促進理解的數學活動特征及其案例設計

孔小明

隨著數學課程改革的推進與深入，“數學活動”的教學觀念已逐漸為教師所接受，并轉化為教學實踐中的具體行為，數學課堂發生了可喜的變化.但是，就數學活動設計而言，目前教學中還存在不少問題，其中數學活動過于活動化，活動缺少“數學味”，學生缺乏對數學的深度理解是當前數學活動設計存在的主要問題.

數學是一門抽象性的學科，知識的獲得與應用都是以理解為基礎的.理解是關聯性價值的目標，其他如記憶、運用、分析、遷移和創造等目標的達成，也都是以理解為基礎的.因此，將“理解”作為數學活動的核心關注點，把數學活動的設計與實施看成理解的過程，既是數學教學的目標追求，也是對傳統數學活動過多強調數學技能的一種修正.

1促進理解的數學活動特征

1.1活動的意義是揭示內容的數學本質

數學活動是以數學思想為指導、用數學的方法解決問題從而感悟數學知識、形成數學能力的活動.促進理解的數學活動設計，有利于摒棄數學活動中過于追求課堂的表面熱鬧、活動的花樣翻新，致使教學出現華而不實、偏離主題等現象，緊緊圍繞教學內容，調動學生已有的經驗，讓學生從數學層面來體驗、認識所學內容，在深刻揭示教學內容的數學本質的過程中，促進學生對知識的深入理解.

1.2活動的設計體現理解的層次性

數學理解水平可分為不同的層次，數學理解是一個曲折的、螺旋式上升的發展過程.因此，促進理解的數學活動設計應該從學生已有認知理解出發，設計基于不同理解要求的數學活動.每個活動按一定層次展開，前一個活動為后一個活動做鋪墊，隨著活動的一一呈現，學生對生成問題的探討逐步深入，學生的理解也逐步達到較高的認知水平.

1.3活動的形式注重“有引導”的建構性

理解是一種個性化的、自我實現的行為，教師的講解代替不了學生的思考，因此，促進理解的數學活動形式注重主體的建構性.由于學生自身經驗的局限性，這種建構是在教師的引導下進行的，是一種“再發現”、“再創造”.教師可將數學活動的設計放在新知理解的“疑難點”、認知理解的“模糊點”、激發理解的思維“發散點”上，引導學生準確理解內容的數學本質.

1.4活動的過程需要思維的深度參與

理解是指個體逐步認識事物的各種聯系、關系直至認識其本質規律的思維活動.因此，內在思維活動是數學活動的核心，只有思維層次的遞進，才有數學理解層次的提升，只有高層次的思維參與，才能達到高層次的數學理解.教師可用“為什么？”“你是怎么想出來的？”等進行追問，讓學生闡述獲得結論的思維過程，以促進學生思維的深度參與.

1.5活動的有效途徑是交流與反思

學生對外的交流溝通和對內的自我反思是促進理解的有效途徑.交流過程中，學生要對自己的想法進行梳理、加工，這是優化認知結構的過程.交流中的討論、爭議等能激活學生相關已有知識，使新舊知識產生更多聯系，有助于加深學生的理解.反思是自己對自己的交流，是對自己理解過程的回顧與思考，從而獲取經驗和教訓，通過對已有認識的再認識，可以進一步理解相關知識的意義，感悟蘊含其中的數學思想方法.

2促進理解的數學活動案例設計

根據理解的不同目標要求，需要設計不同類別的數學活動，本文將促進理解的數學活動分為情境體驗活動、主題探究活動、問題解決活動三類.

2.1情境體驗活動

情境體驗活動意味著借助具體情境，通過觀察、操作、思考等活動，初步認識所學內容的特征，獲得感性認識.從理解角度看，表現為能結合個人經驗初步解釋所學內容意義，能解決一些識記性與操作性比較強的簡單問題，即達到經驗性理解水平.

案例1數學歸納法“直觀模型”的建立.

數學歸納法的形式化表達是學生理解該原理的難點，教學引入多米諾骨牌游戲的目的，是降低認知難度，讓學生經歷“從生活到數學”、“從形象到抽象”的過程，幫助學生建立數學歸納法的“直觀模型”，為歸納兩個步驟、理解數學歸納法的思想實質做好鋪墊.

活動目標：通過活動，讓學生認識與理解多米諾骨牌游戲蘊含的“數學內涵”，建立數學歸納法的雛形.

