淺談冪級數(shù)的斂散性與函數(shù)的冪級數(shù)展開

馬曉東 李淑娟

摘 要：冪級數(shù)是數(shù)學分析當中重要概念之一，在數(shù)學中，冪級數(shù)是一類形式簡單而應用廣泛的函數(shù)級數(shù)，變量可以是一個或多個.冪級數(shù)被作為基礎內容應用到了實變函數(shù)、 復變函數(shù)等眾多領域.本文就冪級數(shù)的收斂半徑 、收斂區(qū)間 、收斂域、 馬克勞林級數(shù)等內容進行淺析.

關鍵詞： 冪級數(shù) 斂散性 收斂半徑 收斂區(qū)間 收斂域 馬克勞林級數(shù)

中圖分類號：O173 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0000-00

1冪級數(shù)的概念

1.1冪級數(shù)

形如 或 的級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中常數(shù) 叫做冪級數(shù)的系數(shù).

1.2收斂半徑與收斂區(qū)間[1]

如果冪級數(shù) 不是僅在x=0一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個完全確定的正數(shù)R存在，它具有下列性質：

當 時，冪級數(shù) 絕對收斂；

當 時，冪級數(shù) 發(fā)散；

當x=R與X=-R時，冪級數(shù) 可能收斂也可能發(fā)散.

正數(shù)R通常叫做冪級數(shù) 的收斂半徑.由冪級數(shù)在 處的收斂性決定它在區(qū)間 、 或 上收斂，這區(qū)間叫做冪級數(shù) 的收斂域，而開區(qū)間（-R，R）稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.

如果 僅在X=0收斂，就規(guī)定R=0，如果 對一切X都收斂，則規(guī)定R= .

1.3收斂半徑的求法

（1）對于不缺項的冪級數(shù)

定理 設冪級數(shù) 的系數(shù)有 則

①當0< < 時，有R=

②當 =0時，定義R=

③當 時，定義R=0

（2）對于缺項的冪級數(shù)，例如

令 ， ，考察 =

則當 <1時，級數(shù)收斂，此時可得知

①當 時，R= .

②當 時，R= .

③當 時，定義R=0.

2 將初等函數(shù)展開為冪級數(shù)

如果f（x）在點 的某鄰域內具有各有階導數(shù) 、 、…， …，這時稱冪級數(shù)

為函數(shù)f（x）在x= 處展開的泰勒級數(shù).

特別地，取 得冪級數(shù)

稱為函數(shù)的馬克勞林級數(shù)。

常用的馬克勞林級數(shù)有：

1.

2.Sinx=

3.Cosx=

4.Ln（1+x）=

5.

3間接展開法

利用冪級數(shù)的基本性質與幾個常用的標準展開式，將初等函數(shù)展開為冪級數(shù)的方法，稱為間接展開法.

4冪級數(shù)的基本性質

（1）冪級數(shù) 的和函數(shù)S（x）在其收斂區(qū)間（-R，R）內為連續(xù)函數(shù).

（2）冪級數(shù) 在其收斂區(qū)間（-R，R）內可以逐項積分，即

=

且逐項積分后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑也是R.

（3）冪級數(shù) 在其收斂區(qū)間（-R，R）內可以逐項求導，即

（注意下標的變化）

且逐項求導后所得的冪級數(shù)的收斂半徑仍為R.

說明 如果逐項積分或逐項微分后的冪級數(shù)在x=R（或-R）處收斂，則性質2，3在x=R（或-R）處仍成立.

（4）若 的收斂區(qū)間為（ ）， 的收斂區(qū)間為（ ），則

且的收斂區(qū)間為（-R，R），其中R=min

典型例題分析[2]

4.1選擇題

（1） 冪級數(shù) 的收斂區(qū)間為（ ）A.（-1，1）B. C. D.

分析： 因為

所以 且當x= - 1時， 發(fā)散.

當x=1時， 收斂，故收斂區(qū)間為 答：C

（2）設冪級數(shù) 在x=2處收斂，則該冪級數(shù)在x=-1處必定（ ）

A. 發(fā)散 B. 條件收斂 C. 絕對收斂 D. 斂散性不能確定

分析： 由于冪級數(shù) 在其收斂區(qū)間（-R，R）內絕對收斂，在 時發(fā)散.可知，當冪級數(shù) 在x=2處收斂時，必有 . 因此 在（-2，2）內必定絕對收斂，由于x= - 1 （-2，2） ，因此可知 在x= -1處必定絕對收斂，故應選C . 答：C

（3） 下列冪級數(shù)中，收斂半徑為R=1的是（ ）

A. B. C. D.

分析： A

B

C

D

可見B為正確答案 答： B

4.2填空題

（1） 冪級數(shù) 的收斂域為

分析： 當 ，即0

又當x=0時， = 發(fā)散.

而當x=2時， = 收斂.

故收斂域為 答：

（2） 關于的冪級數(shù)展開式為 （-2

分析： = = （-2

答： （-2

4.3解答題

（1）求冪級數(shù) 的收斂半徑.

分析： ，于是 可知收斂半徑為 答：2.

（2）求 的收斂區(qū)間.

分析： 所給級數(shù)為不缺項情形， ，

=

因此， 所以冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（-3，3） 答：（-3，3）

（3）求 的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域.

分析： 于是

可知收斂半徑為R= 即當 即 時， 收斂.

當x=0時， = 發(fā)散.

當x=2時， 收斂.

故收斂區(qū)間為（0，2），收斂域為 答：1，（0，2），

（4） 把函數(shù) 展開為x-2的冪級數(shù)，并求收斂區(qū)間.

分析： =

利用函數(shù) ，R=1，得到

，所以

（5） 求函數(shù) 的馬克勞林級數(shù)展開式.

分析：已知

= ，

答：

（6） 將函數(shù) 展開成 的冪級數(shù).

分析： =

=

利用公式（2）與（3）以 代入得

，

，

在 處的展開式為

Sinx=

參考文獻

[1] 高霞.高等數(shù)學[M] .南開大學出版社，2010.

[2] 葉正道.高等數(shù)學[M].中國社會出版社，2005.

作者簡介：馬曉東（1964、5）女。漢。遼寧省鐵嶺市人。鐵嶺衛(wèi)生職業(yè)學院。公共基礎部主任。職稱：副教授，理學學士，主要從事數(shù)學專業(yè)教學。李淑娟（1987、11）漢， 女，遼寧省北票市人，大連大學信息工程學院，應用數(shù)學專業(yè)，研究生。