“Wf＝－μmgl”全程等效意義及應用

帥厚梅 李慶國

（江蘇省揚州市新華中學，江蘇 揚州 225009）

在對物理過程的分析過程中，我們可以總結出一些結論或規律，這些結論或規律具有一定的普遍性和靈活應用性，若將其應用到相關問題中，可以使解題更為方便、快捷.下面筆者就對“Wf＝-μmgl”這一結論進行分析討論，呈現其等效意義及在解題中的應用.

1 對Wf＝－μmgl的證明

圖1

如圖1所示，一個質量為m的物體沿斜面滑下，并緊接著在水平面上滑行一段距離，測得初末位置間的水平位移為l，斜面與水平面對物體的動摩擦因數相同都為μ，重力加速度為g，不考慮物體滑至斜面底端的碰撞作用，可以證明這一運動過程中滑動摩擦力所做的功為Wf＝-μmgl.

圖2

證明：如圖2所示，設斜面的夾角為α，斜面的長度為s，物體沿斜面運動所對應的水平位移為l1，物體沿水平面運動的位移為l2.物體沿斜面運動的過程中所受滑動摩擦力f1的大小為f1＝μN1＝μmgcosα，f1做的功W1為W1＝-f1s＝-μmgscosα＝-μmgl1.物體沿水平面運動的過程中所受滑動摩擦力f2的大小為f2＝μN2＝μmg，f2做的功W2為W2＝-f2l2＝-μmgl2.整個過程中，滑動摩擦力做的總功為W＝W1＋W2＝-μmg（l1＋l2）＝-μmgl.

2 對Wf＝－μmgl的理解

（1）成立條件：物體在垂直接觸面上只受支持力和重力（或重力垂直于接觸面的分力），若物體在平行于接觸面方向上除摩擦力外還受其他力，結論仍然成立.

（2）l的含義：起點與終點的水平距離，不是物體通過的路程.即滑動摩擦力所做的功與斜面的傾角無關，而與整個運動過程中所對應水平位移有關.

（3）μmg的含義：不是物體在斜面上運動時滑動摩擦力的大小，因為物體在斜面上運動時滑動摩擦力為μmgcosα，并且當傾角變化時摩擦力也會隨之變化.μmg可以看作是物體在水平面上運動時滑動摩擦力的大小.

圖3

（4）等效：物體在全程中滑動摩擦力所做的功，從效果上看，相當于物體在長為l的水平面上運動過程中滑動摩擦力所做的功.即可以將圖2全程中滑動摩擦力所做的功等效成物體在水平面上運動相同水平位移時滑動摩擦力所做的功，如圖3所示.只要全程所對應的水平位移相同，則全程滑動摩擦力所做的功相同.

3 對Wf＝－μmgl的應用

下面筆者通過幾道典型例題來對Wf＝-μmgl這一結論進行具體應用.

圖4

例1.如圖4所示，OD是一水平面，AE為一斜面，一質點由A點靜止釋放，沿斜面AE滑下，最后停在D點，不考慮物體滑至斜面底端的碰撞作用，若斜面改為AC（僅傾角變化），仍從A點由靜止釋放，則最終停在水平面OD上的（設物體與斜面間的動摩擦因數處處相等）

（A）D點右側. （B）D點左側.

（C）D點. （D）無法確定.

解析：若用動能定理求解，則沿兩種斜面運動過程中重力所做的功相同，關鍵是求滑動摩擦力所做的功.斜面傾角發生變化、斜面上的滑動摩擦力發生變化、斜面長度發生變化、水平面長度發生變化.既有斜面上的運動，又有水平面上的運動，還得分段寫方程，需要設定的未知量比較多，這些令許多學生“望而生畏”.若利用Wf＝-μmgl這一結論，求全程滑動摩擦力所做的功相當于求物體在OD水平面上運動相同水平位移時滑動摩擦力所做的功，則可使解題思路變得較為簡單、清晰.

設A點的豎直高度為h，質點從斜面AE由靜止滑下停在D點，所對應的水平位移為l1，則根據動能定理和Wf＝-μmgl這一結論可得mgh-μmgl1＝0-0（A點和D點的速度為0，即初末位置的動能為0）.若質點從斜面AC由靜止滑下至最終停下來，設所對應的水平位移為l2，則有mgh-μmgl1＝0-0.比較兩個方程可知l1＝l2，即質點最終仍然停在水平面上的D點，正確選項為（C）.

變式：如圖4所示，物體以初速度v0，從D點出發沿DEA滑到頂點A點時速度恰好為0.若斜面改為AC，讓該物體從D點出發沿DCA滑到頂點A點時速度也恰好為0，則物體具有的初速度為（設物體與路面間的動摩擦因數處處相等且不為0）

（A）大于v0. （B）等于v0.

（C）小于v0. （D）取決于斜面的傾角.

解析：變式與例1是類似的，若利用Wf＝-μmgl這一結論可以簡化解題過程，提高解題效率.設A點的豎直高度為h，物體從D點出發沿DEA滑到頂點A，所對應的水平位移為l，則根據動能定理和Wf＝-μmgl這一結論可得-mgh-μmgl＝0-.若物體從D點出發沿DCA滑到頂點A，其所對應的水平位移仍為l，設初速度為v，則有-mgh-μmgl＝0-比較兩個方程式可知v＝v0，正確選項為（B）.

