.教師應盡可能從學生的“已知”、“未知”、“能知”、“想知”和“怎么知”等五個方面深入分析學生情況.（1）學生的“已知”是指學生已經具備的與本節內容學習相關的知識經驗和能力水平等，明確這點很重要，它決定著學習起點的定位.（2）學生的“未知”是相對“已知”而言的，它包括學習應該達到的終極目標中所包含的未知知識，而且還包括實現終極目標之前，還要涉及學生所沒有掌握的知識.（3）學生的“能知”是通過這節課教學，所任教班級的學生能達到怎么樣的目標，它決定了學習終點（即學習目標）的定位.這是因材施教的基礎.（4）學生的“想知”是指除教學目標規定的要求外，學生還希望知道哪些目標以外的東西（注：學生學習中，往往會通過提出疑問來體現“想知”.當然，學生的“想知”可能會超出教學目標或者學生認知水平.如果真是如此，課堂教學可以拓展，但建議給學生一個提示性的交待）.（5）學生的“怎么知”反映學生是如何進行數學學習的，它體現學生的認知風格和學習方法、習慣等.下面就“學情分析是數學教學的前提”舉例說明.

1基于認知起點，確定教學生長點

案例1“幾何概型”探究教學（普通高中課程標準實驗教科書（蘇教版數學必修3））

問題1：若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，則從A中任取出一個數，這個數不大于3的概率是多少？

變式：若A=（0，9]，則從A中任意取出一個數，這個數不大于3的概率是多少？

問題2：取一根長為9米的彩帶，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長度都不小于3米的概率是多少？

問題3：某島周圍海域面積約為17萬平方公里，若在此海域里有面積達01萬平方公里的大陸架蘊藏著石油，假設在這個海域里任意選定一點鉆探，則鉆出石油的概率是多少？

問題4：有一杯1升的水，其中含有1個細菌，用一個小杯從這杯水中取出01升，求小杯水中含有這個細菌的概率？

教學隨想美國著名心理學家奧斯貝爾曾經說過：“如果不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會說，影響學習的最重要的原因是學生已經知道了什么，我們應當根據學生原有的知識狀況去進行教學.”遵循從“學生已經知道了什么”與“學生原有經驗”出發進行教學，符合皮亞杰的“認識即是一種以主體已有的知識和經驗為基礎的主動的建構活動”的觀點.案例中，通過設計問題串啟發引導學生以真實的問題（學生頭腦中真正存在的問題，是作為新知識固著點的問題）和真實的經驗（學生頭腦中已有的經驗，是作為新知識生長點的經驗）為基礎，從已有的認知結構——古典概型出發，創設問題情境（設計合理的問題串），自然而然地引入新課——幾何概型.通過問題1為學生的思維搭建好框架，通過變式來設置懸念，引導學生思考在A=（0，9]內到底有多少個數，A=（0，9]中不大于3的數又有多少呢？由此在思維層次上，盡可能減小思維落差，幫助學生從原有知識和經驗中找到“支架”和“固著點”，激起學生的探究欲望.接著，圍繞幾何概型計算公式中的測度進行遞進式設計，從線段（一維）到面積（二維）再到體積（三維），遵循學生的“最近發展區”和認知規律，教師與學生思維同步進行探究，這樣學生才能真正體會、感受到數學所包含的深刻思維和豐富智慧，體驗、享受探究的樂趣與魅力.

2關注學習需求，構建教學啟發點

案例2“函數的奇偶性”的教學片斷

師：請同學們回顧函數單調性的定義、單調區間及判斷函數單調性的方法.

生：（略）.

師：很好！下面我們研究函數的第二個性質——奇偶性.

師：觀察函數y=x2與y=1x的圖象，它們有什么特征？

生：y=x2的圖象關于y軸對稱，y=1x的圖象關于原點對稱.

師：這兩種對稱的特點，反映在數量關系上，你能得出怎樣的結論？先看函數y=x2.