活動過程：讓學生感受學習新方法的必要性之后，引導學生舉一些生活中通過“傳遞”來完成任務的例子，如接力比賽、連串的鞭炮、多米諾骨牌游戲等，接著讓學生觀看多米諾骨牌游戲的視頻，引導學生著力思考與分析能使所有骨牌全部倒下的條件，師生共同討論得出：

（1）第一塊倒下；

（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.

為了使學生真正理解游戲的數學內涵，從而在后續類比證明相關數學問題中，逐步理解數學歸納法兩個步驟的作用，教師可通過追問，引導學生理解與體會具體模型的思想實質.

T：為什么滿足上述兩個條件，所有骨牌就能全部倒下？

S：由條件（1）可知第一塊骨牌倒下，因為第一塊相鄰的后一塊是第二塊，由條件（2）可知第二塊倒下，同樣，第二塊倒下又引發第三塊倒下，如此一直下去，所有骨牌全部倒下.

T：該過程可由如下程序結構圖表示，即第一塊倒下條件（2）第二塊倒下條件（2）第三塊倒下條件（2）……，在這里條件（1）的作用是什么？

S：“起步”作用，沒有它，后面的骨牌擺得再好也不可能倒下.

T：從程序結構圖看，條件（2）起到關鍵作用，那么它的作用又是什么？

S：“傳遞”作用，就是將某一塊倒下的結果傳遞到與其相鄰的后一塊，即“第k塊倒下一定導致第k+1塊倒下”.

……

教師可借助實物演示、圖畫再現、語言描述等途徑進行情境體驗活動的設計，激發學生的積極學習情感，引導學生經歷知識的產生與形成過程，有助于學生更好地理解學習內容.

2.2主題探究活動

主題探究活動意味著數學活動圍繞相關內容的生成性主題來展開，為認識主題特性設置一系列層層遞進的活動，通過觀察、試驗、推測、說理、論證、反思等活動，完成對主題的意義建構，獲得理性認識.從理解的角度看，表現為能厘清知識本質，把握知識縱橫聯系，包括新舊知識的聯系，數學與現實的聯系等，即達到關系性理解水平.

案例2“直線與平面垂直判定定理”的析出.

因為直線與平面垂直定義中的條件是“任一條直線”，而判定定理中的條件是“兩條相交直線”，這種用“有限”代替“無限”的過程導致學生理解上的思維障礙，構建圍繞主題的探究活動系列有利于掃除這種障礙.

活動目標：通過活動確認和理解判定定理中“雙垂直”和“相交”的條件.

活動過程：在完成定義教學后，教師給出“如何檢驗旗桿豎直立于地面（即旗桿所在直線與地面所在平面垂直）？”的問題，引發認知沖突，激發將平面內直線條數從定義中的“無限”轉化為“有限”的需要.教師逐次給出下列探究活動，完成對定理的意義構建.

探究1：試討論平面內直線減少到多少條才合適，一條夠嗎？兩條呢？

意圖：引導學生通過實物（可用筆表示直線，課本表示平面）的觀察、操作，感知并猜測“兩條”“相交”的條件.

探究2：請你拿出準備好的三角形的紙片，我們一起來做一個試驗：如右圖，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）.（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使AD與桌面所在平面α垂直？

意圖：通過折紙活動讓學生發現，當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，即AD⊥BD，AD⊥CD時，AD與平面α垂直，感知“雙垂直”的條件.

探究3：當折痕AD⊥BC時，繞AD無論怎樣翻折，（1）翻折之后AD始終與桌面所在平面α垂直嗎？（2）翻折之后的垂直關系即AD⊥BD，AD⊥CD是否發生變化？由此得到什么結論？

意圖：讓學生繼續操作并確認：只要有“雙垂直”和“相交”的條件，就有“直線與平面垂直”的結論.

上述數學活動中，通過設置層層遞進的三個探究活動，引導學生進行觀察、操作、解釋與說理，挖掘折紙試驗的數學內涵，對定理的“雙垂直”和“相交”條件進行確認和理解.

2.3問題解決活動

問題解決活動意味著數學活動圍繞著解決生成性問題來展開，學生經歷觀察、思考、推斷、概括、遷移等活動，暴露思維過程，揭示問題本質.從理解的角度看，表現為能豐富問題的應用背景，剖析思想方法的本源，并能將解決問題的思想方法遷移至新的情形，即達到遷移性理解水平.

案例3用基本不等式求最值中“配湊系數”的實質.

