基于GibbsDA算法的貝葉斯分位回歸模型研究

朱慧明　翁元　曾昭法　任英華　李招來

摘要：針對分位回歸模型參數的不確定性風險問題，構建了基于Gibbs-DA抽樣算法的貝葉斯線性分位回歸分析模型.根據非對稱Laplace分布的正態(tài)指數分布的混合表示性質，利用數據擴展方法構建了潛變量，給出分位回歸模型的似然函數，推斷了多元正態(tài)先驗分布條件下分位回歸模型參數的后驗分布，證明了潛變量的完全條件分布為廣義逆高斯分布；結合Gibbs抽樣和數據擴展方法，設計GibbsDA的仿真分析方案，并將其應用于我國能源消耗問題分析.研究結果表明：貝葉斯方法可以有效地應用于分位回歸的建模以及我國能源消費彈性的分位問題研究.

關鍵詞：模型結構；Monte Carlo方法； 分位回歸； 貝葉斯分析； MCMC方法；仿真

中圖分類號：O212.8 文獻標識碼：A

Abstract：We constructed a Bayesian quantile linear regression model based on GibbsDA sampling algorithm for the uncertainty risks of quintile regression model parameters. According to the normalexponential representation property of asymmetric Laplace distribution， we established a working likelihood function for the quantile regression model with latent variables， gave its parameters' posterior distribution with a multivariate prior distribution， whose full condition distribution is generalized Guassian. We also used Gibbs sampling technique and data argumentation method to design a GibbsDA simulation procedure. Finally， we made an empirical study to analyze energy consumption in China. The results have shown that Bayesian procedure can be efficiently used to build quantile regression models and applied to the elasticity of energy consumption.

Key words：model structures； Monte Carlo methods； quantile regression； Bayesian approach； MCMC； simulation

回歸分析模型是實踐中應用廣泛的一類統(tǒng)計模型，如果模型中的隨機擾動項來自均值為零而且同方差的分布，回歸系數的OLS估計具有最佳線性無偏性，并且，如果隨機擾動項服從正態(tài)分布，回歸系數的OLS估計量和ML估計為最小方差無偏估計.但是，在現實社會經濟系統(tǒng)中，這些假設條件通常難以得到滿足，例如，數據可能出現尖峰或厚尾分布和異方差等問題，此時OLS估計量不再具有上述優(yōu)良性.為了彌補OLS估計方法的不足之處， Koenker和Bassett＼[1＼]提出了分位回歸模型的建模思想.與OLS方法相比，分位回歸通過加權誤差絕對值之和最小化方法得到參數的估計，這些估計量不容易受到異常值的影響，穩(wěn)健性強.分位回歸模型在金融風險度量、時間序列和生存分析等領域中獲得了廣泛應用＼[2-5＼].

分位回歸模型參數估計方法很多，例如，對偶單純形估計算法、內點法和外點法等.但是，它們是建立在經典統(tǒng)計理論基礎之上，參數是固定不變常數.為了考慮參數不確定性問題，Yu和Moyeed＼[6＼]，Tony和Sung＼[7＼]，Tsionas[8]和曾惠芳＼[9＼]等利用MCMC抽樣方法構建貝葉斯分位模型.但是，它們沒有研究模型參數的隨機抽樣問題.本文利用Gibbs抽樣和數據擴展（Data Augmentation，DA）算法，構建基于Gibbs-DA抽樣算法的貝葉斯分位回歸模型，解決模型參數不確定性風險問題.

1非對稱Laplace分布的混合表示

定義1如果隨機變量U具有如下密度函數：

根據表1所列出的計算結果，0.25分位點的GDP彈性系數為0.681 2，也就是說，在產業(yè)結構保持不變的條件下，GDP增加大于1%，能源消耗總量增加0.681 2%；0.75分位點的GDP彈性系數為0.491 2，低于0.25分位點的估計值；與能源消耗的GDP彈性系數情況不同，0.75分位點的產業(yè)結構彈性系數的取值為1.016 0，大于0.25分位點的產業(yè)結構彈性系數.為了能夠從時間維度和不同分位點兩個方面分析能源消耗總量與GDP、產業(yè)結構之間的關系，利用2001-2009年的統(tǒng)計數據，根據前面的建模思路，進一步構建0.25，0.50和0.75三個分位點的貝葉斯分位回歸分析模型，合計27個模型.

表2匯總了2001-2010年能源消耗的GPD彈性系數，即：30個分位回歸模型系數 的估計，該表最后一列等于（β1（0.25）-β1（0.75））/β1（0.75）×100. 從時間維度來看，2001-2010年3個分位點的GDP彈性系數變化不大，但是，0.75分位點的GDP彈性系數明顯小于0.25分位點的彈性系數.由于0.75分位點代表能源消費量較高的地區(qū)，主要是東部地區(qū)；而0.25分位點代表能源消費量低的地區(qū)，主要是中、西部地區(qū).這說明我國東部整體單位經濟增長所消耗的能源少于中、西部整體單位經濟增長所消耗的能源，東部的能源利用率和節(jié)能力度優(yōu)于中、西部.

4結論

本文討論了貝葉斯線性分位回歸模型的構建、MCMC仿真分析及其應用問題.通過模型的統(tǒng)計結構分析，根據非對稱Laplace分布的正態(tài)—指數分布的混合表示性質，利用服從指數分布的潛變量，據此獲得模型的似然函數，推斷了多元正態(tài)先驗分布條件下分位回歸模型參數的后驗分布，證明了潛變量的完全條件分布為廣義逆高斯分布.在此基礎上，根據MCMC仿真分析思想，設計了貝葉斯分位回歸模型的Gibbs-DA隨機抽樣步驟及統(tǒng)計分析.利用我國2001-2010年期間各地區(qū)的能源消耗總量，GDP和產業(yè)結構數據進行實證分析，研究結果表明，貝葉斯方法可以有效地應用于分位回歸建模問題.

參考文獻

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4結論

本文討論了貝葉斯線性分位回歸模型的構建、MCMC仿真分析及其應用問題.通過模型的統(tǒng)計結構分析，根據非對稱Laplace分布的正態(tài)—指數分布的混合表示性質，利用服從指數分布的潛變量，據此獲得模型的似然函數，推斷了多元正態(tài)先驗分布條件下分位回歸模型參數的后驗分布，證明了潛變量的完全條件分布為廣義逆高斯分布.在此基礎上，根據MCMC仿真分析思想，設計了貝葉斯分位回歸模型的Gibbs-DA隨機抽樣步驟及統(tǒng)計分析.利用我國2001-2010年期間各地區(qū)的能源消耗總量，GDP和產業(yè)結構數據進行實證分析，研究結果表明，貝葉斯方法可以有效地應用于分位回歸建模問題.

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本文討論了貝葉斯線性分位回歸模型的構建、MCMC仿真分析及其應用問題.通過模型的統(tǒng)計結構分析，根據非對稱Laplace分布的正態(tài)—指數分布的混合表示性質，利用服從指數分布的潛變量，據此獲得模型的似然函數，推斷了多元正態(tài)先驗分布條件下分位回歸模型參數的后驗分布，證明了潛變量的完全條件分布為廣義逆高斯分布.在此基礎上，根據MCMC仿真分析思想，設計了貝葉斯分位回歸模型的Gibbs-DA隨機抽樣步驟及統(tǒng)計分析.利用我國2001-2010年期間各地區(qū)的能源消耗總量，GDP和產業(yè)結構數據進行實證分析，研究結果表明，貝葉斯方法可以有效地應用于分位回歸建模問題.

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