生：對于y=x2，當自變量x取一對相反數時，y取同一值.記f（x）=y=x2，有f（-12）=f（12），f（-1）=f（1），…，一般地，有f（-x）=f（x）.

師：非常好，這表明：如果點（x，y）在函數y=x2的圖象上，則該點關于y軸的對稱點（-x，y）也在函數y=x2的圖象上.下面請大家再來研究函數y=1x.

生：當自變量取一對相反數時，y亦取相反數.例如f（-12）=-f（12），f（-1）=-f（1），

…，一般地，有f（-x）=-f（x）.由此可以抽象出：如果點（x，y）在函數y=1x的圖象上，則該點關于原點的對稱點（-x，-y）也在函數y=1x的圖象上.

教師啟發學生，得出奇（偶）函數的定義.強調：①定義本身蘊涵著“函數的定義域必須關于原點對稱”；②“定義域內任一個”是指對定義域內的每一個x；③判斷函數奇偶性最基本的方法：先看定義域，再檢查f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x））是否成立.

教學隨想課堂教學活動是在教師指導下有組織、有步驟、有計劃的一項復雜的心理活動和智力活動.為了使數學課上得既生動又有效，教師就必須有課前的周密策劃，即準確把握教材內容，全面了解學生的學習需求，有效開發教學的豐富資源.其中，學習的主體——學生的學習需求顯得尤為重要.課堂教學中，只有努力滿足學生的學習需求，激發學生的學習興趣，使學生能夠愛學、喜學和樂學，激活學生的認知活動，才能促使學生積極主動地參與教學過程.但是，教學實踐中，許多教師在進行教學設計時，往往忽視對學習者學習需求的分析與研究，從而使課堂教學走向誤區.上述設計在學生已經熟悉的函數單調性的基礎上，從形和數相聯系的角度出發，通過對兩個特殊函數的研究，抽象出函數奇偶性的概念，體現了化陌生為熟悉和數形結合的數學思想，符合由熟悉到陌生、由特殊到一般、由直觀到抽象的認知規律，整個過程，看似無懈可擊.但是，如果我們站在以學生為本、為學習設計教學的高度進行深人地思考，就會提出這樣的問題：為什么要研究函數的奇偶性？其意義何在，價值是什么？顯然，教師在進行教學設計和教學實施時，只是站在教師教的角度，按照教師的主觀意志組織活動，將教師的意圖強加給學生，而無視學生的學習需求.

3尋找興趣焦點，激活教學興奮點

案例3“弧度制”的教學片斷

在“弧度制”教學時，鈴聲一響，全班學生和聽課的教師正襟而坐，靜靜等待任課教師開始上課.這時，只見教室門被推開，上課教師手拿一面折扇，不慌不忙地走上講臺，悠然而立，“刷”的一聲打開折扇慢悠悠地搖動起來.學生及聽課教師如墜霧里，滿眼詫異：此時天氣正冷，教師這是唱的哪一出呢？

正在大家莫名其妙之時，教師將扇子一舉說：“同學們，請看這是什么圖形啊？”學生大聲回答：“扇形！”教師又問：“你會做扇形嗎？”學生：“將圓剪出一部分.”教師又問：“如果要使做出的折扇更好看，應該怎么剪呢？”學生紛紛議論，有的迫不及待地開始動手實驗，有的卻無從下手.此時教師又說話了：“誰做的扇形好看，我們便把它叫做黃金扇！”聽到此話，有的學生頓時驚醒：“黃金分割率”.教師會心一笑：“對，只要讓你剪出的扇形面積和剩余部分的面積比值符合黃金比例即可，那么怎么求出扇形的面積，以及剪出扇形的圓心角應該是多少呢？學完本節課，希望同學們能夠輕松地完成該任務.”

