利用導數探究f（x）是否穿過x軸單調的策略

武增明

在高中數學中，有一類函數問題需要利用導數方法探究函數f（x）在區間D上是否穿過x軸單調遞增或單調遞減.對此類問題，許多學生找不到突破口，甚至束手無策.以下結合實例探討判斷函數f（x）在區間D上是否穿過x軸單調遞增或單調遞減的策略.

1判斷函數f（x）的值的符號

例1已知a∈R，關于x的方程xx2+x+2=a最多有（）個實數解.

A.1B.2C.3D.4

解析原題可轉化為函數f（x）=xx2+x+2與y=a的交點問題.對函數f（x）=xx2+x+2求導后得f′（x）=2-x2（x2+x+2）2，由此可得，f（x）在（-∞，-2]，[2，+∞）上單調遞減，f（x）在[-2，2]上單調遞增.

下面我們要關心的問題是，f（x）在（-∞，-2]，[2，+∞）上單調遞減是穿過x軸單調遞減嗎？

圖1

因為x取一切實數，x2+x+2>0

恒成立，所以x∈（-∞，-2]時，

f（x）<0；x∈[2，+∞）時，f（x）>0，

故f（x）在（-∞，-2]，[2，+∞）上

都不是穿過x軸的單調遞減，其模擬圖象如圖1，

于是直線y=a與函數y=f（x）最多有2個不同的交點，故選B.

評注此題用極限思想也可以判斷函數f（x）在單調區間（-∞，-2]，[2，+∞）上的圖象的走向.

2判斷函數f（x）的值的符號與極限思想并用

例2已知關于x的方程lnxx=a有且只有一個實數根，求實數a的取值范圍.

解析原題可轉化為函數f（x）=lnxx與y=a的交點問題.因為f′（x）=1-lnxx2，注意到定義域是（0，+∞），所以由此可得，f（x）在（0，e]上單調遞增，f（x）在[e，+∞）上單調遞減.

下面我們要關心的問題是，f（x）在（0，e]上是否是穿過x軸的單增？f（x）在[e，+∞）上是否是穿過x軸的單減？

因為f（e）=1e>0，f（1）=0，且x=0時，方程lnxx=0無實根，即函數f（x）=lnxx無意義（不存在），所以f（x）在（0，e]上是穿過x軸的單增，且x=0（y軸）是函數f（x）的圖象的一條漸近線.

圖2

因為f（e）=1e>0，在[e，+∞）上，

f（x）>0，所以f（x）在[e，+∞）上是沒有穿

過x軸的單減，且y=0（x軸）是函數f（x）在區間

[e，+∞）上的圖象的一條漸

近線，如圖2，于是由函數f（x）=lnxx的

圖象與直線y=a有且只有一個交點得

a≤0.故實數a的取值范圍是a≤0.

評注上述例1、例2是兩道典型的具有代表性的易錯題，錯因是判斷函數f（x）的圖象的變化趨勢不準確.

3極限思想

例3已知當x∈[0，+∞）時，關于x的不等式ax2-x+ln（x+1）≤0恒成立，求實數a的取值范圍.

解析設f（x）=ax2-x+ln（x+1），

f′（x）=x[2ax+（2a-1）]x+1.

若a=0，則f′（x）=-xx+1<0.

f（x）在[0，+∞）上單調遞減，

又f（0）=0，如圖3，所以a=0符合題意.

圖3圖4

若a>0，則

當1-2a2a<0a>12時，f（x）在[0，+∞）

上單調遞增，又f（0）=0，如圖4，

所以a>12不符合題意.

當1-2a2a≥00

0，1-2a2a上單調遞減；在1-2a2a，+∞上單調遞增，又f（0）=0，

這時，我們要關心的問題是，f（x）在1-2a2a，+∞上是穿過x軸遞增嗎？

因為x→+∞時，f（x）→+∞，所以0

若a<0，則f′（x）=x[2ax+（2a-1）]x+1<0.

所以f（x）在[0，+∞）上單調遞減，如圖3，又f（0）=0，故a<0符合題意.

綜上，實數a的取值范圍是a≤0.

評注當1-2a2a≥000，從而f（x）在[1-2a2a，+∞）上是穿過x軸單調遞增.

例4證明：當x∈[1，+∞）時，12x+12（x+1）>ln（1+1x）.

圖5

證明令f（x）=12x+12（x+1）-ln（1+1x）（x≥1），

因為f′（x）=-12x2（x+1）2<0，又x→+∞時，f（x）→0，

所以函數f（x）在[1，+∞）上單調遞

減，且f（x）的值無限趨近于0，故在區

間[1，+∞）上，f（x）的圖象恒在x軸上

方，即在[1，+∞）上，f（x）是沒有穿過

x軸的單調遞減，如圖5，故f（x）>0，

從而不等式12x+12（x+1）>ln（1+1x）（x≥1）成立.

4零點思想

例5已知關于x的不等式a-12ex+xex-2a<0在區間（0，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍.

解析a-12ex+xex-2a<0a-12e2x-2aex+x<0.

令f（x）=（a-12）e2x-2aex+x，

f′（x）=（2a-1）e2x-2aex+1=（ex-1）[（2a-1）ex-1].

若2a-1≤0a≤12.

此時，在區間（0，+∞）上恒有f′（x）<0，

從而f（x）在區間（0，+∞）上是減函數；要使

f（x）<0在區間（0，+∞）上恒成立，只需滿足

f（0）≤0，其模擬圖如圖6，f（0）≤0

-a-12≤0a≥-12，由此求得a的取值范

圍是-12，12.

圖6圖7

若2a-1>0a>12.

當ln12a-1≤0a≥1時，f（x）在

（0，+∞）上單增.

