遞歸SOQPSK-TG信號的兩狀態判決反饋解調算法

孫錦華，韓會梅

（西安電子科技大學 綜合業務網理論及關鍵技術國家重點實驗室，陜西 西安 710071）

1 引言

成形偏移正交相移鍵控（SOQPSK,shapedoffset quadrature phase-shift keying）信號是一種頻譜高效的連續相位調制方式，具有包絡恒定、功率有效性高等特點[1,2]。在一些功率和帶寬雙重受限的軍事通信、衛星通信、遙測通信等領域中，全響應、部分響應SOQPSK信號已成為UHF衛星通信軍標MIL-STD 188-181[3]、航空遙測系統IRIG 106-04標準[4]的建議波形。近年來，研究者對SOQPSK信號的解調、同步、性能限等問題進行了深入的研究[5～11]。

SOQPSK信號是一種連續相位調制（CPM,continuous phase modulation）信號，根據相位關聯長度的不同，可分為全響應SOQPSK（如MIL-STD SOQPSK）和部分響應SOQPSK（如SOQPSK-TG）。與MIL-STD SOQPSK信號相比，SOQPSK-TG信號具有更好的功率譜特性。根據 SOQPSK信號的特性，可以將SOQPSK信號的調制分解為預編碼與連續相位信號調制2部分，并且根據預編碼的形式，可以將 SOQPSK信號分為遞歸預編碼和非遞歸預編碼[12]。SOQPSK信號的這種預編碼特性使其內在的記憶特性可以在串行級聯編碼調制系統中作為內碼使用。對于編碼級聯SOQPSK系統，采用卷積碼與SOQPSK的串行級聯系統，要求內碼SOQPSK必須是遞歸預編碼才能獲得較大的編碼增益[12]，因此這里主要討論遞歸SOQPSK-TG信號。

對于遞歸SOQPSK-TG信號，其相位關聯長度L為8，在接收端若采用傳統最優的最大似然接收機，則接收機網格需要512個相位狀態，運算復雜度極高，在實際工程應用中受到一定限制。

文獻[13]應用脈沖截斷（PT）技術，使部分響應SOQPSK-TG信號可以像MIL-STD SOQPSK一樣建模成四狀態的全響應CPM信號。文獻[14]給出遞歸SOQPSK-TG信號的四狀態解調器，并將遞歸SOQPSK-TG信號的差分編碼器和預編碼器結合起來使網格的狀態數達到最少的兩狀態，得到遞歸SOQPSK-TG的兩狀態簡化算法，但兩狀態網格圖中的狀態變量與相位狀態不再存在一一對應的關系，在接收端由狀態變量并不能確定當前時刻的累積相位信息，無法恢復當前時刻支路上的標準信號。為此，文獻[14]引入判決反饋來解決這個問題，在該接收機中采用Viterbi算法恢復信息序列。

本文首先對遞歸SOQPSK-TG信號進行了簡要介紹，然后介紹了基于脈沖截斷的遞歸SOQPSK-TG信號的四狀態解調算法，最后在四狀態網格圖基礎上，通過合理的狀態合并，得到遞歸兩狀態網格圖，并對文獻[14]提出的判決反饋算法進行了研究。由于在遞歸 SOQPSK-TG編碼級聯系統中需要提取SOQPSK-TG信號的軟信息，但文獻[14]采用Viterbi解調不便于提取軟信息。因此，本文在接收機中采用MAX-LOG-MAP算法恢復信息序列，以實現軟信息的提取。

2 SOQPSK-TG信號模型

2.1 CPM信號模型

SOQPSK是連續相位調制(CPM)中的一種特殊調制方式[12]，SOQPSK的復基帶信號數學表達式為

其中，Eb為比特能量，Tb為比特持續時間。φ(t;α)為相位函數，如式(2)所示。

這里αi為實際傳輸的信息序列，為M進制符號，對于SOQPSK信號，M=3，即 αi∈(-1,0,1)；調制指數h=1/2，q(t)為相位脈沖函數，其表達式為

其中，g(t)為頻率脈沖，其持續時間為L個比特間隔，當L=1時，為全響應信號；當L＞1時，為部分響應信號。

式(2)中的相位函數可另外表示為

在本文中，討論的SOQPSK信號體制是采用升余弦頻率脈沖成形的部分響應SOQPSK-TG信號。對于SOQPSK-TG信號，其約束長度L=8，頻率脈沖成形函數gTG(t)為

