解析幾何有妙用最佳選址易確定

華瑞芬

在日常生活和生產技術中，我們常常會遇到一些最佳選址的問題.對于此類問題，同學們往往是望而生畏，不知從何入手.此時如果能夠靈活運用解析幾何知識，最佳選址還是容易確定的.下面舉例分析，希望對同學們能夠有所啟迪.

1利用直線確定最佳選址

例1如圖1所示，兩個生物制藥廠A、B座落于通江運河河岸的同側，工廠A、B距離河岸分別為4km、2km，它們之間的距離為6km.現要在運河的工廠這側選一點C，擬在該處建一個貨物運輸中轉站，并建造直線輸送帶分別到兩個工廠和河岸，使得直線輸送帶的總長最小，如圖2建立直角坐標系.

（1）如果要求貨物傳輸中轉站C距離河岸為akm（a為一個給定的數，0≤a≤2），求C點設在何處時，直線輸送帶總長s最小，并給出s關于a的表達式.

（2）在0≤a≤2的范圍內，a取何值時直線輸送帶總長最小，并求出這個最小值.

圖1圖2

解析（1）如圖2所示，作直線l：y=a（0≤a≤2），作B點關于直線l的對稱點B′，連AB′交直線l于D點，D點即為最佳選址點.

因為直線輸送帶總長s=a+AC+CB=a+AC+CB′≥AB′+a.

根據題意可知A（0，4）、B（42，2）、B′（42，2a–2），則直線輸送帶總長最小為：

s=a+AB′=

a+（42-0）2+（2a-2-4）2=

a+4a2-24a+68.①

此時C點取在D點處，因直線AB′的方程為：

y-4=4-（2a-2）0-42x.②

直線l的方程為：y=a.③

聯立②、③可求出D點坐標（22+223-a，a），故當C點坐標為（22+223-a，a）時，直線輸送帶總長最小為：

s=a+4a2-24a+68.

（2）當a是不定值時，由①兩邊平方，得

3a2+（2s–24）a+68–s2=0.④

因a是實數，所以方程④的判別式Δ=（2s–24）2–4×3（68–s2）≥0，即s2–6s–15≥0，解之得：s≤3-26或s≥3+26.因s≥0，則s≤3-26<0，不合題意，所以s≥3+26.

此時由④可得：a=24-2s2×3=9-263，又0<9-263<2，所以a=9-263符合題意，據此可知直線輸送帶的總長最小為s=3+26（km）.

評注對于此類最佳選址問題，根據對稱性原理容易確定：當兩定點在某直線同側時，可在直線上求一點，使其到兩定點的距離之和最小；若兩定點在某直線異側時，可在直線上求一點，使其到兩定點的距離之差最大.

例2一河流同側有兩個村莊A、B，兩村莊計劃在河上建一座水電站供兩村使用.已知A、B兩村到河邊的垂直距離分別為300米和700米，且兩村相距500米，問水電站P建在何處，送電到兩村的電線用料最短？

圖3

解析以河流所在直線為x軸，y軸通過點A，建立直角坐標系，則點A（0，300）、B（x，700）.設點B在y軸上的射影為H，則x=|BH|=AB2-AH2=5002-4002米=300米，故點B（300，700），如圖3所示.顯然P點落在A′B上時，|PA|+|PB|最小.

設點A關于x軸的對稱點為A′（0，-300），則直線A′B的斜率為k=700+300300=103，直線A′B的方程為：y=103x-300.

令y=0，得x=90，得點P（90，0），故水電站建在河邊P（90，0）處，如圖3所示.

點評本題若求點P（x，0）到A、B的距離和|PA|+|PB|=x2+300+（x-300）2+7002的最小值，運算量將非常大，無疑也就增大了解題的難度.利用問題的已知條件，建立恰當的“直線模型”求解可以極大地簡化解題過程.

2利用圓確定最佳選址

例3如圖4所示，l1、l2是通過某城市開發區中心O的兩條南北與東西走向的街道，連接M、N兩地之間的鐵路線是圓心在l2上的一段圓弧.若點M在點O正北方向，且|MO|=3km，點N到l1、l2的距離分別為4km、5km.

（1）建立適當坐標系，求鐵路線所在圓弧的方程；

（2）若該市的某中學準備在點O正東方向選址建分校，考慮環境問題，要求校址到點O的距離大于4km，并且鐵路線上任意一點到校址的距離不能少于26km，求該校址距點O的最近距離（校址可視為一個點）.

