在解復(fù)數(shù)題中如何培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí)

宋林鋒

摘要： 復(fù)數(shù)運(yùn)算是一種復(fù)雜運(yùn)算，在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí)是一個(gè)重要課題。本文從整體處理方法、數(shù)形結(jié)合方法等六個(gè)方面舉例談了如何在活解復(fù)數(shù)題中培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí).

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù) 整體處理方法 數(shù)形結(jié)合方法 求簡(jiǎn)意識(shí)

中圖分類號(hào)：G712文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）02（b）-0000-00

復(fù)數(shù)是在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上擴(kuò)充而得到的. 這一擴(kuò)充過程體現(xiàn)了實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，同時(shí)也體現(xiàn)了人類思維的作用，從而使得數(shù)學(xué)更加光彩奪目，但復(fù)數(shù)的概念性強(qiáng)，性質(zhì)獨(dú)特，且與三角函數(shù)、幾何、多項(xiàng)式等方面想聯(lián)系，因此，在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí). 本文從以下五個(gè)方面談了如何在活解復(fù)數(shù)題中培養(yǎng)求簡(jiǎn)意識(shí).

一 在活解復(fù)數(shù)題中運(yùn)用整體處理的方法能使求解簡(jiǎn)單，從而培養(yǎng)學(xué)生的求解意識(shí). 以下四個(gè)例子用了四種方法介紹了整體處理的手段.

例1. 已知 、 是兩個(gè)復(fù)數(shù)， ， ， 是正實(shí)數(shù)，求 。

解：

又

則

此例從整體著眼，利用模與模及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，直接從整體出發(fā)來計(jì)算，若從局部出發(fā)進(jìn)行復(fù)數(shù)計(jì)算求模會(huì)造成很大的麻煩.

例2.已知 ，求 。

解：

而 ，

故

此例不是直接代入來計(jì)算，先整體化簡(jiǎn)，最后再代入計(jì)算，這樣簡(jiǎn)化效果十分明顯.

例3.已知復(fù)數(shù) 滿足 ，求 的輻角主值的取值范圍.

解：設(shè) ，則

因?yàn)?，則

故 在以 為圓心， 為半徑的圓上及內(nèi)部.

當(dāng)過原點(diǎn)的直線 與圓 相切時(shí)，由 得

即

這就是所求的 的輻角主值的取值范圍.

此例更是整體處理的精彩應(yīng)用，乍一看感到無從下手，但對(duì)所求作整體遷移，變換了視覺，使問題豁然開朗，從而使問題輕易獲解.

二 數(shù)形結(jié)合方法在簡(jiǎn)化復(fù)數(shù)計(jì)算中也有很大的優(yōu)越性.

例4.已知復(fù)數(shù)滿足 ，且 ，求 、 .

解：

、 、 在復(fù)平面上 的同一圓上

顯然點(diǎn) 在第一象限內(nèi)（如圖所示）.

又因?yàn)?對(duì)應(yīng)向量為復(fù)數(shù) ， 對(duì)應(yīng)向量所構(gòu)成平行四邊形的對(duì)角向量，所以只有

故得所求： 或

本例根據(jù)所給復(fù)數(shù)的具體條件，找出其幾何特征，從而使所求問題變得簡(jiǎn)單明了.

三 運(yùn)用輻角的運(yùn)算性質(zhì)，使有關(guān)復(fù)數(shù)求解的問題變得更加直接.

例5.設(shè)復(fù)數(shù) 的輻角主值是 ， 的輻角主值是 ，求 .

解：由輻角的性質(zhì)， 是 的輻角，

又

所以

而

進(jìn)而

故可得

四 巧用復(fù)數(shù)共軛，易得結(jié)論.

例6.設(shè) 是實(shí)系數(shù)一元二次方程 的兩個(gè)根，且知 是虛數(shù)， 是實(shí)數(shù)。求 的值.

解：由實(shí)系數(shù)方程虛根共軛成對(duì)性質(zhì)知 ，

又因?yàn)?是實(shí)數(shù) 所以 進(jìn)而

又 故

五 設(shè)而不求為計(jì)算構(gòu)筑橋梁，從而使計(jì)算簡(jiǎn)單方便.

例7.設(shè) ， ，

求 得值.

解：由 ，易得

設(shè) ，

則有 ， ，

求得

故 .

總之，在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，要多方面思考，做到不僅會(huì)算，更要少算，甚至?xí)凰悖谡w思想、數(shù)形結(jié)合思想等的指導(dǎo)下，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí).

參考文獻(xiàn)

鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)倫（第三版） . 北京：高等教育出版社，2006年.

邱金俤.復(fù)變函數(shù)教程 .北京：中國(guó)鐵道出版社，2008年.

王萼芳，高等代數(shù)（第三版）. 北京：高等教育出版社，2003年.