幅值A用來歸一化脈沖波形，使單個頻率脈沖引起的相位偏移為π/2，T1=1.5,T2=0.5,ρ=0.7,B=1.25。圖1(a)給出了SOQPSK-TG的頻率脈沖函數gTG(t)和相位脈沖函數qTG(t)的波形圖。

由圖1(a)可看出，雖然SOQPSK-TG信號的頻率脈沖函數gTG(t)周期為8Tb，但波形的脈沖寬度較窄且兩側大部分波形接近為0，因此可將關聯長度減為L′=1，用周期為Tb的頻率脈沖來代替，由此得到的截斷相位脈沖函數qPT(t)為

由式(7)可知，qPT(t)是將原相位脈沖函數qTG(t)截斷，并將時變部分限制在[0,Tb]間隔內得到的，qPT(t)在間隔[0,Tb]內的波形如圖1(b)所示。

圖1 SOQPSK-TG的頻率脈沖和相位脈沖函數波形

SOQPSK-TG信號與傳統 CPM 的區別在于實際傳輸的三元符號集{αi}為{?1,0,1}。如圖2所示，SOQPSK-TG的調制方式采用預編碼與 CPM 調制級聯的方案，預編碼輸出符號集為三元符號集{?1,0,1}。預編碼方式分為非遞歸式和遞歸式。采用這2種不同方式的預編碼，可以分別得到非遞歸SOQPSK-TG信號和遞歸SOQPSK-TG信號。下面主要討論遞歸預編碼方式。

圖2 SOQPSK-TG信號的調制方案

2.2 SOQPSK-TG信號的遞歸預編碼

遞歸預編碼實現步驟分為2步，首先將原二進制比特進行差分編碼，如式(8)所示，再將差分編碼后的二進制比特通過式(9)轉化為三進制符號。

由式(9)可知，預編碼輸出字符的極性會隨著奇偶時刻的交替而變化，可以將un-1、un-2和n_ even/n_ odd （偶數時刻/奇數時刻）看作狀態的變量，即對應有8個狀態來描述的變化轉移。將奇偶時刻分開，分別建立網格轉移圖，構建一個時變的網格圖。這樣對于單一的奇數時刻（或偶數時刻）只用4個狀態即可描述的變化，如圖3所示，在每條支路標注的是對應式(9)的遞歸預編碼轉變情況，對應為。用一對輸入比特來表示狀態，對于偶數時刻（I路比特）的狀態變量Sn定義為(un-2,un-1)，對于奇數時刻（Q路比特）的狀態變量Sn定義為(un-1,un-2)，狀態變量由Sn∈{00,01,10,11}表示。

圖3 四狀態時變網格

由文獻[4]可知，對于遞歸預編碼，網格狀態變量Sn與相位狀態θn-L存在一一對應的關系，如式(10)所示。

3 簡化接收機

3.1 接收信號模型

接收信號表達式為

其中，n(t)是均值為零，單邊功率譜密度為N0的加性復高斯白噪聲；φ(t)是由信道所引起的相位偏移，此處假設φ(t)為0（即相干檢測）。由于發送信號s(t;)α的相位具有記憶，因此接收端最優檢測器應采用最大似然序列檢測。下面對遞歸SOQPSK-TG信號的解調采用近似簡化的方案，減少計算復雜度。

3.2 基于脈沖截斷的四狀態簡化解調算法

文獻[12]采用脈沖截斷的方法來簡化遞歸SOQPSK-TG的解調復雜度，接收端采用的相位脈沖函數為2.1節所述的qPT(t)，qPT(t)可看作一個全響應脈沖，則可將SOQPSK-TG信號看成全響應信號。2.2節所述的預編碼中狀態變量Sn與相位狀態θn-L存在的一一對應關系，使接收端的網格圖中不需要全響應CPM的網格圖，因此可對SOQPSK-TG信號按圖 3所示的四狀態網格圖，用 MAX-LOGMAP算法解調。

首先根據式(12)計算出每個發送比特的對數似然比。

其中，m′為網格中起始狀態，m為與起始狀態m′相連接的結束狀態，dk為第k個輸入比特，yk(t)=rk(t+(L-1)Tb/2)是對應的接收信號，αk(m)為前向路徑度量，βk(m)為后向路徑度量，γk(yk(t),m ′,m)是m′和m之間的狀態轉移概率。

