基于時間滿意的應急物資運輸模型與算法

胡利明，陸朝榮，馮 丹

（1.中國礦業大學 安全工程學院，江蘇 徐州 221000；2.空軍勤務學院 航空油料物資系，江蘇 徐州 221000）

1 引言

近年來，我國自然災害事件等大規模突發事件發生率較高，其危害越來越嚴重。為減少這些事件產生的危害，國家和相關部門投入了大量的人力、財力和物力，建立了不同層級應急搶險組織與機構，各地都儲備了一定數量的應急物資以便急用。因此，在應急搶險救災行動中，所需物資可以先利用自身儲備；如果物資不夠，應按照要求，在規定時間內，對所需要的物資進行及時補充，即補充的物資應在一定時間區間內運到目的地。

在搶險救災應急行動或戰時狀態下，不僅要求所需要的后勤物資能夠適量供應，而且對供應的時效性提出了很高要求。目前，國內外學者對突發事件應急物資運輸問題進行了較為深入的研究，已有很多重要研究成果，比如白國仲[1]建立了各需求點的物資都能在最短的時間內到達的運輸問題數學模型，并提出了用改進的表上作業法進行求解。劉春林等[2]針對應急系統多出救點問題的特點，引入了連續可行方案，給出了使得應急開始時間不遲于限制期的可能度最大方案求解算法。程樺等[3-5]也對此類問題進行了研究，建立了問題的數學模型，提出了相應算法。這些文獻研究的問題都有一個嚴格的要求，即運輸的物資應在要求時限內到達。隨著我國應急搶險救災機制的不斷完善，在搶險救災中，可先用自身存儲的物資，這樣就有了一個緩沖過渡期。針對這類實際問題，本文構建了時間滿意度函數，在時間滿意的條件下，研究制定科學的應急物資運輸方案。

2 問題分析及基本假設

2.1 問題描述與基本假設

定義決策變量xij為第i個物資倉庫到第 j個需求點的運輸量。

與一般的運輸問題不同的是，這里對運輸時間有比較嚴格的要求，即有硬時間窗要求，不同的物資需求點由于自身存儲的物資數量不同，第 j個需求點所需要的物資，最好在Lj內到達；如果運輸困難，所需要的物資最遲應在時間Uj內到達。

2.2 時間滿意度函數引入

在應急物資運輸問題中，物資運輸不僅要保質保量，時間要求更是不容忽視，超過了規定時間，往往很難達到救災效果。時間因素的影響，增加了應急物資運輸問題的復雜性。為解決此問題引入時間滿意度函數，以反映需求地點對物資供應的滿意程度。

根據本文假設，Lj為需求點j感到非常滿意時所能接受的等待時間，Uj為需求點j感到非常不滿意時的等待時間，其中Lj≤Uj。

將時間滿意度函數 f(tij)定義為需求點j對供應點i響應時間的滿意度水平，它是時間或距離的非增函數。馬云峰等[6]介紹了線性時間滿意度函數、凹凸分布曲線、嶺型分布曲線、降對數Sigmoid函數和降半哥西分布函數5種曲線。為方便計算，本文采用了線性時間滿意度函數 f(tij)：

需要注意的是，這里的線性時間滿意度函數 f(tij)僅僅從時間角度進行了研究，并沒有考慮需求量的滿足情況。

要完整描述應急物資時間滿意度，必須考慮運輸量這一因素。因為第i物資倉庫到第j需求點的運輸量xij與第 j個需求點的需求量bj間關系為：xij≤bj。因此，考慮物資運輸量的點到點的綜合時間滿意度函數定義應為：

3 基于時間滿意的應急運輸問題數學模型建立及求解

3.1 數學模型

根據上述分析建立基于時間滿意的應急物資運輸問題的數學模型。

目標函數首先是總的時間滿意度最大，其次為運輸總費用最小。

約束條件：（1）供應點供應量不大于其物資總量；（2）保證向第 j個需求點供應的物資量等于該點的需求量。即：

對該模型進行分析，可見其是多目標線性規劃問題。由于在應急運輸中，強調按照時間要求及時將所需要的物資運到，因此，將時間滿意作為第一級目標，運輸總費用最小作為第二級目標。第一級目標要比第二級目標優先級別高。