至此，聽課教師才恍然大悟，原來如此！而學生的學習興趣也被充分調動起來了，然后便開始了“弧度制”的學習.因為學習氣氛熱烈，效率大大提高，學生很輕松地掌握了弧度制的概念、弧長和扇形的面積公式.離下課還有五分鐘時，教師又提出了新授課前的問題：“哪位同學能給出黃金扇形的圓心角的求法，

請上講臺來展示一下.”話音未落，一名學生

便走上講臺開始講解：

如右圖，假如設計紙扇的圓心角為θ，

則剩余部分的圓心角為2π-θ.而折扇

面積S1與剩余面積S2的比值為黃金比例

值0618.由扇形面積公式可得

S1S2=12γ2θ12γ2（2π-θ）=0.618，

則θ=0618（2π-θ），所以θ≈0.764π≈140°.

即只要紙扇的中心大約為140°時，該紙扇符合黃金比例，所以最好看.

教學隨想數學教學是數學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程.教師在學生主動的建構過程中，應當成為學生學習的促進者.數學教學要獲得成功，就必須想方設法啟動學生的內驅力，將外在的教學目標轉換為學生的心理需要，成為學生的學習目標.教師要充分分析了解學生的心理需求，學習興趣，在數學教學設計中營造生動活潑的教學氣氛，讓學生經過體驗、創造、爭辯、反思、升華的過程，發揮自主性、主動性和創造性，激發學生的內在學習動機.只有當學生對所學的內容產生了興趣，形成了內在的需要和動機，他才能具有達成目標的主動性，教學目標的實現才有保證，使學生由“要我學”轉變為“我要學”.案例中，學生分析思路清晰，公式應用準確.本節課教師以滿腔的熱忱感染著學生，以高超的教學藝術引領著學生，其獨特的教學風格和爐火純青的教學藝術在本節課上得到了充分的體現，課堂設計情境前后照應，整堂課精彩紛呈，既讓人精神愉悅又回味無窮，這真是：一把折扇貫始終，角度弧度在其中.奇思妙想巧點撥，學以致用標達成.

4分析學習難點，尋找教學突破點

案例4“橢圓的性質”的教學片斷

師：有沒有同學剪的橢圓紙板是不對稱的？

生：沒有！

師：是不是可以說任意的橢圓都是對稱的呢？

生：必須證明.

師：用什么來表示任意一個橢圓？

生：橢圓的標準方程.

學生口述老師板書：求證橢圓x2a2+y2b2=1關于x軸對稱.

證明：在橢圓上任取一點P（x0，y0），它關于x軸的對稱點Q（x0，-y0），有x20a2+（-y0）2b2=x20a2+y20b2=1，則點Q（x0，-y0）也在橢圓上，所以橢圓關于x軸對稱.同理橢圓關于y軸和原點對稱.

師：從這一證明過程，你能根據曲線方程的形式快速判別曲線關于x軸、y軸和原點對稱嗎？

生：用-y代y方程不變，曲線關于x軸對稱；用-x代x方程不變，曲線關于y軸對稱；用-x代x，-y代y方程都不變，曲線關于原點對稱.

師：如果一個曲線不關于y軸對稱，如何判別？

生：舉反例！

師：我們從橢圓標準方程x2a2+y2b2=1的角度還能看出橢圓具有哪些性質？大家討論一下，然后小組交流.