圖4

解析（1）分別以l2、l1為x軸、y軸建立如圖4所示的直角坐標系.根據題意可得：M（0，3）、N（4，5）.故kMN=5-34-0=12，MN的中點為（2，4），所以線段MN的垂直平分線方程為：y–4=-2（x–2）.令y=0，可得x=4.

故圓心A的坐標為（4，0），半徑r=（4-0）2+（0-3）2=5.

所以⊙A的方程為：（x–4）2+y2=25，所以弧MN的方程為：（x–4）2+y2=25（0≤x≤4，3≤y≤5）.

（2）設校址選在B（a，0）（a>4），則（x-a）2+y2≥26，對0≤x≤4恒成立，即（x-a）2+25-（x-4）2≥26恒成立，整理得（8–2a）x+a2–17≥0，對0≤x≤4恒成立.

令f（x）=（8–2a）x+a2–17，因為a>4，

所以8–2a<0.

所以f（x）在[0，4]上為減函數，

所以要使上式恒成立，當且僅當a>4，

f（4）≥0，，即a>4，

（8-2a）×4+a2-17≥0，解之得：a≥5，即學校選址應在距O點最近5km的地方.

評注要想順利求解本題，除了要能夠正確地建立直角坐標系外，還應注意所求方程中的x、y有取值范圍限制，否則就容易出錯.

3利用拋物線確定最佳選址

例4某地政府為科技興市，欲將如圖5所示的一塊不規則的非農業用地規劃建成一個矩形的高科技工業園區.已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=2OA=4km，曲線段OC是以點O為頂點且開口向右的拋物線的一段，如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個頂點落在曲線段OC上，問應該如何規劃才能使矩形工業園區的用地面積S最大？并求出最大的用地面積（精確到01km2）.

圖5

解析以O為原點，OA所在直線為y軸建立如圖5所示的直角坐標系，則C點坐標為（4，2）.依題意可設拋物線方程為y2=2px（p>0）.

因為C（4，2）在拋物線上，所以22=2p·4，解之得：p=12.

故曲線段OC的方程為：y2=x（0≤x≤4）.

設P（x，x）（0≤x≤4）是曲線段OC上的任一點，則在矩形PQBN中，|PQ|=2+x，|PN|=4–x.

所以S=|PQ|·|PN|=（2+x）（4–x）=-x32-2x+4x12+8.

所以S′=-32x12-2+2x-12.

令S′=0，可得3x12+4-4x-12=0，解之得：x=49.

當x∈（0，49）時，S′>0，故此時S是x的增函數；當x∈（49，4）時，S′<0，故此時S是x的減函數.

所以當x=49時，S取得最大值，此時|PQ|=2+x=83，|PN|=4–x=329，S=83×329=25627≈95.

因為x=0時，S=8，所以Smax≈95km2.

故把工業園區規劃成長為329km、寬為83km的矩形時，工業園區的面積最大，最大面積約為95km2.

評注本題通過求導求函數的最值，運用導數法求函數的最值以及運用導數的知識解決有關的實際問題，是近年來的命題趨勢.

4利用橢圓確定最佳選址

例5如圖6所示，A村在B地正北3km處，C村與B地相距4km，且在B地的正東方向，已知公路PQ上任一點到B、C的距離之和都為8km，現要在公路旁建造一個變電房M，分別向A村、C村送電，但C村有一村辦工廠，用電須用專用線路，不得與民用混線用電，因此向C村要架兩條線路分別給村民和工廠送電，要使得所用電線最短，變電房M應建在A村的什么方位？并求出M到A村的距離.

圖6

解析因為|MB|+|MC|=8，|BC|=4<8，

所以M在以B、C為焦點的橢圓上，建立如圖6所示的直角坐標系，則A、B、C各點坐標為A（-2，3）、B（-2，0），C（2，0）.

所以M點的軌跡方程為x216+y212=1，e=ca=12，右準線l為x=a2c=8.

過M作MN⊥l于N，則|MN|=2|MC|，根據題意求|MA|+2|MC|的最小值，即為求|MA|+|MN|的最小值.

所以M（23，3），N（8，3），|AM|=23+2，即變電房M應建在A村的正東方向且距A村2（3+1）km處.