利用基本不等式求最值有時需要“配湊系數”，因其技巧性強而使不少學生望而卻步.這就需要對解題的思維過程進行倒攝深究，發現并理解“配湊系數”的思想實質，從而促進有效遷移.

活動目標：通過活動，發現并理解“配湊系數”的實質，體會解題方法的提煉與遷移過程.

活動過程：給出問題：已知x、y∈R+，求x+yx+22xy的最小值.

借助已有經驗，學生通過系數的配湊，完成問題的求解：

因為22xy=2x（2y）≤x+2y.（1）

所以x+yx+22xy≥x+yx+（x+2y）=12.（2）

當且僅當x=2y時取到等號，故最小值為12

有研究表明，即使學生給出了一個表面看來完美的解答，也不表明學生完全理解了其中的方法內涵.教師有意給出下列變式讓學生繼續思考：

已知x、y∈R+，求2x+yx+23xy的最小值.

學生努力進行系數的配湊，仍然不得其解.教師引導學生從新審視原有問題的解決過程，著力分析解決問題的關鍵——“配湊系數”的目的與方法是什么.

師生共同探討得到，（1）式中不等號左邊2xy配湊為x（2y），其目的是（2）式中不等號右邊出現定值.變式中，考慮到分子是2x+y，分母中3xy配湊的目的，是在應用基本不等式后，x的系數是y的系數的2倍，保證其比值為定值，系數的確定可用待定系數法.

解法1：因為2x+yx+23xy=2x+yx+23tx·yt≥2x+yx+3tx+yt（t>0），

要使不等式右邊是定值，只要1+3t=2t，得t=23.

當且僅當4x=3y時取到等號，最小值為23，

理解了“配湊系數”的實質，新的解法隨之從學生的頭腦中自然地流淌出來.

解法2：因為2x+yx+23xy=mx+（2-m）x+yx+23xy≥mx+2（2-m）xyx+23xy（0

要使不等式右邊是定值，只要2-m=3m，得m=23.

解法3：設2x+yx+23xy≥p（常數），則

（2-p）x+y≥2p3xy.（3）

又當0

（2-p）x+y≥2（2-p）xy.（4）

比較（3）（4），只要3p=2-p，得p=23.

促進理解的數學活動設計的目的旨在將發展學生的理解作為教學的核心目標，將“理解”貫穿在整個數學活動中.創設有效的數學情境，引發數學活動任務，啟發學生積極思維，引導學生主動探究，促進學生深層次參與數學活動的全過程，在知識意義和認知結構的建構過程中達到對數學的深刻理解，在數學交流與自我反思中深化內容的理解.

主題探究活動意味著數學活動圍繞相關內容的生成性主題來展開，為認識主題特性設置一系列層層遞進的活動，通過觀察、試驗、推測、說理、論證、反思等活動，完成對主題的意義建構，獲得理性認識.從理解的角度看，表現為能厘清知識本質，把握知識縱橫聯系，包括新舊知識的聯系，數學與現實的聯系等，即達到關系性理解水平.

案例2“直線與平面垂直判定定理”的析出.

因為直線與平面垂直定義中的條件是“任一條直線”，而判定定理中的條件是“兩條相交直線”，這種用“有限”代替“無限”的過程導致學生理解上的思維障礙，構建圍繞主題的探究活動系列有利于掃除這種障礙.

活動目標：通過活動確認和理解判定定理中“雙垂直”和“相交”的條件.

活動過程：在完成定義教學后，教師給出“如何檢驗旗桿豎直立于地面（即旗桿所在直線與地面所在平面垂直）？”的問題，引發認知沖突，激發將平面內直線條數從定義中的“無限”轉化為“有限”的需要.教師逐次給出下列探究活動，完成對定理的意義構建.

探究1：試討論平面內直線減少到多少條才合適，一條夠嗎？兩條呢？

意圖：引導學生通過實物（可用筆表示直線，課本表示平面）的觀察、操作，感知并猜測“兩條”“相交”的條件.

探究2：請你拿出準備好的三角形的紙片，我們一起來做一個試驗：如右圖，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）.（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使AD與桌面所在平面α垂直？

意圖：通過折紙活動讓學生發現，當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，即AD⊥BD，AD⊥CD時，AD與平面α垂直，感知“雙垂直”的條件.