生：橢圓有四個頂點……

生：橢圓上所有點的橫縱坐標有范圍……

生：存在一個大圓和一個小圓分別與橢圓外切和內切……

教學隨想學習難點是指那些太抽象、離學生生活實際太遠的、過程太復雜的、學生難于理解和掌握的知識、技能與方法.難點的形成主要有以下幾個方面的原因：一是該知識遠離學生的生活實際，學生缺乏相應的感性認識；二是該知識較為抽象，學生難以理解；三是該知識包含多個知識點，知識點過于集中；四是該知識與舊知識聯系不大或舊知識掌握不牢或因大多數學生對與之聯系的舊知識遺忘所致.因此，突破難點，關鍵在于對造成難點的原因進行分析，原因找準了，對癥下藥就不難了.案例中，“橢圓的性質”一課的學習難點是利用橢圓的標準方程去發現和證明橢圓的性質，把從具體實物中的發現上升到理論證明，由感性認識到理性思考，這是進行科學研究的必經之路，同時也體現了解析幾何的本質：利用代數方法證明幾何問題.這里通過教師的引導，精心設計一個個小問題，不斷把學生的思維引向深入，把目光從具體的橢圓形狀轉移到它的方程上來，從直觀判斷到理性思考，找到了三種對稱的本質.這樣，不作出曲線同樣能從它的方程判斷其對稱性，對曲線對稱性的認識上升到一個新的高度，掌握了問題的本質特性.學生的思維象脫韁的野馬，課堂氣氛熱烈，掀起了一個又一個高潮.學生深刻體會到：應該從曲線的方程去研究曲線的性質，這正是解析幾何的本質所在.

5發現課堂意外，抓住教學生成點

案例5“直線的傾斜角與斜率”的教學片斷

人教A版必修2“31直線的傾斜角與斜率”的教學

先創設教學情境，導出坐標法研究方式，預設進行兩次探究，建立直線的傾斜角與斜率的概念.

探究1“一點能否確定一條直線”，通過幾何畫板的動畫，觀察過一點P作多條直線的區別，思考能不能用一個幾何量描述直線的傾斜程度，然后引出傾斜角的概念；

探究2“還有什么量能描述直線的傾斜程度”，引導學生聯系坡度比，給出斜率的概念，再導出兩點間斜率公式.

筆者在引出探究1和觀察后，給出這樣一個思考：“能不能用一個幾何量描述直線的傾斜程度？”教師的設計意圖很明顯，是想讓學生用角來描述.但出人意料的事發生了，一位女同學站起來回答“可以用斜率描述”，學生的回答出乎了教師的預設.如何處理這一“生成性問題”？若按這位學生的回答展開教學，將打亂原先的教學設計；若是“聽而不聞”，再讓另一個學生回答，但這樣處理勢必影響這位學生學習的信心，并對她和其他學生的思維產生抑制，所以筆者沒有中斷她的回答，而是提出：

追問1“斜率是什么？”如果學生按照課本的定義回答斜率是傾斜角α的正切值，教師再追問傾斜角α是什么？自然將學生研究的視角引回到教學預設上來.但是學生的回答又一次出乎教師的預設，學生說“斜率k=y2-y1x2-x1，其中x1、y1，x2、y2表示直線上兩點的坐標”.顯然學生的回答使教師的教學預設又一次落空，再繼續下去必然打亂之前的教學設計.

追問2“你是怎么獲得的？”“書上有的”，學生們哄堂大笑.此時教師將k=y2-y1x2-x1板書，放棄了原先的教學設計.

追問3“我們說兩點確定一條直線，對所有的直線都存在k嗎？”讓學生共同討論，并結合幾何畫板演示，明確只要確定兩點，當x1≠x2時都有k的存在.

追問4“我們能不能從幾何角度研究k=y2-y1x2-x1？日常生活中，有沒有表示傾斜特征的量？”

追問5“能不能用坡度（比）來表示傾斜程度呢？坡度（比）能滿足我們研究直線的需要嗎？它有哪些局限性？”引導學生回憶起坡度問題，通過坡度比與斜率的對比，不斷完善斜率的概念.

追問6“所以我們有繼續研究斜率k的必要，斜率k取值與P1（x1，y1），P2（x2，y2）先后有關嗎？”通過幾何畫板，在點不斷的運動過程中，引導學生理解“坡度”實際就是“α的正切值”，從而引入傾斜角的概念.

