對課本一些例題解法的探討

陜全錄

浙教版八年級（下）第二章《一元二次方程》中，如P35例7的解法筆者認為值得商榷。

例7已知4x2+8 （n+1）x+16n是一個關于x的完全平方式，求常數n的值。

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x]+16n

=4[x2+2（n+1）x+（n+1）2]-4（n+1）2+16n

已知4x2+8（n+1）x+16是一個完全平方式，則– 4（n+1）2+16n=0

化簡，得n2-2n+1=0，

解得n=n=1

所以常數n的值為1

本題已經說明n為常數，代數式4x2+8（n+1）x+16n是關于x一個完全平方式，也就是說它是關于x的一個二次三項式，二次項系數為4，一次項系數為8（n+1），常數項為16n，那么，這個二次三項式可以化為4（a±b）2的形式。而4=22，那么x2+2（n+1）x+4n一定是一個完全平方式，一個二次三項式是一個完全平方式應該滿足：一次項系數一半的平方等于常數項，即（n+1）2=4n。

筆者有以下解法：

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x+4n]

∵4=22

∴x2+2（n+1）x+4n也是一個關于x的二次三項式

∴（n+1）2=4n（一次項系數一半的平方等于常數項）

化簡，得n2-2n+1=0，

解得n1=n2=1

又如課本P36對一元二次方程求根公式是基于配方法的基礎上進行推導，在這個過程中應當要進行兩次討論，具體過程如下：

對于ax2+bx+c=0（a≠0），兩邊同除以a，得x2+x+=0移項得x2+x=-；

方程兩邊同時加上（）2，得x2+x+（）2=（）2-即（x+）2=

若b2-4ac≥0，可得x+=±

∴x+=±，由于前面有±號，所以不管a取值如何，x+=±，

∴x=±，即x=

很明顯，當b=c=0時，x=0；當c=0時，x1=0；x2=-；當b=0時，且a、c同號時，此方程無實數根，a、c異號時，此方程的解為x1=-；x2=。

其實，對一元二次方程求根公式的推導也可以從完全平方公式入手，比如：

在ax2+bx+c=0（a≠0）兩邊同乘以4a，得到4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0），移項，得

4a2x2+4abx=-4ac，兩邊同時加上b2，得

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

∴（2ax+b）2=b2-4ac

以下部分解法同上，這樣的推導對各項系數的討論可以減弱。

實際上課本中有多處可以商討的地方，這些只是我個人的看法，有不周之處還望指正。

（作者單位：浙江寧波七中）

浙教版八年級（下）第二章《一元二次方程》中，如P35例7的解法筆者認為值得商榷。

例7已知4x2+8 （n+1）x+16n是一個關于x的完全平方式，求常數n的值。

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x]+16n

=4[x2+2（n+1）x+（n+1）2]-4（n+1）2+16n

已知4x2+8（n+1）x+16是一個完全平方式，則– 4（n+1）2+16n=0

化簡，得n2-2n+1=0，

解得n=n=1

所以常數n的值為1

本題已經說明n為常數，代數式4x2+8（n+1）x+16n是關于x一個完全平方式，也就是說它是關于x的一個二次三項式，二次項系數為4，一次項系數為8（n+1），常數項為16n，那么，這個二次三項式可以化為4（a±b）2的形式。而4=22，那么x2+2（n+1）x+4n一定是一個完全平方式，一個二次三項式是一個完全平方式應該滿足：一次項系數一半的平方等于常數項，即（n+1）2=4n。

筆者有以下解法：

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x+4n]

∵4=22

∴x2+2（n+1）x+4n也是一個關于x的二次三項式

∴（n+1）2=4n（一次項系數一半的平方等于常數項）

化簡，得n2-2n+1=0，

解得n1=n2=1

又如課本P36對一元二次方程求根公式是基于配方法的基礎上進行推導，在這個過程中應當要進行兩次討論，具體過程如下：

對于ax2+bx+c=0（a≠0），兩邊同除以a，得x2+x+=0移項得x2+x=-；

方程兩邊同時加上（）2，得x2+x+（）2=（）2-即（x+）2=

若b2-4ac≥0，可得x+=±

∴x+=±，由于前面有±號，所以不管a取值如何，x+=±，

∴x=±，即x=

很明顯，當b=c=0時，x=0；當c=0時，x1=0；x2=-；當b=0時，且a、c同號時，此方程無實數根，a、c異號時，此方程的解為x1=-；x2=。

其實，對一元二次方程求根公式的推導也可以從完全平方公式入手，比如：

在ax2+bx+c=0（a≠0）兩邊同乘以4a，得到4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0），移項，得

4a2x2+4abx=-4ac，兩邊同時加上b2，得

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

∴（2ax+b）2=b2-4ac

以下部分解法同上，這樣的推導對各項系數的討論可以減弱。

實際上課本中有多處可以商討的地方，這些只是我個人的看法，有不周之處還望指正。

（作者單位：浙江寧波七中）

浙教版八年級（下）第二章《一元二次方程》中，如P35例7的解法筆者認為值得商榷。

例7已知4x2+8 （n+1）x+16n是一個關于x的完全平方式，求常數n的值。

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x]+16n

=4[x2+2（n+1）x+（n+1）2]-4（n+1）2+16n

已知4x2+8（n+1）x+16是一個完全平方式，則– 4（n+1）2+16n=0

化簡，得n2-2n+1=0，

解得n=n=1

所以常數n的值為1

本題已經說明n為常數，代數式4x2+8（n+1）x+16n是關于x一個完全平方式，也就是說它是關于x的一個二次三項式，二次項系數為4，一次項系數為8（n+1），常數項為16n，那么，這個二次三項式可以化為4（a±b）2的形式。而4=22，那么x2+2（n+1）x+4n一定是一個完全平方式，一個二次三項式是一個完全平方式應該滿足：一次項系數一半的平方等于常數項，即（n+1）2=4n。

筆者有以下解法：

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x+4n]

∵4=22

∴x2+2（n+1）x+4n也是一個關于x的二次三項式

∴（n+1）2=4n（一次項系數一半的平方等于常數項）

化簡，得n2-2n+1=0，

解得n1=n2=1

又如課本P36對一元二次方程求根公式是基于配方法的基礎上進行推導，在這個過程中應當要進行兩次討論，具體過程如下：

對于ax2+bx+c=0（a≠0），兩邊同除以a，得x2+x+=0移項得x2+x=-；

方程兩邊同時加上（）2，得x2+x+（）2=（）2-即（x+）2=

若b2-4ac≥0，可得x+=±

∴x+=±，由于前面有±號，所以不管a取值如何，x+=±，

∴x=±，即x=

很明顯，當b=c=0時，x=0；當c=0時，x1=0；x2=-；當b=0時，且a、c同號時，此方程無實數根，a、c異號時，此方程的解為x1=-；x2=。

其實，對一元二次方程求根公式的推導也可以從完全平方公式入手，比如：

在ax2+bx+c=0（a≠0）兩邊同乘以4a，得到4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0），移項，得

4a2x2+4abx=-4ac，兩邊同時加上b2，得

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

∴（2ax+b）2=b2-4ac

以下部分解法同上，這樣的推導對各項系數的討論可以減弱。

實際上課本中有多處可以商討的地方，這些只是我個人的看法，有不周之處還望指正。

（作者單位：浙江寧波七中）