評注本題考查了橢圓的第一定義和第二定義，將求|MA|+2|MC|的最小值轉化為求|MA|+|MN|的最小值是求解本題的關鍵.

5利用雙曲線確定最佳選址

例6如圖7所示，一村民在P處有一堆肥料，現要將這堆肥料沿道路PA或PB運送到矩形田地ABCD中去.已知PA=100米，PB=150米，∠APB=60°，BC=60m.問能否在田地中確定一條界線，使位于界線一側的點沿道路PA送肥較近，而另一側的點則沿PB送肥較近？如果能，請說出這條界線是一條什么曲線，并求出方程.

圖7

解析由條件ABCD中的點可分為三類：第一類沿PA送肥較近；第二類沿PB送肥較近；第三類沿PA和PB送肥一樣近，即臨界點，故臨界線為第三類點的軌跡，即所求的曲線軌跡.

設M為界線上任一點，則|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.根據雙曲線的定義可知，M點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的一支，以AB所在的直線為x軸，AB中垂線為y軸，建立直角坐標系.

在△APB中，由余弦定理有：|AB|=2c=1002+1502-2×100×150cos60°=507，

所以c=257，a=25，所以b2=7×252-252=3750，故所求軌跡方程為x2625-y23750=1（25≤x≤35）.故可以在田地中確定一條界線，界線方程是雙曲線x2625-y23750=1在矩形ABCD內的一段圓弧.

點評本題以實際問題為背景，考查雙曲線的定義的應用，側重考查同學們轉化問題的數學思想，利用所學知識解決實際問題的能力.

圖8

例7在某城市的局部地圖中如圖8所示，曲線MN為海岸線，直線l為一條南北方向的鐵路線，O為城市中心，小島A、B為海上的兩個旅游景點.今測得城市中心O與鐵路線相距15km，A在O的正東方向與O相距60km，B在O的北偏東60°方向與O相距603km，且海岸線MN上的任意點到A的距離都是到鐵路線距離的兩倍.

（1）寫出海岸線MN所在的曲線方程；

（2）能否在海岸線MN上找一處Q建一座碼頭，使游客從Q出發游覽A、B兩個景點的往返路程S最小？若能找出，試求出往返路程的最小值.

解析（1）如圖8所示，以O為坐標原點，以OA所在直線為x軸，建立直角坐標系，則A（60，0）、B（90，303），l的方程為x=15.

設曲線MN上的任意點P的坐標為（x，y），P到l的距離為d，依題意有|PA|=2d，

所以（x-60）2+y2=2（x-15），整理得：

3x2-y2=2700.

所以海岸線MN所在的曲線方程為x2900-y22700=1（x≥30，MN所在的曲線為雙曲線的右支）.

（2）由（1）知，MN所在的雙曲線實半軸a=30，半焦距c=60.設點C為雙曲線的左焦點，連BC、QC，則C（-60，0），|QC|-|QA|=2a，|QA|=|QC|-2a，

所以S=|QA|+|QB|+|AB|=|QC|+|QB|+|AB|-2a≥|BC|+|AB|-2a.

因為|BC|+|AB|-2a為定值，且B、C在MN的異側，BC與MN必有交點記為Q′，

所以能找出一處Q′，使往返的路程S最小.

又因為|BC|=（90+60）2+（303）2=

607，|AB|=（90-60）2+（303）2=60，

所以Smin=607+60-2×30=607（km）.

即能找到一處Q′，使游客從Q′出發游覽A、B兩個景點的往返路程S最小，最小值為607km.

點評本題以實際問題為背景，考查雙曲線的兩個定義，側重考查大家轉化問題的數學思想.建立坐標系是否適當是影響本題計算的關鍵，而利用|QC|-|QA|=2a來轉化|QA|+|QB|+|AB|的計算是本題的難點，也是本題的核心.

評注要想順利求解本題，除了要能夠正確地建立直角坐標系外，還應注意所求方程中的x、y有取值范圍限制，否則就容易出錯.

3利用拋物線確定最佳選址

例4某地政府為科技興市，欲將如圖5所示的一塊不規則的非農業用地規劃建成一個矩形的高科技工業園區.已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=2OA=4km，曲線段OC是以點O為頂點且開口向右的拋物線的一段，如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個頂點落在曲線段OC上，問應該如何規劃才能使矩形工業園區的用地面積S最大？并求出最大的用地面積（精確到01km2）.