因為f（0）=-a-12<0，這時，

我們要關心的問題是，f（x）是穿過x軸單調遞增嗎？

因為f（ln4）=a-12e2ln4-2aeln4+ln4=8a-8+ln4>0（取x=ln2，ln3，能判定f（ln2），f（ln3）的值的符號嗎？不能！）

所以，當a≥1時，f（x）在（0，+∞）上是穿過x軸單調遞增，如圖7，于是a≥1不符合題意.

當ln12a-1>012

因為f（0）=-a-12<0，所以這時我們要關心的問題是，f（x）在ln12a-1，+∞上單增，是穿過x軸單調遞增嗎？

取a=34，則ln12a-1=ln2.

此時，取x=ln6，則

f（ln6）=34-12×e2ln6-2×34×eln6+ln6

=364-364+ln6=ln6>0（取x=ln3，ln4，ln5，能判定f（ln3），f（ln4），f（ln5）的值的符號嗎？不能！）

圖8

所以當12

上是穿過x軸單調遞增，如圖8，于是

12

綜上，實數a的取值范圍是-12，12.

評注（1）當ln12a-1>012

導數作為一種重要的解題工具，在處理高中數學的函數問題中有著不可替代的作用.但是如果考慮不周，往往會帶來致命性的錯誤！本文歸納的4種利用導數判斷函數f（x）是否穿過x軸單調遞增或單調遞減的策略，是高中數學的重點、難點，也是高考熱點，同學們應熟練掌握并能靈活運用.

令f（x）=（a-12）e2x-2aex+x，

f′（x）=（2a-1）e2x-2aex+1=（ex-1）[（2a-1）ex-1].

若2a-1≤0a≤12.

此時，在區間（0，+∞）上恒有f′（x）<0，

從而f（x）在區間（0，+∞）上是減函數；要使

f（x）<0在區間（0，+∞）上恒成立，只需滿足

f（0）≤0，其模擬圖如圖6，f（0）≤0

-a-12≤0a≥-12，由此求得a的取值范

圍是-12，12.

圖6圖7

若2a-1>0a>12.

當ln12a-1≤0a≥1時，f（x）在

（0，+∞）上單增.

因為f（0）=-a-12<0，這時，

我們要關心的問題是，f（x）是穿過x軸單調遞增嗎？

因為f（ln4）=a-12e2ln4-2aeln4+ln4=8a-8+ln4>0（取x=ln2，ln3，能判定f（ln2），f（ln3）的值的符號嗎？不能！）

所以，當a≥1時，f（x）在（0，+∞）上是穿過x軸單調遞增，如圖7，于是a≥1不符合題意.

當ln12a-1>012

因為f（0）=-a-12<0，所以這時我們要關心的問題是，f（x）在ln12a-1，+∞上單增，是穿過x軸單調遞增嗎？

取a=34，則ln12a-1=ln2.

此時，取x=ln6，則

f（ln6）=34-12×e2ln6-2×34×eln6+ln6

=364-364+ln6=ln6>0（取x=ln3，ln4，ln5，能判定f（ln3），f（ln4），f（ln5）的值的符號嗎？不能！）

圖8

所以當12

上是穿過x軸單調遞增，如圖8，于是

12

綜上，實數a的取值范圍是-12，12.

評注（1）當ln12a-1>012

導數作為一種重要的解題工具，在處理高中數學的函數問題中有著不可替代的作用.但是如果考慮不周，往往會帶來致命性的錯誤！本文歸納的4種利用導數判斷函數f（x）是否穿過x軸單調遞增或單調遞減的策略，是高中數學的重點、難點，也是高考熱點，同學們應熟練掌握并能靈活運用.

令f（x）=（a-12）e2x-2aex+x，

f′（x）=（2a-1）e2x-2aex+1=（ex-1）[（2a-1）ex-1].

若2a-1≤0a≤12.

此時，在區間（0，+∞）上恒有f′（x）<0，

從而f（x）在區間（0，+∞）上是減函數；要使

f（x）<0在區間（0，+∞）上恒成立，只需滿足

f（0）≤0，其模擬圖如圖6，f（0）≤0

-a-12≤0a≥-12，由此求得a的取值范

圍是-12，12.

圖6圖7

若2a-1>0a>12.

當ln12a-1≤0a≥1時，f（x）在

（0，+∞）上單增.

因為f（0）=-a-12<0，這時，

我們要關心的問題是，f（x）是穿過x軸單調遞增嗎？

因為f（ln4）=a-12e2ln4-2aeln4+ln4=8a-8+ln4>0（取x=ln2，ln3，能判定f（ln2），f（ln3）的值的符號嗎？不能！）

所以，當a≥1時，f（x）在（0，+∞）上是穿過x軸單調遞增，如圖7，于是a≥1不符合題意.

當ln12a-1>012

因為f（0）=-a-12<0，所以這時我們要關心的問題是，f（x）在ln12a-1，+∞上單增，是穿過x軸單調遞增嗎？

取a=34，則ln12a-1=ln2.

此時，取x=ln6，則

f（ln6）=34-12×e2ln6-2×34×eln6+ln6

=364-364+ln6=ln6>0（取x=ln3，ln4，ln5，能判定f（ln3），f（ln4），f（ln5）的值的符號嗎？不能！）

圖8

所以當12

上是穿過x軸單調遞增，如圖8，于是

12

綜上，實數a的取值范圍是-12，12.

評注（1）當ln12a-1>012

導數作為一種重要的解題工具，在處理高中數學的函數問題中有著不可替代的作用.但是如果考慮不周，往往會帶來致命性的錯誤！本文歸納的4種利用導數判斷函數f（x）是否穿過x軸單調遞增或單調遞減的策略，是高中數學的重點、難點，也是高考熱點，同學們應熟練掌握并能靈活運用.