探究3：當折痕AD⊥BC時，繞AD無論怎樣翻折，（1）翻折之后AD始終與桌面所在平面α垂直嗎？（2）翻折之后的垂直關系即AD⊥BD，AD⊥CD是否發生變化？由此得到什么結論？

意圖：讓學生繼續操作并確認：只要有“雙垂直”和“相交”的條件，就有“直線與平面垂直”的結論.

上述數學活動中，通過設置層層遞進的三個探究活動，引導學生進行觀察、操作、解釋與說理，挖掘折紙試驗的數學內涵，對定理的“雙垂直”和“相交”條件進行確認和理解.

2.3問題解決活動

問題解決活動意味著數學活動圍繞著解決生成性問題來展開，學生經歷觀察、思考、推斷、概括、遷移等活動，暴露思維過程，揭示問題本質.從理解的角度看，表現為能豐富問題的應用背景，剖析思想方法的本源，并能將解決問題的思想方法遷移至新的情形，即達到遷移性理解水平.

案例3用基本不等式求最值中“配湊系數”的實質.

利用基本不等式求最值有時需要“配湊系數”，因其技巧性強而使不少學生望而卻步.這就需要對解題的思維過程進行倒攝深究，發現并理解“配湊系數”的思想實質，從而促進有效遷移.

活動目標：通過活動，發現并理解“配湊系數”的實質，體會解題方法的提煉與遷移過程.

活動過程：給出問題：已知x、y∈R+，求x+yx+22xy的最小值.

借助已有經驗，學生通過系數的配湊，完成問題的求解：

因為22xy=2x（2y）≤x+2y.（1）

所以x+yx+22xy≥x+yx+（x+2y）=12.（2）

當且僅當x=2y時取到等號，故最小值為12

有研究表明，即使學生給出了一個表面看來完美的解答，也不表明學生完全理解了其中的方法內涵.教師有意給出下列變式讓學生繼續思考：

已知x、y∈R+，求2x+yx+23xy的最小值.

學生努力進行系數的配湊，仍然不得其解.教師引導學生從新審視原有問題的解決過程，著力分析解決問題的關鍵——“配湊系數”的目的與方法是什么.

師生共同探討得到，（1）式中不等號左邊2xy配湊為x（2y），其目的是（2）式中不等號右邊出現定值.變式中，考慮到分子是2x+y，分母中3xy配湊的目的，是在應用基本不等式后，x的系數是y的系數的2倍，保證其比值為定值，系數的確定可用待定系數法.

解法1：因為2x+yx+23xy=2x+yx+23tx·yt≥2x+yx+3tx+yt（t>0），

要使不等式右邊是定值，只要1+3t=2t，得t=23.

當且僅當4x=3y時取到等號，最小值為23，

理解了“配湊系數”的實質，新的解法隨之從學生的頭腦中自然地流淌出來.

解法2：因為2x+yx+23xy=mx+（2-m）x+yx+23xy≥mx+2（2-m）xyx+23xy（0

要使不等式右邊是定值，只要2-m=3m，得m=23.

解法3：設2x+yx+23xy≥p（常數），則

（2-p）x+y≥2p3xy.（3）

又當0

（2-p）x+y≥2（2-p）xy.（4）

比較（3）（4），只要3p=2-p，得p=23.

促進理解的數學活動設計的目的旨在將發展學生的理解作為教學的核心目標，將“理解”貫穿在整個數學活動中.創設有效的數學情境，引發數學活動任務，啟發學生積極思維，引導學生主動探究，促進學生深層次參與數學活動的全過程，在知識意義和認知結構的建構過程中達到對數學的深刻理解，在數學交流與自我反思中深化內容的理解.

主題探究活動意味著數學活動圍繞相關內容的生成性主題來展開，為認識主題特性設置一系列層層遞進的活動，通過觀察、試驗、推測、說理、論證、反思等活動，完成對主題的意義建構，獲得理性認識.從理解的角度看，表現為能厘清知識本質，把握知識縱橫聯系，包括新舊知識的聯系，數學與現實的聯系等，即達到關系性理解水平.

案例2“直線與平面垂直判定定理”的析出.

因為直線與平面垂直定義中的條件是“任一條直線”，而判定定理中的條件是“兩條相交直線”，這種用“有限”代替“無限”的過程導致學生理解上的思維障礙，構建圍繞主題的探究活動系列有利于掃除這種障礙.

活動目標：通過活動確認和理解判定定理中“雙垂直”和“相交”的條件.