前向遞推式為

后向遞推式為

狀態轉移概率為

考慮發送比特等概分布，R stdTG(t)為狀態轉移的輸出信號，對圖 3，各支路上的狀態轉移輸出信號RstdTG(t)可用簡化的相位脈沖來產生表達式為

p(R stdTG(t)|m,m ′)=1，在第k個符號間隔，對數轉移概率分布為

對于按式(18)生成的各支路上的狀態轉移輸出信號 RstdTG(t)，每個符號波形的能量ETG是相同的，因此上式中的波形能量可消去。由于按式（12）計算每個發送比特的對數似然比時采用的是求最大值運算，因此信道信息2σ也可消去。因此，對SOQPSK-TG信號對應的狀態轉移概率可進一步化簡為

結合 αk(m)、βk(m)并給定初始值，由式（12）計算各發送比特的對數似然值，即軟信息，對軟信息進行硬判決，即可恢復原始信息序列。

3.3 遞歸SOQPSK-TG信號的兩狀態簡化解調算法

文獻[14]針對遞歸 SOQPSK-TG信號，提出了兩狀態簡化算法，進一步降低了解調復雜度。將式(8)和式(9)用代數方法合并，得到二進制比特與三進制符號之間的直接對應關系為

其中，狀態符號sn由下式更新

或

由式（20）可知，可以將sn看作狀態變量，建立一個兩狀態網格轉移圖，如圖4所示。

由式（21a）可以得出，該遞歸兩狀態網格圖是由四狀態的遞歸網格圖簡化而來的，對I路簡化：相同合為0狀態，相異合為1狀態；對Q路簡化：相同合為1狀態，相異合為0狀態，（“相同”指表示狀態的2個比特相同，即00，11狀態；同理，“相異”指01，10狀態）。

圖4中分支上的標注為dn/αn，相對于四狀態的時變網格圖，兩狀態時不變網格圖具有更為簡化的狀態表示，但是兩狀態網格圖并沒有減少SOQPSK-TG 信號表達式中的累積相位狀態θn-L的數量，使兩狀態網格中的狀態變量Sn與相位狀態θn-L之間不再存在一一對應的關系。因此，若采用兩狀態網格圖，在接收端由狀態Sn當前時刻的累積相位信息并不確定，無法恢復當前時刻支路上的標準信號，即無法通過式(19)計算當前支路的狀態轉移概率。為此，文獻[14]引入判決反饋來克服這一缺點。

圖4 遞歸SOQPSK-TG兩狀態網格

如圖4所示，當前網格圖中起始狀態為Sn，結束狀態為En，設αn(En)為從Sn到En的幸存路徑上的三進制字符，可通過式(22)計算下一狀態對應的起始相位值。

其中，θn-1(Sn)為起始狀態對應的相位值，即當前網格的起始相位狀態θn-1，θn(En)表示當前網格中末狀態對應的相位值，且當前網格的末狀態即為下一網格的起始狀態，即 θn(En)=θn+1(Sn+1)。因此，給定合適的網格狀態的相位初始值，通過式(18)進行逐次遞歸即可計算任一時刻對應網格圖中起始狀態的相位值，這一相位值即為當前網格圖中的累積相位θn-1。結合當前網格圖中的累積相位θn-1和式（16），可得到當前網格圖中的分支路上的狀態轉移輸出信號 RstdTG(t)，通過式(19)計算當前支路的狀態轉移概率。有了各支路的狀態轉移概率，利用3.2節的MAX-LOG-MAP解調算法，就可恢復出原始數據序列。

若根據式（10）給定兩狀態網格圖中初始狀態相位 θn-1(Sn)的值，則利用式（22）得出的下一狀態對應的起始相位值，與四狀態網格圖的相位值是一樣的，因此該判決反饋算法不會丟失四狀態網格的相位信息。

4 遞歸SOQPSK-TG誤比特性能分析

以一致界作為AWGN信道上的誤比特率上界，對于遞歸SOQPSK-TG信號，其四狀態解調的理論誤比特率[14]滿足

遞歸SOQPSK-TG信號兩狀態解調的理論誤比特率[14,15]滿足

5 仿真結果與分析

以下通過仿真說明遞歸SOQPSK-TG信號的兩狀態判決反饋算法的性能，仿真時采用MAX-LOG-MAP算法進行解調。

用3.2節所述的遞歸SOQPSK-TG四狀態算法和3.3節所述的遞歸SOQPSK-TG兩狀態判決反饋算法分別對信號進行解調，得到的誤比特性能對比如圖5所示。圖5也給出了四狀態算法和兩狀態判決反饋算法的理論曲線。從圖5中可以看出：