圖5

解析以O為原點，OA所在直線為y軸建立如圖5所示的直角坐標系，則C點坐標為（4，2）.依題意可設拋物線方程為y2=2px（p>0）.

因為C（4，2）在拋物線上，所以22=2p·4，解之得：p=12.

故曲線段OC的方程為：y2=x（0≤x≤4）.

設P（x，x）（0≤x≤4）是曲線段OC上的任一點，則在矩形PQBN中，|PQ|=2+x，|PN|=4–x.

所以S=|PQ|·|PN|=（2+x）（4–x）=-x32-2x+4x12+8.

所以S′=-32x12-2+2x-12.

令S′=0，可得3x12+4-4x-12=0，解之得：x=49.

當x∈（0，49）時，S′>0，故此時S是x的增函數；當x∈（49，4）時，S′<0，故此時S是x的減函數.

所以當x=49時，S取得最大值，此時|PQ|=2+x=83，|PN|=4–x=329，S=83×329=25627≈95.

因為x=0時，S=8，所以Smax≈95km2.

故把工業園區規劃成長為329km、寬為83km的矩形時，工業園區的面積最大，最大面積約為95km2.

評注本題通過求導求函數的最值，運用導數法求函數的最值以及運用導數的知識解決有關的實際問題，是近年來的命題趨勢.

4利用橢圓確定最佳選址

例5如圖6所示，A村在B地正北3km處，C村與B地相距4km，且在B地的正東方向，已知公路PQ上任一點到B、C的距離之和都為8km，現要在公路旁建造一個變電房M，分別向A村、C村送電，但C村有一村辦工廠，用電須用專用線路，不得與民用混線用電，因此向C村要架兩條線路分別給村民和工廠送電，要使得所用電線最短，變電房M應建在A村的什么方位？并求出M到A村的距離.

圖6

解析因為|MB|+|MC|=8，|BC|=4<8，

所以M在以B、C為焦點的橢圓上，建立如圖6所示的直角坐標系，則A、B、C各點坐標為A（-2，3）、B（-2，0），C（2，0）.

所以M點的軌跡方程為x216+y212=1，e=ca=12，右準線l為x=a2c=8.

過M作MN⊥l于N，則|MN|=2|MC|，根據題意求|MA|+2|MC|的最小值，即為求|MA|+|MN|的最小值.

所以M（23，3），N（8，3），|AM|=23+2，即變電房M應建在A村的正東方向且距A村2（3+1）km處.

評注本題考查了橢圓的第一定義和第二定義，將求|MA|+2|MC|的最小值轉化為求|MA|+|MN|的最小值是求解本題的關鍵.

5利用雙曲線確定最佳選址

例6如圖7所示，一村民在P處有一堆肥料，現要將這堆肥料沿道路PA或PB運送到矩形田地ABCD中去.已知PA=100米，PB=150米，∠APB=60°，BC=60m.問能否在田地中確定一條界線，使位于界線一側的點沿道路PA送肥較近，而另一側的點則沿PB送肥較近？如果能，請說出這條界線是一條什么曲線，并求出方程.

圖7

解析由條件ABCD中的點可分為三類：第一類沿PA送肥較近；第二類沿PB送肥較近；第三類沿PA和PB送肥一樣近，即臨界點，故臨界線為第三類點的軌跡，即所求的曲線軌跡.

設M為界線上任一點，則|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.根據雙曲線的定義可知，M點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的一支，以AB所在的直線為x軸，AB中垂線為y軸，建立直角坐標系.

在△APB中，由余弦定理有：|AB|=2c=1002+1502-2×100×150cos60°=507，

所以c=257，a=25，所以b2=7×252-252=3750，故所求軌跡方程為x2625-y23750=1（25≤x≤35）.故可以在田地中確定一條界線，界線方程是雙曲線x2625-y23750=1在矩形ABCD內的一段圓弧.

點評本題以實際問題為背景，考查雙曲線的定義的應用，側重考查同學們轉化問題的數學思想，利用所學知識解決實際問題的能力.

圖8

例7在某城市的局部地圖中如圖8所示，曲線MN為海岸線，直線l為一條南北方向的鐵路線，O為城市中心，小島A、B為海上的兩個旅游景點.今測得城市中心O與鐵路線相距15km，A在O的正東方向與O相距60km，B在O的北偏東60°方向與O相距603km，且海岸線MN上的任意點到A的距離都是到鐵路線距離的兩倍.