教學隨想蘇霍姆林斯基說：“教育的技巧并不在于能預見到課堂的所有細節，而是在于根據當時的具體情況，巧妙地在學生不知不覺中作出相應的變動.”葉瀾教授曾經充滿詩情畫意地說過，“課堂應該是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的風景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程.”學生作為一種活生生的力量，帶著自己的知識、經驗、思考、情感參與課堂教學，他們隨時都有可能產生意外.教師需要摒棄固守原有的教學設計而不顧及形勢的變化的觀念，在課堂教學中隨機而變，敏銳地發現一些生成點.案例中，學生的回答完全打亂了教師原先的教學設計，至少教學內容的呈現順序被打亂了，但是教師卻在學生“意外回答”中，通過與學生的對話，教師的“問”、“追問”、“進一步追問”，環環相扣、層層遞進，指向教學目標，借助“坡度”概念強化斜率的概念，讓學生體驗數形結合思想和轉化思想的意義，發展學生對變量數學的認識，增強了課堂教學的有效性.由此說明，教學的技巧并不在于預見課堂中的所有細節，而在于面對“節外生枝”時，能潤物細無聲地做出巧妙的變動.這同樣也是教師的“意外收獲”.

“節外生枝”現象在課堂里并不少見，如何看待課堂教學的生成？首先，靈活處置“節外生枝”的內容.如果它與課堂教學內容無關，也無益于發展學生能力，教師可以婉轉地告知學生課后再作交流討論.如果“節外生枝”的內容是很好的一個生成點，對于學生的發展大有益處，那么教師就要把握住這個“枝”，順藤摸瓜，以取得意想不到的效果.其次，正確看待預設的教學目標.課堂教學目標是為學生發展服務的，暫時未達成的教學目標可以在后面的教學中達成，不要過分強調一定要在本節課中實現.有經驗的教師，也完全可以在生成的課堂中運用自己的智慧，更好地完成教學任務.

總之，教學實踐中，是否進行深入的學情分析，常常對一節課的成敗起決定性作用.所以教師要通過觀察、問卷、談話等形式進行調研，深入地了解學生.只有用真心去讀學生，數學教學才會開創出一片新天地.

5發現課堂意外，抓住教學生成點

案例5“直線的傾斜角與斜率”的教學片斷

人教A版必修2“31直線的傾斜角與斜率”的教學

先創設教學情境，導出坐標法研究方式，預設進行兩次探究，建立直線的傾斜角與斜率的概念.

探究1“一點能否確定一條直線”，通過幾何畫板的動畫，觀察過一點P作多條直線的區別，思考能不能用一個幾何量描述直線的傾斜程度，然后引出傾斜角的概念；

探究2“還有什么量能描述直線的傾斜程度”，引導學生聯系坡度比，給出斜率的概念，再導出兩點間斜率公式.

筆者在引出探究1和觀察后，給出這樣一個思考：“能不能用一個幾何量描述直線的傾斜程度？”教師的設計意圖很明顯，是想讓學生用角來描述.但出人意料的事發生了，一位女同學站起來回答“可以用斜率描述”，學生的回答出乎了教師的預設.如何處理這一“生成性問題”？若按這位學生的回答展開教學，將打亂原先的教學設計；若是“聽而不聞”，再讓另一個學生回答，但這樣處理勢必影響這位學生學習的信心，并對她和其他學生的思維產生抑制，所以筆者沒有中斷她的回答，而是提出：

追問1“斜率是什么？”如果學生按照課本的定義回答斜率是傾斜角α的正切值，教師再追問傾斜角α是什么？自然將學生研究的視角引回到教學預設上來.但是學生的回答又一次出乎教師的預設，學生說“斜率k=y2-y1x2-x1，其中x1、y1，x2、y2表示直線上兩點的坐標”.顯然學生的回答使教師的教學預設又一次落空，再繼續下去必然打亂之前的教學設計.

追問2“你是怎么獲得的？”“書上有的”，學生們哄堂大笑.此時教師將k=y2-y1x2-x1板書，放棄了原先的教學設計.

追問3“我們說兩點確定一條直線，對所有的直線都存在k嗎？”讓學生共同討論，并結合幾何畫板演示，明確只要確定兩點，當x1≠x2時都有k的存在.

