量子系統(tǒng)中的SU（R）典型生成元

李嫦娥，卜繁強(qiáng)，陶元紅

（1.延邊大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002；2.延邊大學(xué) 師范分院，吉林 延吉133002）

特殊酉群SU（R）在量子物理中應(yīng)用廣泛，如在粒子物理的標(biāo)準(zhǔn)模型中，群SU（2）應(yīng)用于電弱相互作用中［1］；群SU（3）應(yīng)用于量子色動(dòng)力學(xué)中［2－3］.本文研究特殊酉群SU（R）典型生成元的性質(zhì)，并給出了單粒子量子態(tài)密度矩陣的具體表示形式及其表示系數(shù)所滿足的關(guān)系式.

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)角生成元有R－1個(gè)，形式如下：

定義λ矩陣如下：

由此可得R2－1個(gè)跡為0的生成元｛λi，i＝1，2，…，R2－1｝，稱該組生成元為SU（R）的典型生成元.

構(gòu)造典型生成元的初等矩陣滿足如下性質(zhì)：

根據(jù)引理1，SU（R）的典型生成元滿足如下性質(zhì)：

引理2［6］設(shè)｛λi，i＝1，2，…，R2－1｝為SU（R）的典型生成元，則tr（λi）＝0，tr（λiλj）＝2δij.

2 典型生成元的性質(zhì)

定理1 設(shè)｛λj，j＝1，2，…，R2－1｝為SU（R）的典型生成元，則如下等式成立：

證明：根據(jù)k，q，l，p的取值，下面分3種情形討論.

① 若k＝q＝l＝p＝R，則有

② 若k＝q＝l＝p≠R，用歸納法證明式（1）.當(dāng)k＝1時(shí)，顯然有

設(shè)k＝s時(shí)有

當(dāng)k＝s＋1時(shí)，由于

因此

即式（1）成立，從而定理1結(jié)論成立.

情形3）k，q，p，l兩兩相等且不全相等.此時(shí)，又分3種情形.

① 若k＝q≠l＝p，不妨設(shè)k＝q＞l＝p.易證2（δkqδlp－R－1δklδpq）＝2.于是，

② 若k＝p≠l＝q，不妨設(shè)k＝p＞l＝q，易證此時(shí)有2（δkqδlp－R－1δklδpq）＝0.于是

③ 若k＝l≠q＝p，不妨設(shè)k＝l＜q＝p，易證此時(shí)有2（δkqδlp－R－1δklδpq）＝－2／R.當(dāng)k＝l＜q＝p＝R時(shí)，有

當(dāng)k＝l＜q＝p≠R時(shí)，有

綜上，定理1結(jié)論成立.

3 單粒子態(tài)密度矩陣的性質(zhì)

R維Hilbert空間上任意一個(gè)Hermitian算子均可由單位算子I和特殊酉群SU（R）的生成元表示［5］.由于R維系統(tǒng)的密度算子ρ是跡為1的半正定Hermitian算子，因此ρ可用單位算子和SU（R）生成元表示，即

其中：IR為R×R的單位矩陣；｛λj：j＝1，2，…，R2－1｝為SU（R）的典型生成元；aj均為實(shí)數(shù).若密度算子ρ滿足tr（ρ2）＝1，則稱ρ為純態(tài)［7］；若tr（ρ2）＜1，則稱ρ為混合態(tài)［7］.

式（2）系數(shù)滿足的關(guān)系式可參見文獻(xiàn)［8－9］.本文利用定理1討論單粒子態(tài)密度矩陣的形式及其系數(shù)滿足的關(guān)系式.

證明：1）由式（2）和引理1，可得

故式（3）成立.

2）先證

設(shè)ρ和λj的矩陣形式如下：

則矩陣ρλj表示如下：

于是，

即式（4）成立，從而定理2成立.

證明：由于混合態(tài)對(duì)應(yīng)的密度矩陣ρ滿足tr（ρ2）＜1，因此類似定理2的證明過程即得結(jié)論.

［1］WEI Qun.Research of High Temperature Superconductors［J］.Journal of Dezhou University，2003，19（2）：32－34.（魏群.高溫超導(dǎo)機(jī)制研究的現(xiàn)狀與發(fā)展 ［J］.德州學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，19（2）：32－34.）

［2］ZHANG Wen－zhong，WANG Shun－jin.Algebraic Dynamical Solutions of SU（3）Linear Nonautonomous Quantum System ［J］.Acta Physica Sinica，1997，46（2）：209－226.（張文忠，王順金.SU（3）線性非自治量子系統(tǒng)的代數(shù)動(dòng)力學(xué)求解 ［J］.物理學(xué)報(bào)，1997，46（2）：209－226.）

［3］ZENG Bao－sheng，HUANG Qing，GONG Xue－h(huán)ui.The Level Symmetry of Leptons and Quarks［J］.Journal of Lanzhou University：Natural Sciences，1981（1）：25－28.（曾保生，黃慶，宮學(xué)惠.輕子與夸克的水平對(duì)稱性 ［J］.蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1981（1）：25－28.）

［4］朱洪元.群論和量子力學(xué)中的對(duì)稱性 ［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2009.

［5］Thew R T，Nemoto K，White A G，et al.Qubit Quantum－States Tomography［J］.Phys Rev A，2002，66（1）：1－6.

［6］WANG Wei－wei，CAO Huai－xin.A Note on the Separability of Quantum Mixed States［J］.Journal of Xianyang Normal University，2008，23（2）：6－9.（汪威威，曹懷信.二元量子系統(tǒng)混態(tài)密度矩陣可分性研究 ［J］.咸陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，23（2）：6－9.）

［7］李承祖.量子通訊與量子計(jì)算 ［M］.長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社，2000.

［8］ZHAO Hui，WANG Zhi－xi.Separability Criteria for Quantum Mixed States［J］.Common Theor Phys，2004，42（4）：529－534.

［9］WANG Wei－wei，BI Hong－mei.Separability Criterion of Bipartite Qubit States ［J］.Journal of Xi’an Technological University，2008，28（5）：414－416.（汪威威，畢紅梅.兩體量子態(tài)可分離性判據(jù) ［J］.西安工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，28（5）：414－416.）