圖5

例2.水上滑梯可簡化成如圖5所示的模型：傾角為θ＝37°斜滑道AE和水平滑道EC平滑連接，起點A距水面的高度H＝7.0m，EC長d＝2.0m，端點C距水面的高度h＝1.0m.一質量m＝50kg的運動員從滑道起點A點無初速地自由滑下，運動員與AE、EC間的動摩擦因數均為μ＝0.10.（取重力加速度g＝10m／s2，cos37°＝0.8，sin37°＝0.6，運動員在運動過程中可視為質點）.

（1）求運動員沿AE下滑時加速度的大小a；

（2）求運動員從A滑到C的過程中克服摩擦力所做的功W和到達C點時速度的大小v；

（3）保持水平滑道端點在同一豎直線上，調節水平滑道高度h和長度d到圖中E'C'位置時，運動員從滑梯平拋到水面的水平位移最大，求此時滑道E'C'距水面的高度h'.

解析：（1）a＝gsinθ-μgcosθ＝5.2m／s2.

對于第（2）問，用常規方法需要分段求摩擦力所做的功，列式過程比較麻煩，而根據Wf＝-μmgl這一結論可知，運動員從A滑到C的過程中克服摩擦力所做的功W為W＝μmg（＋d） ＝500J，一個方程即可解決問題.再根據動能定理有mg（H-h）-W＝mv2-0，可得v＝10m／s.

對于第（3）問，要表示出運動員從滑梯平拋到水面的水平位移，則必須先表示出運動員到達C點的速度.根據教學經驗，多數學生都能想到用動能定理求到達C點的速度，但就是對求“保持水平滑道端點在同一豎直線上，調節水平滑道高度h和長度d”這一過程中滑動摩擦力所做的功感到“束手無策”，因為學生感到這一變化過程得分段進行分析，而每一段的位移又在發生變化，表示起來比較麻煩，從而導致此問求不出來.若利用Wf＝-μmgl這一結論，滑動摩擦力所做的功只與水平位移有關，由題目中“保持水平滑道端點在同一豎直線上”可知，調節水平滑道高度h和長度d并不影響運動員在整個滑道上所對應的水平位移，因此在整個滑道上運動過程中克服摩擦力所做的功仍為第（2）問所求的W.則根據動能定理可以求出C點的速度為

圖6

例3.如圖6所示，一個滑雪運動員從左側斜坡距離坡底豎直高度H1＝8m的高處由靜止自由滑下，以坡底為零勢能參考面，當下滑到距離坡底h1高處時，運動員的動能和勢能恰好相等，到坡底后運動員又靠慣性沖上右側斜坡，當上滑到距離坡底h2高處時，運動員的動能和勢能再次相等，最后上滑的最大高度H2＝4m，全程運動員通過的水平距離為l＝20m，運動員與斜坡間的動摩擦因數處處相等，不計經過坡底時的機械能損失.在此過程中，下列說法正確的是

（A）h1＜4m，h2＞2m.

（B）滑雪板與雪面的動摩擦因數為0.2.

（C）滑雪運動員到達右側最高處后可能不再返回.

（D）滑雪運動員從右側返回再次沖上左側斜坡的最大高度為2m.

解析：本題正確選項為（A）、（B），可以證明滑雪運動員到達右側最高處后能夠返回，這里重點討論（B）、（D）兩個選項.運動員從左側斜坡由靜止下滑運動至右側斜坡的最大高度處，這一過程中，根據動能定理和Wf＝-μmgl這一結論即可得mg（H1-H2）-μmgl＝0-0.由此得μ＝代入數據得μ＝0.2，因此（B）選項正確.

考慮到Wf＝-μmgl這一結論，全程中滑動摩擦力所做的功可等效成物體在水平面上運動相同水平位移時滑動摩擦力所做的功.因此，如圖7所示，運動員從A處（H＝8m處）無論沿傾角多大的斜面滑下，都能上滑到E處（H＝4m處）且速度為0.即此運動員可以沿著如圖7所示的ACE、ADE、AEE等不同路徑運動，重力和滑動摩擦力所做的功都相同.假設運動員沿著不同的路徑返回到達左側斜坡H3＝2m高處（如圖中粗虛線所示高度），重力所做的功相同，而運動所對應的水平位移并不相同，即這一返回過程中滑動摩擦力所做的功并不相同，根據動能定理可知，運動員到達左側斜坡H3＝2m高處的速度并不相同，即滑雪運動員從右側返回再次沖上左側斜坡的最大高度并不一定為2m（若α＞θ則到達不了2m高度，若α＜θ能到達2m高度以上，若α＝θ剛好到達2m高度）.因此（D）選項不正確.若不用Wf＝-μmgl這一結論，則很難通過列方程來判斷（D）選項的正誤.

在高中物理中經常會出現涉及斜面與平面相結合的題目，而且往往會涉及到滑動摩擦力做功，如果教師在教學過程中能夠引導學生靈活運用Wf＝-μmgl這一結論，無疑可以拓寬學生的解題思路，簡化解題過程，提高解題速度，從而提高學生的物理成績.

其實，只要在平時教學過程中多思考、多分析、多總結，就會發現有許多像“Wf＝-μmgl”這一類書本上沒有但又很實用的結論，例如，“平拋運動速度的反向延長線與水平位移的交點為水平位移的中點”、“不計重力帶電粒子沿著半徑方向射入圓形磁場必沿著半徑方向射出圓形磁場”等等.充分、靈活應用這些結論，可以提高教師的教學效率及學生的學習效率，使“教與學”達到“事半功倍”的效果.