追問4“我們能不能從幾何角度研究k=y2-y1x2-x1？日常生活中，有沒有表示傾斜特征的量？”

追問5“能不能用坡度（比）來表示傾斜程度呢？坡度（比）能滿足我們研究直線的需要嗎？它有哪些局限性？”引導學生回憶起坡度問題，通過坡度比與斜率的對比，不斷完善斜率的概念.

追問6“所以我們有繼續研究斜率k的必要，斜率k取值與P1（x1，y1），P2（x2，y2）先后有關嗎？”通過幾何畫板，在點不斷的運動過程中，引導學生理解“坡度”實際就是“α的正切值”，從而引入傾斜角的概念.

教學隨想蘇霍姆林斯基說：“教育的技巧并不在于能預見到課堂的所有細節，而是在于根據當時的具體情況，巧妙地在學生不知不覺中作出相應的變動.”葉瀾教授曾經充滿詩情畫意地說過，“課堂應該是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的風景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程.”學生作為一種活生生的力量，帶著自己的知識、經驗、思考、情感參與課堂教學，他們隨時都有可能產生意外.教師需要摒棄固守原有的教學設計而不顧及形勢的變化的觀念，在課堂教學中隨機而變，敏銳地發現一些生成點.案例中，學生的回答完全打亂了教師原先的教學設計，至少教學內容的呈現順序被打亂了，但是教師卻在學生“意外回答”中，通過與學生的對話，教師的“問”、“追問”、“進一步追問”，環環相扣、層層遞進，指向教學目標，借助“坡度”概念強化斜率的概念，讓學生體驗數形結合思想和轉化思想的意義，發展學生對變量數學的認識，增強了課堂教學的有效性.由此說明，教學的技巧并不在于預見課堂中的所有細節，而在于面對“節外生枝”時，能潤物細無聲地做出巧妙的變動.這同樣也是教師的“意外收獲”.

“節外生枝”現象在課堂里并不少見，如何看待課堂教學的生成？首先，靈活處置“節外生枝”的內容.如果它與課堂教學內容無關，也無益于發展學生能力，教師可以婉轉地告知學生課后再作交流討論.如果“節外生枝”的內容是很好的一個生成點，對于學生的發展大有益處，那么教師就要把握住這個“枝”，順藤摸瓜，以取得意想不到的效果.其次，正確看待預設的教學目標.課堂教學目標是為學生發展服務的，暫時未達成的教學目標可以在后面的教學中達成，不要過分強調一定要在本節課中實現.有經驗的教師，也完全可以在生成的課堂中運用自己的智慧，更好地完成教學任務.

總之，教學實踐中，是否進行深入的學情分析，常常對一節課的成敗起決定性作用.所以教師要通過觀察、問卷、談話等形式進行調研，深入地了解學生.只有用真心去讀學生，數學教學才會開創出一片新天地.

5發現課堂意外，抓住教學生成點

案例5“直線的傾斜角與斜率”的教學片斷

人教A版必修2“31直線的傾斜角與斜率”的教學

先創設教學情境，導出坐標法研究方式，預設進行兩次探究，建立直線的傾斜角與斜率的概念.

探究1“一點能否確定一條直線”，通過幾何畫板的動畫，觀察過一點P作多條直線的區別，思考能不能用一個幾何量描述直線的傾斜程度，然后引出傾斜角的概念；

探究2“還有什么量能描述直線的傾斜程度”，引導學生聯系坡度比，給出斜率的概念，再導出兩點間斜率公式.