3.2 數學模型的求解算法

由于基于時間滿意的應急物資運輸問題數學模型是一個多目標規劃問題，因此，在求解模型時采用序貫式算法進行計算。步驟如下：

第一步：根據式（1），計算不考慮運輸量的各物資供應點到需求點時間滿意度值。如果某一需求點的所有 f(tij)均為0，說明現有的運輸條件不滿足應急物資供需要求，應該增加供應點，或者對該需求點的運輸采用更為快捷的方式。

第二步，不考慮目標函數Z2，對數學模型進行求解。如果問題無解，則結束。否則，轉入第三步。

第三步：將第二步所得到的結果，加入到約束條件中，以Z2為目標函數，求解新的線性規劃問題，最后得到優化的運輸方案。

4 實例分析

在應急保障中，有4個物資供應點，向8個物資需求點緊急供應物資，其倉庫容量、各需求點的需求量及單位運費關系見表1（容量及需求量單位為t，運輸費用單位為元）。

表1 供應點到需求點的單位運費表

各供應點到需求點的運輸時間，各需求點的時間要求見表2，表中為tij(Lj,Uj)。求解最優運輸方案。

表2 供應點到需求點物資運輸時間和時間要求

求解過程如下：

首先，根據表2需求點 j的時間參數Lj和Uj，按照給出的不考慮運輸量的時間滿意度函數式（1），可以求出供應點到需求點的時間滿意值，見表3。

表3 供應點到需求點的時間滿意值

為減少計算量，令表3中時間滿意值等于0所對應的運量xij=0。

第二步，不考慮運輸費用目標函數Z2，應用Lingo軟件進行求解目標函數Z1，得最大時間滿意為Z1=7.665，運輸方案A見表6，運輸費用為8100元。

第三步，以運輸費用Z2為目標函數，將Z1=7.665的結果作為新的約束條件加入模型中。重新建立模型進行求解，得運輸方案B見表5，此時運輸費用降為7900元。運輸方案B就是多目標情況下的最優方案。

表4 運輸方案A

表5 運輸方案B

5 結論

與一般的運輸問題不同，在應急搶險救災等行動中，對時間因素有特殊的要求，這一實際要求大大增加了問題的復雜性。本文在已有的時間滿意度函數基礎上，構建了含運輸量的綜合時間滿意度的概念和相應的表達式，大大簡化了對時間處理的難度，同時建立了基于時間滿意的多目標線性規劃數學模型。采用序貫式算法，并利用Lingo軟件實現了模型快速求解。通過一定規模的實例計算，表明了本文提出方法的正確性。在應急搶險救災行動中，科學確定運輸量只是應急運輸問題的一個重要方面，另外一個重要方面是科學配置和合理調度不同種類運輸工具進行運輸。因此應急運輸計劃編制完成后，還需要對運輸工具的編配與調度問題進一步深入研究。

[1]白國仲.求解多目標運輸問題的表上作業法[J].信陽師范學院學報(自然科學版),2007,(4):403-408.

[2]劉春林,等.基于連續消耗應急系統的多出救點選擇問題[J].管理工程學報,1999,13(3):13-16.

[3]程樺,宋執環.受時間約束的運輸問題求解的一種算法[J].運籌與管理,2003,12(6):67-70.

[4]謝友才.運輸最短時限問題的網絡解法及討論[J].運籌與管理,2003,(12):62-66.

[5]董麗,林琳,湯京永.最短時限運輸問題的推廣[J].大學數學,2007,23(5):139-142.

[6]馬云峰,楊超,張敏,等.基于時間滿意的最大覆蓋選址問題[J].中國管理科學,2006,(4):45-51.