非均勻Hammerstein系統的隨機梯度辨識算法

鄭恩興 張威 劉冉冉

【摘要】本文針對一類非均勻采樣數據Hammerstein非線性系統，提出一種隨機梯度算法。該算法首先基于提升技術，推導出系統的狀態空間模型，通過重新參數化，將系統模型轉化待辨識模型，并利用平均法分離出系統參數。仿真實例驗證了所提算法的有效性。

【關鍵詞】參數估計;隨機梯度;Hammerstein系統;過參數化

1.引言

在工業過程中，為了保證產品的質量和生產操作的連續平穩，需要對與品質密切相關的過程變量進行實時監視和控制。然而在實際過程中存在一大類變量無法或難以在線直接檢測，如化學反應器中反應物濃度、分餾塔產品組分濃度、產品分布等。為了解決此類變量的測量，眾多學者與專家提出利用軟測量技術對其估計與控制[1-3]。在軟測量建模中，模型的準確性與精度決定軟測量模型對變量估計的成敗。數據驅動模型是利用輸入輸出數據所提供的信息來建立過程的數學模型，這種建模方法又稱為“辨識”，由于不需要知道過程的機理知識，只利用歷史數據就可達到滿意的辨識效果，已經吸引眾多學者關注，且廣泛應用于生產實際中。非均勻采樣系統普遍存在于現實工業生產中[4]，當系統的輸入通道或輸出通道的采樣呈現不等時間間隔時就得到非均勻采樣數據系統[5，6]。針對輸入非均勻周期刷新和輸出周期采樣的非均勻采樣數據系統，文獻[7]利用遞歸最小二乘算法及遞歸廣義最小二乘算法對非均勻采樣BOX JENKINS系統進行參數估計，文獻[8]利用遞階辨識原理將高維參數向量的模型分為一組低維參數向量的子模型，利用最小二乘算法分別辨識。文獻[9]針對一類非均勻采樣多慮系統基于輔助模型方法提出一種最小二乘算法對參數進行估計。最小二乘算法雖然原理簡單，收斂速度快，但是由于要求逆矩陣，因此計算量很大，且上述算法都是針對非均勻采樣方式下線性系統的辨識。

為此，本文進一步考慮實際生產中的非線性特性，借助梯度搜索原理，推導出辨識非均勻采樣數據Hammerstein非線性系統的辨識算法，不僅計算量小，而且適于在線辨識。

2.問題描述

Hammerstein模型由一非線性增益后接一線性子系統組成，結構如圖1所示。

圖1 非均勻采樣數據Hammerstein非線性系統結構圖

系統離散采樣輸入數據u（kT+ti）經非線性模塊后輸出信號，連續時間過程模塊Pc的輸入由離散時間輸入序列經非均勻零階保持器產生，當無噪聲干擾時，Pc輸出y（t）經周期為T2的采樣器ST2得到可測輸出序y（kT+T）。

非線性模塊可表示為已知基的多項式形式，即：

（1）

其中為已知基函數，系數未知。

在周期[kT，kT+T]上，非均勻零階保持器控制輸入非均勻刷新m次，即控制系統輸入信號u非均勻刷新m次，時間間隔為，若設，為簡單起見，設t0=0，則輸入刷新時刻點為t=kT+ti，系統框架周期為，經提升技術處理后的特性為：

（2）

若圖1中的連續時間過程模塊Pc的狀態空間模型為：

（3）

式中為狀態向量，為系統輸出，為系統輸入，為系統狀態空間模型的參數矩陣。非均勻刷新的輸入數據為，周期采樣的輸出數據為y（kT），與關系如式。利用文獻[10，11]方法，以周期T離散化系統，并引入白噪聲，得：

（4）

其中z-1為單位后移因子，即，

（5）

則非均勻采樣數據Hammerstein非線性系統線性部分參數向量a，b及非線性部分參數向量c分別為：

（6）

其中：

（7）

則系統參數向量：

3.隨機梯度算法

定義模型的信息向量及參數向量分別為：

（8）

其中：

（9）

（10）

（11）

（12）

則式可寫為：

（13）

定義準則函數為：

由于式中的信息向量所含變量都是可測的，根據隨機梯度搜索原理，最小化準則函數，可得辨識非均勻采樣數據Hammerstein非線性系統CAR模型參數的隨機梯度算法（Stochastic Gradient algorithm，SG）算法：

（14）

（15）

（16）

（17）

（18）

（19）

所提算法辨識出模型的參數并不是系統參數，因此需要從所提算法辨識出的模型參數中分離出系統參數。從參數的構成中我們可以看出對任意的非零系數，和總能產生相同的輸入輸出結果，也就是說，任何辨識算法都不能區分和的不同，為保證參數辨識的唯一性，必須固定cj或bi中一個參數，為此提出一些解決方法[12-14]，在本文中做如下假設。

假設1：第一個系數為1[15]，即c1=1。

基于假設1，參數向量的估計值分別為模型參數中、、，個向量元素。而非線性模塊的靜態參數在向量cjbi中由于被反復估計nb次，為了提高估計精度，本文采用文獻[16，17]中的平均法從乘積項中分離出非線性系統參數ci，即：

至此，辨識出系統參數向量。

4.結論

本文針對非均勻采樣數據Hammerstein非線性系統，提出一種基于過參數化的隨機梯度算法，所提算法能夠有效實現對非均勻非線性系統的辨識。該算法可結合其他參數辨識方法，用于Wiener系統、Hammerstein-Wiener系統及Wiener-Hammerstein系統的參數估計、狀態識別及故障診斷中。

參考文獻

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作者簡介：鄭恩興，男，天津人，大學本科，湖北工業大學工程碩士研究生在讀，常州劉國鈞高等職業學校講師，從事控制理論與控制工程方面的研究。