對一道高考題解答的再思考

石菁

2014年廣東省高考數學（文、理）第20題，通過對橢圓切線的考查，既立足了通性通法，又關注了高考熱點，給了不同水平層次的考生以不同的發揮空間.以下是筆者針對本題給出的幾種不同解法，以求拋磚引玉.

題目已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個焦點為（5，0），離心率為53.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若動點P（x0，y0）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

解析（1）直接依題意得c=5，e=ca=53，所以a=3，b2=a2-c2=4，求得橢圓C的標準方程為x29+y24=1.

（2）法一（切線設為點斜式）當過點P的兩條切線l1，l2的斜率均存在且不為0時，設l1，l2的斜率分別為k1，k2，設切線方程為y-y0=k（x-x0），

聯立x29+y24=1，

y-y0=k（x-x0），得（4+9k2）x2+18k（y0-kx0）x+9（y0-kx0）2-36=0，

所以Δ=（18k）2（y0-kx0）2-4（4+9k2）[9（y0-kx0）2-36]=0，

整理得（y0-kx0）2=4+9k2，即（x20-9）k2-2x0y0k+y20-4=0.（*）

因為l1⊥l2，所以k1k2=y20-4x20-9=-1，整理得x20+y20=13；

當過點P的兩條切線l1，l2一條斜率不存在，一條斜率為0時，P為（3，±2）或（-3，±2），均滿足x20+y20=13.

綜上所述，點P的軌跡方程為x2+y2=13.

（2）法二（切線設為斜截式）當過點P的兩條切線l1，l2的斜率均存在且不為0時，不妨設其中一條切線方程為y=kx+m，

聯立x29+y24=1

y=kx+m，得（4+9k2）x2+18kmx+9m2-36=0，由Δ=（18k）2m2-4（4+9k2）（9m2-36）=0得m=±9k2+4.所以橢圓互相垂直的兩條切線方程就可寫為：

y=kx±9k2+4.①

y=-1kx±9k2+4.②

由①得y-kx=±9k2+4.③

由②得ky+x=±9+4k2.④

③2+④2得x2+y2=13.

當過點P的兩條切線l1，l2一條斜率不存在，一條斜率為0時，P為（3，±2）或（-3，±2），均滿足x2+y2=13.

綜上所述，點P的軌跡方程為x2+y2=13.

（2）法三（切線設為參數式）設過點P的兩條互相垂直的切線l1，l2的參數方程分別為：

l1：x=x0+tcosθ，

y=y0+tsinθ.

l2：x=x0+tcos（θ+π2），

y=y0+tsin（θ+π2）.

將l1與x29+y24=1聯立，消掉x，y后得到關于t的一元二次方程：（5sin2θ+4）t2+（8x0cosθ+18y0sinθ）t+4x20+9y20-36=0，由其Δ1=0可得：

（4x0cosθ+9y0sinθ）2-（5sin2θ+4）（4x20+9y20-36）=0.⑤，

同理將l2與x29+y24=1聯立后，由消掉x，y后得到關于t的一元二次方程的Δ2=0為：

（-4x0sinθ+9y0cosθ）2-（5cos2θ+4）（4x20+9y20-36）=0.⑥

⑤+⑥后化簡可得：x20+y20=13，即點P的軌跡方程為x2+y2=13.

（2）法四（幾何法）此法解題需要兩個結論：

結論一（橢圓的光學性質）：自橢圓的一焦點射出的光線碰到橢圓上一點反射后的光線必通過另一焦點.（證明略）

結論二：對于橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），如果P（x0，y0）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，則必有PO2=a2+b2（O為坐標原點）.

如圖，可以用結論一證明結論二.具體證明如下：作F1關于切線PA的對稱點M，作F2關于切線PB的對稱點N，由定義及結論一知MF2=NF1=2a，所以△PMF2≌△PNF1，從而可知∠MPF2=∠NPF1=∠APB=π2.進而PF12+PF22=PF12+PN2=PM2+PF22=4a2.又在△PF1F2中，由中線計算公式（可補形為平行四邊形證明）知，PO2+c2=12（PF12+PF22）=2a2，所以PO2=a2+b2.

則對于本題的解答就可以套用此結論得到：點P的軌跡方程為x2+y2=13.

（2）法五（伸縮變換為圓）因為橢圓伸縮變換為圓后與直線相切的關系不會改變，所以只需令X=x3，Y=y2，橢圓方程x29+y24=1就轉化為X2+Y2=1了；直線可參照法一設法，再利用圓心到切線的距離等于半徑，就可以得到法一（*）的表達式，剩余解答同法一即可.

