例談放縮法證明不等式

李衛東

摘 要：放縮法證明不等式在歷年高考數學中是永恒的話題，放縮法的考查已經逐漸形成了廣東高考理科數學考試的熱點，它同時也是難點。放縮法它著重考查學生的觀察聯想能力，式子變形能力，邏輯思維能力，分析問題和解決問題能力，它對學生的能力要求較高。

關鍵詞：放縮法 證明 不等式

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）02（b）-0000-00

廣東省2009-2013年連續五年高考理科數學有四年（2009年第20題（2），2011年第20題（2），2012年第19題（Ⅲ），2013年第19題（Ⅲ））考查了數列與不等式的綜合應用問題，并且都在第二問考到了放縮法，由此可見放縮法的考查已經逐漸形成了廣東高考理科數學考查的熱點，它同時也是難點。放縮法它著重考查學生的觀察聯想能力，式子變形能力，邏輯思維能力，分析問題和解決問題能力，它對學生的能力要求較高。

1 放縮法簡介

在一些需要利用不等式的數學問題中，我們常常要把某些項“放大”或“縮小”，“增加”某些項或“舍棄”某些項，利用不等式的傳遞性，用較大的項（或較小的項）來代替原來的項，使解題過程簡化，達到所要求的結果，這種變化就叫放縮變化。

放縮法的基本原理是：構造數B，使得A>B，且B>C A>C。放縮法的關鍵是：正確、恰當地找到“中介數”B。

2 放縮法常用的技巧有

（1）放大或縮小分子或分母進行放縮。（2）舍掉或加進一些代數項放縮。（3）運用基本不等式或絕對值不等式進行放縮。（4）利用函數的性質，如單調性，有界性等進行放縮。（5）利用題目本身所給的條件或已經證明的結論進行放縮。

3 例談放縮法的技巧應用

從上述四道廣東高考理科數學試題所處的位置與試題的難易程度來看，學生要想在高考規定的時間內順利地“攻城拔寨”，是有一定難度的。很多學生對不等式的證明，尤其是用放縮法證明不等式心存恐懼，一看題便覺得無從下手。接下來，我結合近幾年相關的廣東高考試題，談談自己在“放縮法證明不等式”教學中的一些做法，與大家交流。

3.1 放大或縮小分子或分母進行放縮

例1.（2013年廣東卷/理第19題（Ⅲ））求證：112 +122 +132 +…+1n2<74。

（方法一）分析：當n≥3時，1n2<1（n-1）n =1n-1 - 1n ，

∴不等式左邊<1+ 14 +（12 - 13）+…+（1n-1 - 1n）= 74 - 1n<74 ，從而得證。

（方法二）分析：當n≥2時，1n2 <1n2-1 = 1（n-1）（n+1） = 12（1n-1 - 1n+1），

∴不等式左邊 < 1+ 12（11 - 13）+ 12（12 - 14）+…+12（1n-1 - 1n+1）=1+ 12 + 14 - 12（1n +1n+1）< 74 。

（方法三）分析：當n≥2時，1n2 <1n2-14 = 1（n-12）（n+12） = 1n-12 - 1n+12 ，

∴不等式左邊<1+（12- 12 - 12+ 12）+（13- 12 - 13+ 12）+…+（1n- 12 - 1n+ 12）= 53 - 1n+ 12 < 53< 74 。

反思：（1）此題通過三種方法縮小分母n2實現分式放大：n2>（n-1）n；n2>（n-1）（n+1）；n2>（n-12）（n+12）。（2）對式子放縮的途徑很多，但并不是任意放縮都可以證明不等式，而應該放縮得“恰如其分”，實現精細放縮，同時也需要學生有創新精神。（3）有時為了證明所需結論，并不需要每項都放縮。例如本題的三種方法，如果每項都放大，就不能達到證題的目的。至于如何放縮，哪些項不需要放縮，這就需要學生敏銳的觀察能力去判斷了。當然也需要學生多次嘗試，才能尋找到正確的放縮途徑。（4）放縮的目的是為了能夠實現裂項相消求和，從而證明不等式，即裂項放縮法是探求解題思路常用的一條途徑。

3.2 舍掉或加進一些代數項進行放縮

例2.（2012年廣東卷/理第19題（3））已知an=3n-2n，求證：1a1 + 1a2 + 1a3 +…+ 1an < 32。

（方法一）分析：∵an=3n-2n=3n[1-（23）n]≥3n-1，∴1an≤（13）n-1，

∴不等式左邊≤（13）0+（13）1+（13）2+…+（13）n-1=32 - 32（13）n <32。

（方法二）分析：當n≥3時，an=3n-2n=（1+2）n-2n=1+C1 n2+C2 n22+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n-2n>4C2 n=2n（n-1） 1an < 12n（n-1） = 12（1n-1 - 1n），

