淺談洛朗定理與留數定理的關系

岳紅云 劉宏超

摘要：本文通過對洛朗定理與留數定理的比較，發現它們雖然都能進行積分計算，但存在復雜與簡單、直接與間接的差異，通過分析得到了如下結論，洛朗定理是留數定理進行積分計算的本質和保證，留數定理是洛朗定理進行積分計算的方便應用.

關鍵詞：洛朗定理，留數定理，積分計算

中圖分類號：G642文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0000-00

一、前言

1. 洛朗定理：設 在圓環域 內處處解析，那么 ，其中 ， .特別的，令 ，計算 沿 的積分可轉化為求被積函數 的洛朗展式中 的系數 .

2. 留數定理：設函數 在區域 內除有限個孤立奇點 外處處解析， 是 內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，那么 ，其中 ， 為 在 內的洛朗展式中 的系數.

二、問題

洛朗定理是級數理論的重要內容，留數定理是積分理論的的重要內容，兩個定理都可以計算復變函數的積分，它們之間有什么關系？初學者往往對此問題感到困惑，這影響了復變函數理論的掌握，以下作者對此問題給出解答，從而讓大家對復變函數的重點內容——積分的計算有清晰明了的認識，接下來就通過一個例題來說明這兩個定理是如何進行積分計算的.

三、例題

例. 計算積分 ，其中 為正向圓周 .

解：法1. 因為被積函數的奇點有 ， ，故其在 內解析，且 在此圓環域內，所以被積函數在此圓環域內洛朗展式的 的系數 乘以 即為所求的積分值.

，

由此可見 ，故 .

法2. 因為被積函數的奇點有 ， ，將圓環域換成 ，函數仍解析， 在此圓環域內，同理可得，

，

由此可見 ，故 .

法3. 因為被積函數的奇點有 ， ，都在 內，計算

， ，

故由留數定理，可得

由此可見，利用洛朗定理進行積分的計算時，關鍵是找到被積函數解析的圓環域，這可以通過討論被積函數的奇點就不難確定，但需要找到的圓環域包含閉曲線 ，這就不是一件容易的事，初學者往往很頭疼。當然，只要找到了這樣的圓環域，就可以把函數進行洛朗展開尋找其系數 就行了；而利用留數定理進行積分的計算則需要兩步，第一步需要找到 內所有有限奇點，第二步計算留數，當然留數的計算仍需要在奇點的去心鄰域內對函數進行洛朗展開。

看起來利用洛朗定理要直接簡單，利用留數定理要繞彎，但實質上，由于尋找函數的洛朗展開的解析區域并不容易，而且不確定是那個區域合適，需要具體分析，這使得洛朗定理直接計算積分并不常用；而留數定理雖分為兩步，也需要洛朗展開求留數，但都是在奇點的去心鄰域展開的，是確定的區域，而且還可以發展延伸出更方便、快捷的計算方法，由于其有規范明確的程序化步驟可循，使得留數定理在積分的計算中易于大家掌握，從而起到了主導的地位.

四、結論

由以上兩定理可得， ，所以留數定理是將洛朗定理中 的求法簡化，細化為 內每一個孤立奇點處的留數之和，它們的實質是一致的，歸根到底，都是利用函數的洛朗展式進行積分的計算，所以洛朗定理是復變函數積分計算的基礎和出發點，洛朗定理是留數定理進行積分計算的本質和保證，而留數定理使洛朗定理進行積分計算的方便應用，沒有洛朗定理，就沒有留數定理，就沒有復變函數積分的計算，而沒有留數定理，就沒有復變函數積分的廣泛應用.

注：洛朗定理可以涵蓋柯西定理：因為函數在閉曲線內處處解析，故只能在解析點進行泰勒展開，無負冪項，即 ，故 .

參考文獻

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[2] 鐘玉泉，復變函數論，北京：高等教育出版社，1995

[3] 陸慶樂，王綿森，復變函數，北京：高等教育出版社，1996