2014年廣東省高考數學（文、理）第20題，通過對橢圓切線的考查，既立足了通性通法，又關注了高考熱點，給了不同水平層次的考生以不同的發揮空間.以下是筆者針對本題給出的幾種不同解法，以求拋磚引玉.

題目已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個焦點為（5，0），離心率為53.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若動點P（x0，y0）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

解析（1）直接依題意得c=5，e=ca=53，所以a=3，b2=a2-c2=4，求得橢圓C的標準方程為x29+y24=1.

（2）法一（切線設為點斜式）當過點P的兩條切線l1，l2的斜率均存在且不為0時，設l1，l2的斜率分別為k1，k2，設切線方程為y-y0=k（x-x0），

聯立x29+y24=1，

y-y0=k（x-x0），得（4+9k2）x2+18k（y0-kx0）x+9（y0-kx0）2-36=0，

所以Δ=（18k）2（y0-kx0）2-4（4+9k2）[9（y0-kx0）2-36]=0，

整理得（y0-kx0）2=4+9k2，即（x20-9）k2-2x0y0k+y20-4=0.（*）

因為l1⊥l2，所以k1k2=y20-4x20-9=-1，整理得x20+y20=13；

當過點P的兩條切線l1，l2一條斜率不存在，一條斜率為0時，P為（3，±2）或（-3，±2），均滿足x20+y20=13.

綜上所述，點P的軌跡方程為x2+y2=13.

（2）法二（切線設為斜截式）當過點P的兩條切線l1，l2的斜率均存在且不為0時，不妨設其中一條切線方程為y=kx+m，

聯立x29+y24=1

y=kx+m，得（4+9k2）x2+18kmx+9m2-36=0，由Δ=（18k）2m2-4（4+9k2）（9m2-36）=0得m=±9k2+4.所以橢圓互相垂直的兩條切線方程就可寫為：

y=kx±9k2+4.①

y=-1kx±9k2+4.②

由①得y-kx=±9k2+4.③

由②得ky+x=±9+4k2.④

③2+④2得x2+y2=13.

當過點P的兩條切線l1，l2一條斜率不存在，一條斜率為0時，P為（3，±2）或（-3，±2），均滿足x2+y2=13.

綜上所述，點P的軌跡方程為x2+y2=13.

（2）法三（切線設為參數式）設過點P的兩條互相垂直的切線l1，l2的參數方程分別為：

l1：x=x0+tcosθ，

y=y0+tsinθ.

l2：x=x0+tcos（θ+π2），

y=y0+tsin（θ+π2）.

將l1與x29+y24=1聯立，消掉x，y后得到關于t的一元二次方程：（5sin2θ+4）t2+（8x0cosθ+18y0sinθ）t+4x20+9y20-36=0，由其Δ1=0可得：

（4x0cosθ+9y0sinθ）2-（5sin2θ+4）（4x20+9y20-36）=0.⑤，

同理將l2與x29+y24=1聯立后，由消掉x，y后得到關于t的一元二次方程的Δ2=0為：

（-4x0sinθ+9y0cosθ）2-（5cos2θ+4）（4x20+9y20-36）=0.⑥

⑤+⑥后化簡可得：x20+y20=13，即點P的軌跡方程為x2+y2=13.

（2）法四（幾何法）此法解題需要兩個結論：

結論一（橢圓的光學性質）：自橢圓的一焦點射出的光線碰到橢圓上一點反射后的光線必通過另一焦點.（證明略）

結論二：對于橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），如果P（x0，y0）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，則必有PO2=a2+b2（O為坐標原點）.

如圖，可以用結論一證明結論二.具體證明如下：作F1關于切線PA的對稱點M，作F2關于切線PB的對稱點N，由定義及結論一知MF2=NF1=2a，所以△PMF2≌△PNF1，從而可知∠MPF2=∠NPF1=∠APB=π2.進而PF12+PF22=PF12+PN2=PM2+PF22=4a2.又在△PF1F2中，由中線計算公式（可補形為平行四邊形證明）知，PO2+c2=12（PF12+PF22）=2a2，所以PO2=a2+b2.

則對于本題的解答就可以套用此結論得到：點P的軌跡方程為x2+y2=13.

（2）法五（伸縮變換為圓）因為橢圓伸縮變換為圓后與直線相切的關系不會改變，所以只需令X=x3，Y=y2，橢圓方程x29+y24=1就轉化為X2+Y2=1了；直線可參照法一設法，再利用圓心到切線的距離等于半徑，就可以得到法一（*）的表達式，剩余解答同法一即可.