∴不等式左邊<1+ 15 + 12 （12 - 13）+…+ 12（1n-1 - 1n）= 2920 - 12n <32。

反思：（1）方法一通過an舍去（23）n代數項縮小分母，實現分式的放大，放縮的目的為了構造等比數列求和。（2）方法二通過二項展開式（1+2）n=1+C1 n2+C2 n22+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n舍去代數項1+C1 n2+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n，實現縮小分母。（3）方法二與例1類似，放縮的目的是為了能夠實現裂項相消求和，從而證明不等式。

3.3 運用基本不等式放縮

例3.（2011年廣東卷/理第20題（2））已知b>0，且b≠2，an=nbn（2-b）2n-bn，求證：an

證明：∵b≠2，∴b2n+22n>2b2n·22n =2n+1bn，…，bn+1·2n-1+bn-1·2n+1>2b2n·22n =2n+1bn。

將以上n個式子相加，得：b2n+b2n-1·2+b2n-2·22+…+b2·22n-2+b·22n-1+22n>n2n+1bn，

∴an<[（b2n+b2n-1·2+b2n-2·22+…+b2·22n-2+b·22n-1+22n）-bn·2n]（b-2）2n+1（bn-2n）

= （b2n+b2n-1·2+b2n-2·22+…+b2·22n-2+b·22n-1+22n）（b-2）-bn·2n（b-2）2n+1（bn-2n）

= （b2n+1-bn+1·2n）+（bn·2n+1-22n+1）2n+1（bn-2n） = = bn（bn+1+2n+1）-2n（bn+1+2n+1）2n+1（bn-2n） = bn+12n+1 +1。

反思：（1）本題通過認真觀察式子的結構特征，巧妙地運用基本不等式：a+b≥2ab，（a>0，b>0）進行放縮證明不等式。（2）本題放縮的目的是為了分子能合并、抵消，從而化簡式子。

3.4 利用函數的性質，如單調性，有界性等進行放縮

例4.求證：12 + 13 + 14 +…+ 1n

分析：要證原不等式，轉證：12 + 13 + 14 +…+ 1n <[lnn-ln（n-1）]+…+[ln2-ln1]，

轉證：1n

令x=1n 構造函數f（x）=x+ln（1-x），（00，（n≥2）。由此，解題思路已經通暢。

反思：（1）本題是通過構造函數的方法，用導數法證明函數的單調性，再用函數的單調性放縮證明不等式。（2）函數的巧妙構造，需要認真觀察不等式的結構特征。

3.5 利用題目本身所給的條件或已經證明的結論進行放縮

例5.（2013年廣州市高三調研測試/理第21題（2））若函數f（x）對任意的實數x1，x2∈D，均有|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|，則稱函數f（x）是區間D上的“平緩函數”.若數列{xn}對所有的正整數n都有|xn+1-xn|≤1（2n+1）2，設yn=sinxn，求證：|yn+1-y1|<14。

證明：∵g（x）=sinx是R上的“平緩函數”，

∴|yn+1-yn|≤|xn+1-xn|≤1（2n+1）2 <14n2+4n = 14（1n - 1n+1）。

∵|yn+1-y1|=|（yn+1-yn）+（yn-yn-1）+…+（y2-y1）|≤|（yn+1-yn）|+|（yn-yn-1）|+…+|（y2-y1）|，

∴|yn+1-y1|≤14[（1n - 1n+1）+（1n-1 - 1n）+…+（1-12）]=14（1- 1n+1）<14 。

反思：本題是根據題目所給的“平緩函數”定義，絕對值不等式，以及已知條件多次放縮證明不等式，它是絕對值不等式在放縮思想指導下的綜合運用。

放縮法證明不等式在歷年高考數學中是永恒的話題，但它常考常新，學生卻常考常怕。不等式的應用體現了一定的綜合性，靈活多樣性。數學的基本特點是應用的廣泛性、理論的抽象性和邏輯的嚴謹性，而不等關系是深刻體現數學的基本特點。盡管如此，只要我們深入去探索，總有方法規律可循，總會有“撥得云開見日出”的時刻！

參考文獻

[1] 王海容.放縮法證明數列不等式.中學生數理化（教與學），2011（04）.