克萊姆法則解一般線性方程組的一個例子

孔妮娜

【摘要】 克萊姆法則是高等代數(shù)中重要的內(nèi)容，但是用克萊姆法則解線性方程組時，要求方程的個數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù). 本文對克萊姆法則進(jìn)行了推廣，對于一般的線性方程組，如果方程組有解，根據(jù)克萊姆法則，給出一個解一般線性方程組的例子.

【關(guān)鍵詞】 克萊姆法則；線性方程組；系數(shù)矩陣

含有s個方程n個未知數(shù)x1，x2，…，xn的線性方程組

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 … … … …as1x1 + as2x2 + … + asnxn=bs（1）

稱為一般的n元線性方程組.當(dāng)s = n且系數(shù)矩陣的行列式不等于零時，線性方程組（1）可以用克萊姆法則求解.根據(jù)克萊姆法則，也可以給出一般n元線性方程組（1）的一個解法，這個解法在理論上是很有用的.

設(shè)線性性方程組（1）有解，矩陣A和A 的秩都等于r，矩陣D是A 的一個不為零的r子式.不妨設(shè)D是位于A 的左上角，則A 的前r行就是一個極大線性無關(guān)組，第r + 1，…，s行都可以經(jīng)它們線性表出.因此，方程組（1）與

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 … … … …ar1x1 + ar2x2 + … + arnxn=br（2）

是同解的.

當(dāng)r = n時，由克萊姆法則，方程組（2）有唯一解，也就是方程組（1）有唯一解.

當(dāng)r < n時，將方程組（2）改寫為

a11x1 + a12x2 + … + a1rxr = b1 - a1，r+1xr+1 - … - a1nxna21x1 + a22x2 + … + a2rxr = b2 - a2，r+1xr+1 - … - a2nxn … … … …ar1x1 + ar2x2 + … + arrxr = br - ar，r+1xr+1 - … - arnxn，（3）

（3）作為x1，x2，…，xr的方程組，它的系數(shù)行列式D ≠ 0，由克萊姆法則可以解出x1，x2，…，xr：

x1 = d1′ + c1′，r+1xr+1 + … + c1n′xn… … … …x1 =dr′ + cr′，r+1xr+1 + … + c′rnxn（4）

（4）就是方程組（3）的一般解，也就是方程組（1）有一般解.下面給出一個用克萊姆法則解一般線性方程組的例子.

例 用克萊姆法則解下面的方程組.

x1 + x2 + x3 - x4 - x5 = -2，x1 + x2 + 2x4 - 3x5 = -1，2x2 + x3 - 3x4 + 2x5 = -1，2x1 + x3 + x4 - 4x5 = -3.

解 對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換

A = 1 1 1 -1 -1 -21 1 0 2 -3 -10 2 1 -3 2 -12 0 1 1 -4 -3→ 1 1 1 -1 -1 -20 0 -1 3 -2 10 2 1 -3 -2 10 -2 -1 3 -2 1→1 1 1 -1 -1 -20 1 ■ -■ 1 -■0 0 1 -3 2 -10 0 0 0 0 0.

因為r（A）=r（A）3 < 5，該方程組有無窮多解，x4，x5為自由未知量.等價方程組為：

x1 + x2 + x3 = -2 + x4 + x5，x1 + x2 = -1 - 2x4 + 3x5，2x2 + x3 = -1 + 3x4 - 2x5.

系數(shù)矩陣的行列式

D = 1 1 11 1 00 2 1 = 1 1 10 0 -10 2 1 = -1 1 10 2 10 0 -1 = 2 ≠ 0

由克萊姆法則

x1 = ■ = ■-2 + x4 + x5 1 1-1 - 2x4 + 3x5 1 0-1 + 3x4 - 2x5 2 1 =

■-2 + x4 + x5 1 1-1 - 2x4 + 3x5 1 01 + 2x4 - 3x5 1 0=-1 - 2x4 + x5.

x2 = ■ = ■1 -2 + x4 + x5 11 -1 - 2x4 + 3x5 00 -1 + 3x4 - 2x5 1 =

■1 -2 + x4 + x5 10 1 - 3x4 + 2x5 -10 1 + 2x4 - 3x5 1 = 0.

x3 = ■ = ■1 1 -2 + x4 + x51 1 -1 - 2x4 + 3x50 2 -1 + 3x4 - 2x5 =

■1 1 -2 + x4 + x50 0 1 - 3x4 + 2x50 2 -1 + 3x4 - 2x5 = -1 + 3x4 - 2x5.

所以，該方程組的一般解為：

x1 = -1 - 2x4 + x5x2 = 0x3 = -1 + 3x4 - 2x5（x4，x5為自由未知量）

【參考文獻(xiàn)】

[1]王萼芳，石生明.高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003：136-139.