1)接收端采用四狀態簡化解調的解調性能與其理論曲線基本重合，驗證了四狀態簡化解調算法的可行性；接收端采用兩狀態判決反饋的解調性能與其理論曲線基本重合，驗證了兩狀態判決反饋解調算法的可行性；但發現在高信噪比下仿真曲線與理論性能有微小的差距，這是由于接收端在進行解調時所用到的相位脈沖函數，是通過對發送端的相位脈沖函數進行截斷得到的（如圖 1所示），相位約束長度由8減小到1，相位信息會有一定的損失，從而對解調性能有一定的影響。

2)四狀態簡化解調的解調性能比兩狀態判決反饋解調的解調性能優越，兩狀態算法在信噪比大于0 dB，誤比特率為10?2～10?4時，信噪比有0.1 dB～0.5 dB的損失，這是由于兩狀態網格圖狀態變量與累積相位不存在一一對應的關系，需要通過判決幸存路徑，獲得下一網格的累積相位值，若前一網格判決幸存路徑有誤，則可能會影響到下一網格內的信息判決，導致錯誤事件增加，而四狀態網格圖狀態變量與累積相位存在一一對應的關系，可由下一網格的狀態變量得到正確的累積相位值。但信噪比越大，由兩狀態網格判決幸存路徑導致的錯誤事件越少，兩者的誤比特性能差距越小。

圖5 遞歸SOQPSK-TG兩狀態和四狀態解調性能對比

6 遞歸SOQPSK-TG信號硬件實現測試結果

以Altera公司的低端FPGA芯片EP2C35F484C6為目標器件，采用硬件描述語言Verilog，開發軟件QuartusII 9.0，對四狀態簡化算法進行實現驗證。其中一個信息幀包含1026 bit（包括1024個信息比特和2個歸零比特），即513個符號，一個符號采8個樣點，采用16 bit位寬量化。

在硬件實現中，調制器可以將發射的標準波形預先存儲，根據輸入信息比特經過互相關運算形成查找表地址，查表輸出波形，較為簡單。解調器采用MAX-LOG-MAP算法，主要包括相關模塊、前向遞推/后向遞推模塊和軟信息提取模塊等。相關模塊主要完成式(18)和式(19)涉及的積分運算。相關器實質上為一個符號周期內的積分器，即將一個符號周期內接收信號與網格內支路信號的相應樣點進行乘、累加運算。每經歷一個符號周期，才有I路或Q路的相關值輸出，為節省乘法器資源，對I、Q支路接收樣點數據進行乒乓操作，每間隔一個符號周期，交替計算I路、Q路的相關值。前向遞推和后向遞推由MAX-LOG-MAP算法原理可知，一個信息幀中，需要前向路徑度量計算完畢后，才開始計算后向路徑度量。在實際信息處理中，在開始計算一幀數據的后向度量值時，仍有新的數據幀進入，需要計算新一幀的前向度量值，因此，為了實現流水操作，需要對分支度量值和前向度量值分別進行乒乓緩存，以處理連續幀的接收。

通過QuartusII 9.0的時序分析報告，得出調制器的最小時鐘周期為4.241 ns，處理延遲為18個樣點時鐘，I路和Q路樣點同時輸出，即輸出一個復信號需要8個樣點時鐘，一個復信號中包含2個比特，因此調制器的處理速率為2/(8×樣點時鐘)，若取樣點時鐘為6 ns，這樣調制器的速率為41.66 Mbit/s。將調制器輸出的波形與Matlab定點仿真中的I路、Q路樣點輸出對比得到兩者波形輸出是一致的。解調器模塊的時序分析報告給出的最小時鐘周期為6.376 ns，取樣點時鐘為8 ns，解調器的的處理時延大約等于一個信息幀的前向度量計算時長，即Tdelay≈2×一幀內符號數×每符號內樣點數×樣點時鐘周期≈2×513×8×8ns=65664ns。解調器的處理速率為Rb=一幀信息比特數/處理一幀數據時長=1024 bit/65.664μs≈15.5 Mbit/s，將解調器的軟輸出與 Matlab定點仿真中的軟信息輸出對比得到兩者的軟信息是一致的。