活動過程：在完成定義教學后，教師給出“如何檢驗旗桿豎直立于地面（即旗桿所在直線與地面所在平面垂直）？”的問題，引發認知沖突，激發將平面內直線條數從定義中的“無限”轉化為“有限”的需要.教師逐次給出下列探究活動，完成對定理的意義構建.

探究1：試討論平面內直線減少到多少條才合適，一條夠嗎？兩條呢？

意圖：引導學生通過實物（可用筆表示直線，課本表示平面）的觀察、操作，感知并猜測“兩條”“相交”的條件.

探究2：請你拿出準備好的三角形的紙片，我們一起來做一個試驗：如右圖，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）.（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使AD與桌面所在平面α垂直？

意圖：通過折紙活動讓學生發現，當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，即AD⊥BD，AD⊥CD時，AD與平面α垂直，感知“雙垂直”的條件.

探究3：當折痕AD⊥BC時，繞AD無論怎樣翻折，（1）翻折之后AD始終與桌面所在平面α垂直嗎？（2）翻折之后的垂直關系即AD⊥BD，AD⊥CD是否發生變化？由此得到什么結論？

意圖：讓學生繼續操作并確認：只要有“雙垂直”和“相交”的條件，就有“直線與平面垂直”的結論.

上述數學活動中，通過設置層層遞進的三個探究活動，引導學生進行觀察、操作、解釋與說理，挖掘折紙試驗的數學內涵，對定理的“雙垂直”和“相交”條件進行確認和理解.

2.3問題解決活動

問題解決活動意味著數學活動圍繞著解決生成性問題來展開，學生經歷觀察、思考、推斷、概括、遷移等活動，暴露思維過程，揭示問題本質.從理解的角度看，表現為能豐富問題的應用背景，剖析思想方法的本源，并能將解決問題的思想方法遷移至新的情形，即達到遷移性理解水平.

案例3用基本不等式求最值中“配湊系數”的實質.

利用基本不等式求最值有時需要“配湊系數”，因其技巧性強而使不少學生望而卻步.這就需要對解題的思維過程進行倒攝深究，發現并理解“配湊系數”的思想實質，從而促進有效遷移.

活動目標：通過活動，發現并理解“配湊系數”的實質，體會解題方法的提煉與遷移過程.

活動過程：給出問題：已知x、y∈R+，求x+yx+22xy的最小值.

借助已有經驗，學生通過系數的配湊，完成問題的求解：

因為22xy=2x（2y）≤x+2y.（1）

所以x+yx+22xy≥x+yx+（x+2y）=12.（2）

當且僅當x=2y時取到等號，故最小值為12

有研究表明，即使學生給出了一個表面看來完美的解答，也不表明學生完全理解了其中的方法內涵.教師有意給出下列變式讓學生繼續思考：

已知x、y∈R+，求2x+yx+23xy的最小值.

學生努力進行系數的配湊，仍然不得其解.教師引導學生從新審視原有問題的解決過程，著力分析解決問題的關鍵——“配湊系數”的目的與方法是什么.

師生共同探討得到，（1）式中不等號左邊2xy配湊為x（2y），其目的是（2）式中不等號右邊出現定值.變式中，考慮到分子是2x+y，分母中3xy配湊的目的，是在應用基本不等式后，x的系數是y的系數的2倍，保證其比值為定值，系數的確定可用待定系數法.

解法1：因為2x+yx+23xy=2x+yx+23tx·yt≥2x+yx+3tx+yt（t>0），

要使不等式右邊是定值，只要1+3t=2t，得t=23.

當且僅當4x=3y時取到等號，最小值為23，

理解了“配湊系數”的實質，新的解法隨之從學生的頭腦中自然地流淌出來.

解法2：因為2x+yx+23xy=mx+（2-m）x+yx+23xy≥mx+2（2-m）xyx+23xy（0

要使不等式右邊是定值，只要2-m=3m，得m=23.

解法3：設2x+yx+23xy≥p（常數），則

（2-p）x+y≥2p3xy.（3）

又當0

（2-p）x+y≥2（2-p）xy.（4）

比較（3）（4），只要3p=2-p，得p=23.

促進理解的數學活動設計的目的旨在將發展學生的理解作為教學的核心目標，將“理解”貫穿在整個數學活動中.創設有效的數學情境，引發數學活動任務，啟發學生積極思維，引導學生主動探究，促進學生深層次參與數學活動的全過程，在知識意義和認知結構的建構過程中達到對數學的深刻理解，在數學交流與自我反思中深化內容的理解.