2014年廣東省高考數學（文、理）第20題，通過對橢圓切線的考查，既立足了通性通法，又關注了高考熱點，給了不同水平層次的考生以不同的發揮空間.以下是筆者針對本題給出的幾種不同解法，以求拋磚引玉.

題目已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個焦點為（5，0），離心率為53.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若動點P（x0，y0）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

解析（1）直接依題意得c=5，e=ca=53，所以a=3，b2=a2-c2=4，求得橢圓C的標準方程為x29+y24=1.

（2）法一（切線設為點斜式）當過點P的兩條切線l1，l2的斜率均存在且不為0時，設l1，l2的斜率分別為k1，k2，設切線方程為y-y0=k（x-x0），

聯立x29+y24=1，

y-y0=k（x-x0），得（4+9k2）x2+18k（y0-kx0）x+9（y0-kx0）2-36=0，

所以Δ=（18k）2（y0-kx0）2-4（4+9k2）[9（y0-kx0）2-36]=0，

整理得（y0-kx0）2=4+9k2，即（x20-9）k2-2x0y0k+y20-4=0.（*）

因為l1⊥l2，所以k1k2=y20-4x20-9=-1，整理得x20+y20=13；

當過點P的兩條切線l1，l2一條斜率不存在，一條斜率為0時，P為（3，±2）或（-3，±2），均滿足x20+y20=13.

綜上所述，點P的軌跡方程為x2+y2=13.

（2）法二（切線設為斜截式）當過點P的兩條切線l1，l2的斜率均存在且不為0時，不妨設其中一條切線方程為y=kx+m，

聯立x29+y24=1

y=kx+m，得（4+9k2）x2+18kmx+9m2-36=0，由Δ=（18k）2m2-4（4+9k2）（9m2-36）=0得m=±9k2+4.所以橢圓互相垂直的兩條切線方程就可寫為：

y=kx±9k2+4.①

y=-1kx±9k2+4.②

由①得y-kx=±9k2+4.③

由②得ky+x=±9+4k2.④

③2+④2得x2+y2=13.

當過點P的兩條切線l1，l2一條斜率不存在，一條斜率為0時，P為（3，±2）或（-3，±2），均滿足x2+y2=13.

綜上所述，點P的軌跡方程為x2+y2=13.

（2）法三（切線設為參數式）設過點P的兩條互相垂直的切線l1，l2的參數方程分別為：

l1：x=x0+tcosθ，

y=y0+tsinθ.

l2：x=x0+tcos（θ+π2），

y=y0+tsin（θ+π2）.

將l1與x29+y24=1聯立，消掉x，y后得到關于t的一元二次方程：（5sin2θ+4）t2+（8x0cosθ+18y0sinθ）t+4x20+9y20-36=0，由其Δ1=0可得：

（4x0cosθ+9y0sinθ）2-（5sin2θ+4）（4x20+9y20-36）=0.⑤，

同理將l2與x29+y24=1聯立后，由消掉x，y后得到關于t的一元二次方程的Δ2=0為：

（-4x0sinθ+9y0cosθ）2-（5cos2θ+4）（4x20+9y20-36）=0.⑥

⑤+⑥后化簡可得：x20+y20=13，即點P的軌跡方程為x2+y2=13.

（2）法四（幾何法）此法解題需要兩個結論：

結論一（橢圓的光學性質）：自橢圓的一焦點射出的光線碰到橢圓上一點反射后的光線必通過另一焦點.（證明略）

結論二：對于橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），如果P（x0，y0）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，則必有PO2=a2+b2（O為坐標原點）.

如圖，可以用結論一證明結論二.具體證明如下：作F1關于切線PA的對稱點M，作F2關于切線PB的對稱點N，由定義及結論一知MF2=NF1=2a，所以△PMF2≌△PNF1，從而可知∠MPF2=∠NPF1=∠APB=π2.進而PF12+PF22=PF12+PN2=PM2+PF22=4a2.又在△PF1F2中，由中線計算公式（可補形為平行四邊形證明）知，PO2+c2=12（PF12+PF22）=2a2，所以PO2=a2+b2.

則對于本題的解答就可以套用此結論得到：點P的軌跡方程為x2+y2=13.

（2）法五（伸縮變換為圓）因為橢圓伸縮變換為圓后與直線相切的關系不會改變，所以只需令X=x3，Y=y2，橢圓方程x29+y24=1就轉化為X2+Y2=1了；直線可參照法一設法，再利用圓心到切線的距離等于半徑，就可以得到法一（*）的表達式，剩余解答同法一即可.