從四狀態簡化解調器的硬件測試結果可以推測兩狀態解調器的情況：由于狀態簡化僅是在接收端進行處理，因此兩者的調制器的處理時延和處理速率是一樣的；在接收端，由于兩狀態網格的狀態數是四狀態網格狀態數的一半，總體運算量減小了一半，因此可以預計兩狀態解調的處理時延約為四狀態解調的處理時延的一半，處理速率約為四狀態處理速率的2倍。

7 結束語

針對遞歸SOQPSK-TG信號兩狀態網格圖狀態變量與累積相位不存在一一對應關系的問題，本文對遞歸SOQPSK-TG信號兩狀態判決反饋算法進行了研究，并對該算法的性能進行了仿真，仿真結果表明：在信噪比大于0 dB時，兩狀態判決反饋算法可以獲得接近遞歸四狀態解調的誤比特性能，與四狀態解調算法相比，由于兩狀態網格的狀態數是四狀態網格狀態數的一半，總體運算量減小了一半，具有較低的運算復雜度，運算復雜度的降低使得解調器的延時減小，提高了解調器解調效率，不僅可以應用于要求實現復雜度低的系統中，而且更有利于工程應用。

[1]SIMON MK,LI L. A cross-correlated trellis-coded quadrature modulation representation of MIL-STD shaped offset quadrature phase-shift keying[EB/OL]. http://ipnpr.jpl.nasa.gov/progress_report/42-154/154J.pdf,2003-08-15.

[2]LI L,SIMON MK. Performance of coded OQPSK and MIL-STD SOQPSK with iterative decoding[J]. IEEE Trans on Communication,2004,52(11):1890-1900.

[3]AEGNCY D I S. Department of Defense Interface Standard,Interoperability Standard for Single-Access 5 kHz and 25 kHz UHF Satellite Communications Channels[R]. 1999.

[4]Range Commanders Council Telemetry Group. Telemetry standards IRIG standard 106-04 Part I[S]. 2004.

[5]SAHIN C,PERRINS E. The capacity of SOQPSK-TG[A]. IEEE Military Communications Conference[C]. Baltimore,MD,USA,2011.555-560.

[6]HOSSEINI E. PERRINS E. The Cramér-Rao bound for data-aided synchronization of SOQPSK[A]. IEEE Military Communications Conference[C]. Orlando,Florida,2012.1-6.

[7]孫錦華,朱吉利,吳小鈞.導頻和軟信息聯合輔助的短突發SOQPSK載波同步[J]. 西安電子科技大學學報,2013,40(4):16-23.SUN J H,ZHU J L,WU X J. A joint pilot and soft information assisted carrier synchronization for short burst SOQPSK signals[J]. Journal of Xidian University,2013,40(4):16-23.

[8]SUN J H,ZHU J L,WU X J. A joint pilot and demodulation soft information carrier synchronization for SOQPSK signals[A]. The 5th Global Symposium on Millimeter Waves (GSMM)[C]. Harbin,China,2012. 512-516.

[9]BALASUBRAMANIAN U,PACHAME P R ,RADHAKRISHNA P,et al. Telemetry applications of SOQPSK and GMSK based modulation for airborne platforms[A]. 2012 International Conference on Communications,Devices and Intelligent Systems (CODIS)[C]. Bangalore,India,2012.17-20.

[10]HOSSEINI E,PERRINS E. FPGA Implementation of a coherent SOQPSK-TG demodulator[A]. IEEE Military Communications Conference[C]. Baltimore,MD,USA,2011.471-476.

[11]WILLIAMS I E,SAQUIB M. Linear frequency domain equalization of SOQPSK-TG for wideband aeronautical telemetry channels[J].IEEE Trans on Aerospace and Electronic Systems,2013,49(1):640-647.

[12]PERRINS E,RICE M. Reduced-complexity approach to iterative detection of coded SOQPSK[J]. IEEE Trans on Communication,2007,55(7):1354-1362.

[13]SVENSSON A,SUNDBERG C E,AULIN T. A class of reduced complexity viterbi detectors for partial response continuous phase modulation[J]. IEEE Trans on Communication,1984,32(10): 1079- 1087.

[14]PERRINS E,KUMARASWAMY B. Decision feedback detectors for SOQPSK[J]. IEEE Trans on Communications,2009,57(8): 2359-2368.

[15]NELSON T,PERRINS E and RICE M. Near optimal common detection techniques for shaped offset QPSK and Feher’s QPSK[J]. IEEE Transactions on Communications,2008,56(5): 724-735.