（1）寫出海岸線MN所在的曲線方程；

（2）能否在海岸線MN上找一處Q建一座碼頭，使游客從Q出發游覽A、B兩個景點的往返路程S最小？若能找出，試求出往返路程的最小值.

解析（1）如圖8所示，以O為坐標原點，以OA所在直線為x軸，建立直角坐標系，則A（60，0）、B（90，303），l的方程為x=15.

設曲線MN上的任意點P的坐標為（x，y），P到l的距離為d，依題意有|PA|=2d，

所以（x-60）2+y2=2（x-15），整理得：

3x2-y2=2700.

所以海岸線MN所在的曲線方程為x2900-y22700=1（x≥30，MN所在的曲線為雙曲線的右支）.

（2）由（1）知，MN所在的雙曲線實半軸a=30，半焦距c=60.設點C為雙曲線的左焦點，連BC、QC，則C（-60，0），|QC|-|QA|=2a，|QA|=|QC|-2a，

所以S=|QA|+|QB|+|AB|=|QC|+|QB|+|AB|-2a≥|BC|+|AB|-2a.

因為|BC|+|AB|-2a為定值，且B、C在MN的異側，BC與MN必有交點記為Q′，

所以能找出一處Q′，使往返的路程S最小.

又因為|BC|=（90+60）2+（303）2=

607，|AB|=（90-60）2+（303）2=60，

所以Smin=607+60-2×30=607（km）.

即能找到一處Q′，使游客從Q′出發游覽A、B兩個景點的往返路程S最小，最小值為607km.

點評本題以實際問題為背景，考查雙曲線的兩個定義，側重考查大家轉化問題的數學思想.建立坐標系是否適當是影響本題計算的關鍵，而利用|QC|-|QA|=2a來轉化|QA|+|QB|+|AB|的計算是本題的難點，也是本題的核心.

評注要想順利求解本題，除了要能夠正確地建立直角坐標系外，還應注意所求方程中的x、y有取值范圍限制，否則就容易出錯.

3利用拋物線確定最佳選址

例4某地政府為科技興市，欲將如圖5所示的一塊不規則的非農業用地規劃建成一個矩形的高科技工業園區.已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=2OA=4km，曲線段OC是以點O為頂點且開口向右的拋物線的一段，如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個頂點落在曲線段OC上，問應該如何規劃才能使矩形工業園區的用地面積S最大？并求出最大的用地面積（精確到01km2）.

圖5

解析以O為原點，OA所在直線為y軸建立如圖5所示的直角坐標系，則C點坐標為（4，2）.依題意可設拋物線方程為y2=2px（p>0）.

因為C（4，2）在拋物線上，所以22=2p·4，解之得：p=12.

故曲線段OC的方程為：y2=x（0≤x≤4）.

設P（x，x）（0≤x≤4）是曲線段OC上的任一點，則在矩形PQBN中，|PQ|=2+x，|PN|=4–x.

所以S=|PQ|·|PN|=（2+x）（4–x）=-x32-2x+4x12+8.

所以S′=-32x12-2+2x-12.

令S′=0，可得3x12+4-4x-12=0，解之得：x=49.

當x∈（0，49）時，S′>0，故此時S是x的增函數；當x∈（49，4）時，S′<0，故此時S是x的減函數.

所以當x=49時，S取得最大值，此時|PQ|=2+x=83，|PN|=4–x=329，S=83×329=25627≈95.

因為x=0時，S=8，所以Smax≈95km2.

故把工業園區規劃成長為329km、寬為83km的矩形時，工業園區的面積最大，最大面積約為95km2.

評注本題通過求導求函數的最值，運用導數法求函數的最值以及運用導數的知識解決有關的實際問題，是近年來的命題趨勢.

4利用橢圓確定最佳選址

例5如圖6所示，A村在B地正北3km處，C村與B地相距4km，且在B地的正東方向，已知公路PQ上任一點到B、C的距離之和都為8km，現要在公路旁建造一個變電房M，分別向A村、C村送電，但C村有一村辦工廠，用電須用專用線路，不得與民用混線用電，因此向C村要架兩條線路分別給村民和工廠送電，要使得所用電線最短，變電房M應建在A村的什么方位？并求出M到A村的距離.

