一類具有體液免疫反應，且染病細胞存在返回期的HIV模型的全局穩(wěn)定性分析?

葉宏,夏米西努爾·阿布都熱合曼

(新疆大學 數學與系統(tǒng)科學學院，新疆 烏魯木齊830046)

0 引言

近幾十年來,越來越多的學者開始從微觀的角度來研究人體免疫缺陷疾病（HIV）的發(fā)病機理,大量的HIV模型被學者提出.免疫系統(tǒng)是機體抗御體外有機物入侵的重要機構,具有識別“自己”和“非己”的功能.而免疫反應是當人體感染病毒后用于控制和消滅病毒所不可忽略的因素.當病原體入侵時人體本能地會產生免疫反應[1?2].免疫反應主要分為體液免疫和CTL（cytotoxic T lymphpcyte）免疫反應.病毒侵入宿主體內并在靶器官細胞中增殖,與機體發(fā)生相互作用的過程稱為病毒感染.當病毒侵入宿主體內突破第一道防線后,干擾素和自然殺傷細胞（NK細胞）在第二道防線中占重要地位.病毒逃脫了第二道防線抵御后,就面臨第三道防線,這就是特異性體液免疫和細胞免疫,它們在對抗病毒感染中各有特定作用.體液免疫是通過效應B細胞（漿細胞）分泌抗體,并與抗原發(fā)生特異性結合來清除抗原;細胞免疫是通過效應T細胞（殺傷T細胞）分泌穿孔素使靶細胞溶解死亡.在許多的病毒感染中,CTL細胞攻擊染病細胞,抗體攻擊病毒,從而在疾病的預防方面,這兩種免疫發(fā)揮著很重要的作用.

近年來,對于具有抗體免疫反應和CTL免疫反應的病毒動力學模型的性態(tài)已有一定的研究[3,4].在瘧疾感染中體液免疫比細胞免疫更有效[5].在文獻[6]中,作者Bruno Buonomo等研究了染病細胞存在返回期的HIV模型,即在這一時期,染病細胞可能有一部分會返回到健康細胞當中.為了研究具有細胞免疫的HIV模型,Lv Cuifang等[7]考慮了具有細胞免疫且為Beddington-DeAngelis發(fā)生率的HIV模型.在最近幾年,文獻[8-9]中用這種形式的發(fā)生率來研究HIV模型的穩(wěn)定性.本文中,我們研究具有體液免疫反應,且考慮染病細胞存在返回期,同時發(fā)生率為Beddington-DeAngelis形式的HIV模型如下：

由泛函微分方程[10]的基本理論知系統(tǒng)（1）有滿足初始條件（2）的解.容易證明系統(tǒng)（1）滿足初始條件（2）的解的正性和有界性.

1 預備知識

這一部分,給出一些預備知識,如平衡點的存在性和基本再生數.

若R0>1,則系統(tǒng)(1)存在無免疫平衡點其中

這里記

下面給出免疫基本再生數R1.假設R0>1,在沒有體液免疫作用時,病毒在每個單位時間內的數量為V1,由系統(tǒng)(1)中的第五個方程可知,由病毒在每個單位時間內的刺激所產生的B細胞數量為gV1,則一個B細胞在整個生命周期中的數量為

從而

若R1>1,則系統(tǒng)(1)存在免疫平衡點其中

由以上討論,對于系統(tǒng)(1),得到定理1.

定理1有下面結論:

(ii)當R0>1,則系統(tǒng)（1）存在無免疫平衡點

(iii)當R1>1,則系統(tǒng)（1）存在免疫平衡點

2 Q0的全局穩(wěn)定性

這一部分，討論當R0≤1時無病平衡點Q0的全局漸近穩(wěn)定性.

定理2若R0≤1,則無病平衡點Q0是全局漸近穩(wěn)定的.

證明考慮一個Lyapunov函數

其中

則

從而

3 Q1的全局穩(wěn)定性

這一部分,考慮無免疫平衡點Q1的全局漸近穩(wěn)定性.

定理3若R0>1,且并且R1≤1,則無免疫平衡點Q1是全局漸近穩(wěn)定的.

證明考慮一個Lyapunov函數

注意到

因此得到

其中

則

根據算數平均值不小于幾何平均值,有

從而若R1≤1并且這里dT1≥ωE1,即經過計算知,此條件等價于以下不等式:

當且僅當T=T1,E=E1,I=I1,V=V1,B=0時,有由LaSalle不變原理得無免疫平衡點Q1的全局漸近穩(wěn)定性.

4 Q2的全局穩(wěn)定性

這一部分,討論免疫平衡點Q2的全局漸近穩(wěn)定性.

定理4當R1>1 并且時,則免疫平衡點Q2是全局漸近穩(wěn)定的.

證明考慮一個Lyapunov函數

注意到

因此得到

其中

則

從而

根據算數平均值不小于幾何平均值,有

5 結論

討論了具有Beddington-DeAngelis發(fā)生率和體液免疫反應的HIV模型的全局穩(wěn)定性.當R0≤1時,無病平衡點Q0是全局漸近穩(wěn)定的.當并且R1≤1時,無免疫平衡點Q1是全局漸近穩(wěn)定的.當R1>1 并且時,免疫平衡點Q2是全局漸近穩(wěn)定的.