淺談冪級數的斂散性與函數的冪級數展開

馬曉東 李淑娟

摘 要：冪級數是數學分析當中重要概念之一，在數學中，冪級數是一類形式簡單而應用廣泛的函數級數，變量可以是一個或多個.冪級數被作為基礎內容應用到了實變函數、 復變函數等眾多領域.本文就冪級數的收斂半徑 、收斂區間 、收斂域、 馬克勞林級數等內容進行淺析.

關鍵詞： 冪級數 斂散性 收斂半徑 收斂區間 收斂域 馬克勞林級數

中圖分類號：O173 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0000-00

1冪級數的概念

1.1冪級數

形如 或 的級數稱為冪級數，其中常數 叫做冪級數的系數.

1.2收斂半徑與收斂區間[1]

如果冪級數 不是僅在x=0一點收斂，也不是在整個數軸上都收斂，則必有一個完全確定的正數R存在，它具有下列性質：

當 時，冪級數 絕對收斂；

當 時，冪級數 發散；

當x=R與X=-R時，冪級數 可能收斂也可能發散.

正數R通常叫做冪級數 的收斂半徑.由冪級數在 處的收斂性決定它在區間 、 或 上收斂，這區間叫做冪級數 的收斂域，而開區間（-R，R）稱為冪級數的收斂區間.

如果 僅在X=0收斂，就規定R=0，如果 對一切X都收斂，則規定R= .

1.3收斂半徑的求法

（1）對于不缺項的冪級數

定理 設冪級數 的系數有 則

①當0< < 時，有R=

②當 =0時，定義R=

③當 時，定義R=0

（2）對于缺項的冪級數，例如

令 ， ，考察 =

則當 <1時，級數收斂，此時可得知

①當 時，R= .

②當 時，R= .

③當 時，定義R=0.

2 將初等函數展開為冪級數

如果f（x）在點 的某鄰域內具有各有階導數 、 、…， …，這時稱冪級數

為函數f（x）在x= 處展開的泰勒級數.

特別地，取 得冪級數

稱為函數的馬克勞林級數。

常用的馬克勞林級數有：

1.

2.Sinx=

3.Cosx=

4.Ln（1+x）=

5.

3間接展開法

利用冪級數的基本性質與幾個常用的標準展開式，將初等函數展開為冪級數的方法，稱為間接展開法.

4冪級數的基本性質

（1）冪級數 的和函數S（x）在其收斂區間（-R，R）內為連續函數.

（2）冪級數 在其收斂區間（-R，R）內可以逐項積分，即

=

且逐項積分后所得到的冪級數的收斂半徑也是R.

（3）冪級數 在其收斂區間（-R，R）內可以逐項求導，即

（注意下標的變化）

且逐項求導后所得的冪級數的收斂半徑仍為R.

說明 如果逐項積分或逐項微分后的冪級數在x=R（或-R）處收斂，則性質2，3在x=R（或-R）處仍成立.

（4）若 的收斂區間為（ ）， 的收斂區間為（ ），則

且的收斂區間為（-R，R），其中R=min

典型例題分析[2]

4.1選擇題

（1） 冪級數 的收斂區間為（ ）A.（-1，1）B. C. D.

分析： 因為

所以 且當x= - 1時， 發散.

當x=1時， 收斂，故收斂區間為 答：C

（2）設冪級數 在x=2處收斂，則該冪級數在x=-1處必定（ ）

A. 發散 B. 條件收斂 C. 絕對收斂 D. 斂散性不能確定

分析： 由于冪級數 在其收斂區間（-R，R）內絕對收斂，在 時發散.可知，當冪級數 在x=2處收斂時，必有 . 因此 在（-2，2）內必定絕對收斂，由于x= - 1 （-2，2） ，因此可知 在x= -1處必定絕對收斂，故應選C . 答：C

（3） 下列冪級數中，收斂半徑為R=1的是（ ）

A. B. C. D.

分析： A

B

C

D

可見B為正確答案 答： B

4.2填空題

（1） 冪級數 的收斂域為

分析： 當 ，即0

又當x=0時， = 發散.

而當x=2時， = 收斂.

故收斂域為 答：

（2） 關于的冪級數展開式為 （-2

分析： = = （-2

答： （-2

4.3解答題

（1）求冪級數 的收斂半徑.

分析： ，于是 可知收斂半徑為 答：2.

（2）求 的收斂區間.

分析： 所給級數為不缺項情形， ，

=

因此， 所以冪級數的收斂區間為（-3，3） 答：（-3，3）

（3）求 的收斂半徑、收斂區間和收斂域.

分析： 于是

可知收斂半徑為R= 即當 即 時， 收斂.

當x=0時， = 發散.

當x=2時， 收斂.

故收斂區間為（0，2），收斂域為 答：1，（0，2），

（4） 把函數 展開為x-2的冪級數，并求收斂區間.

分析： =

利用函數 ，R=1，得到

，所以

（5） 求函數 的馬克勞林級數展開式.

分析：已知

= ，

答：

（6） 將函數 展開成 的冪級數.

分析： =

=

利用公式（2）與（3）以 代入得

，

，

在 處的展開式為

Sinx=

參考文獻

[1] 高霞.高等數學[M] .南開大學出版社，2010.

[2] 葉正道.高等數學[M].中國社會出版社，2005.

作者簡介：馬曉東（1964、5）女。漢。遼寧省鐵嶺市人。鐵嶺衛生職業學院。公共基礎部主任。職稱：副教授，理學學士，主要從事數學專業教學。李淑娟（1987、11）漢， 女，遼寧省北票市人，大連大學信息工程學院，應用數學專業，研究生。