筆者在引出探究1和觀察后，給出這樣一個思考：“能不能用一個幾何量描述直線的傾斜程度？”教師的設計意圖很明顯，是想讓學生用角來描述.但出人意料的事發生了，一位女同學站起來回答“可以用斜率描述”，學生的回答出乎了教師的預設.如何處理這一“生成性問題”？若按這位學生的回答展開教學，將打亂原先的教學設計；若是“聽而不聞”，再讓另一個學生回答，但這樣處理勢必影響這位學生學習的信心，并對她和其他學生的思維產生抑制，所以筆者沒有中斷她的回答，而是提出：

追問1“斜率是什么？”如果學生按照課本的定義回答斜率是傾斜角α的正切值，教師再追問傾斜角α是什么？自然將學生研究的視角引回到教學預設上來.但是學生的回答又一次出乎教師的預設，學生說“斜率k=y2-y1x2-x1，其中x1、y1，x2、y2表示直線上兩點的坐標”.顯然學生的回答使教師的教學預設又一次落空，再繼續下去必然打亂之前的教學設計.

追問2“你是怎么獲得的？”“書上有的”，學生們哄堂大笑.此時教師將k=y2-y1x2-x1板書，放棄了原先的教學設計.

追問3“我們說兩點確定一條直線，對所有的直線都存在k嗎？”讓學生共同討論，并結合幾何畫板演示，明確只要確定兩點，當x1≠x2時都有k的存在.

追問4“我們能不能從幾何角度研究k=y2-y1x2-x1？日常生活中，有沒有表示傾斜特征的量？”

追問5“能不能用坡度（比）來表示傾斜程度呢？坡度（比）能滿足我們研究直線的需要嗎？它有哪些局限性？”引導學生回憶起坡度問題，通過坡度比與斜率的對比，不斷完善斜率的概念.

追問6“所以我們有繼續研究斜率k的必要，斜率k取值與P1（x1，y1），P2（x2，y2）先后有關嗎？”通過幾何畫板，在點不斷的運動過程中，引導學生理解“坡度”實際就是“α的正切值”，從而引入傾斜角的概念.

教學隨想蘇霍姆林斯基說：“教育的技巧并不在于能預見到課堂的所有細節，而是在于根據當時的具體情況，巧妙地在學生不知不覺中作出相應的變動.”葉瀾教授曾經充滿詩情畫意地說過，“課堂應該是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的風景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程.”學生作為一種活生生的力量，帶著自己的知識、經驗、思考、情感參與課堂教學，他們隨時都有可能產生意外.教師需要摒棄固守原有的教學設計而不顧及形勢的變化的觀念，在課堂教學中隨機而變，敏銳地發現一些生成點.案例中，學生的回答完全打亂了教師原先的教學設計，至少教學內容的呈現順序被打亂了，但是教師卻在學生“意外回答”中，通過與學生的對話，教師的“問”、“追問”、“進一步追問”，環環相扣、層層遞進，指向教學目標，借助“坡度”概念強化斜率的概念，讓學生體驗數形結合思想和轉化思想的意義，發展學生對變量數學的認識，增強了課堂教學的有效性.由此說明，教學的技巧并不在于預見課堂中的所有細節，而在于面對“節外生枝”時，能潤物細無聲地做出巧妙的變動.這同樣也是教師的“意外收獲”.

“節外生枝”現象在課堂里并不少見，如何看待課堂教學的生成？首先，靈活處置“節外生枝”的內容.如果它與課堂教學內容無關，也無益于發展學生能力，教師可以婉轉地告知學生課后再作交流討論.如果“節外生枝”的內容是很好的一個生成點，對于學生的發展大有益處，那么教師就要把握住這個“枝”，順藤摸瓜，以取得意想不到的效果.其次，正確看待預設的教學目標.課堂教學目標是為學生發展服務的，暫時未達成的教學目標可以在后面的教學中達成，不要過分強調一定要在本節課中實現.有經驗的教師，也完全可以在生成的課堂中運用自己的智慧，更好地完成教學任務.

總之，教學實踐中，是否進行深入的學情分析，常常對一節課的成敗起決定性作用.所以教師要通過觀察、問卷、談話等形式進行調研，深入地了解學生.只有用真心去讀學生，數學教學才會開創出一片新天地.