圖6

解析因為|MB|+|MC|=8，|BC|=4<8，

所以M在以B、C為焦點的橢圓上，建立如圖6所示的直角坐標系，則A、B、C各點坐標為A（-2，3）、B（-2，0），C（2，0）.

所以M點的軌跡方程為x216+y212=1，e=ca=12，右準線l為x=a2c=8.

過M作MN⊥l于N，則|MN|=2|MC|，根據題意求|MA|+2|MC|的最小值，即為求|MA|+|MN|的最小值.

所以M（23，3），N（8，3），|AM|=23+2，即變電房M應建在A村的正東方向且距A村2（3+1）km處.

評注本題考查了橢圓的第一定義和第二定義，將求|MA|+2|MC|的最小值轉化為求|MA|+|MN|的最小值是求解本題的關鍵.

5利用雙曲線確定最佳選址

例6如圖7所示，一村民在P處有一堆肥料，現要將這堆肥料沿道路PA或PB運送到矩形田地ABCD中去.已知PA=100米，PB=150米，∠APB=60°，BC=60m.問能否在田地中確定一條界線，使位于界線一側的點沿道路PA送肥較近，而另一側的點則沿PB送肥較近？如果能，請說出這條界線是一條什么曲線，并求出方程.

圖7

解析由條件ABCD中的點可分為三類：第一類沿PA送肥較近；第二類沿PB送肥較近；第三類沿PA和PB送肥一樣近，即臨界點，故臨界線為第三類點的軌跡，即所求的曲線軌跡.

設M為界線上任一點，則|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.根據雙曲線的定義可知，M點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的一支，以AB所在的直線為x軸，AB中垂線為y軸，建立直角坐標系.

在△APB中，由余弦定理有：|AB|=2c=1002+1502-2×100×150cos60°=507，

所以c=257，a=25，所以b2=7×252-252=3750，故所求軌跡方程為x2625-y23750=1（25≤x≤35）.故可以在田地中確定一條界線，界線方程是雙曲線x2625-y23750=1在矩形ABCD內的一段圓弧.

點評本題以實際問題為背景，考查雙曲線的定義的應用，側重考查同學們轉化問題的數學思想，利用所學知識解決實際問題的能力.

圖8

例7在某城市的局部地圖中如圖8所示，曲線MN為海岸線，直線l為一條南北方向的鐵路線，O為城市中心，小島A、B為海上的兩個旅游景點.今測得城市中心O與鐵路線相距15km，A在O的正東方向與O相距60km，B在O的北偏東60°方向與O相距603km，且海岸線MN上的任意點到A的距離都是到鐵路線距離的兩倍.

（1）寫出海岸線MN所在的曲線方程；

（2）能否在海岸線MN上找一處Q建一座碼頭，使游客從Q出發游覽A、B兩個景點的往返路程S最小？若能找出，試求出往返路程的最小值.

解析（1）如圖8所示，以O為坐標原點，以OA所在直線為x軸，建立直角坐標系，則A（60，0）、B（90，303），l的方程為x=15.

設曲線MN上的任意點P的坐標為（x，y），P到l的距離為d，依題意有|PA|=2d，

所以（x-60）2+y2=2（x-15），整理得：

3x2-y2=2700.

所以海岸線MN所在的曲線方程為x2900-y22700=1（x≥30，MN所在的曲線為雙曲線的右支）.

（2）由（1）知，MN所在的雙曲線實半軸a=30，半焦距c=60.設點C為雙曲線的左焦點，連BC、QC，則C（-60，0），|QC|-|QA|=2a，|QA|=|QC|-2a，

所以S=|QA|+|QB|+|AB|=|QC|+|QB|+|AB|-2a≥|BC|+|AB|-2a.

因為|BC|+|AB|-2a為定值，且B、C在MN的異側，BC與MN必有交點記為Q′，

所以能找出一處Q′，使往返的路程S最小.

又因為|BC|=（90+60）2+（303）2=

607，|AB|=（90-60）2+（303）2=60，

所以Smin=607+60-2×30=607（km）.

即能找到一處Q′，使游客從Q′出發游覽A、B兩個景點的往返路程S最小，最小值為607km.

點評本題以實際問題為背景，考查雙曲線的兩個定義，側重考查大家轉化問題的數學思想.建立坐標系是否適當是影響本題計算的關鍵，而利用|QC|-|QA|=2a來轉化|QA|+|QB|+|AB|的計算是本題的難點，也是本題的核心.