一類常系數非線性時滯差分方程的有界性和振動性

明亞東，安存斌，陳慧琴

（山西大同大學數學與計算機科學學院,山西大同037009）

一類常系數非線性時滯差分方程的有界性和振動性

明亞東，安存斌，陳慧琴

（山西大同大學數學與計算機科學學院,山西大同037009）

研究了一類常系數非線性時滯差分方程，利用迭代算法和數學歸納法,論證了初值問題的解的存在唯一性及有界性，利用差分方程的比較定理證明了方程的非振動解的存在性。

時滯；平衡解；存在性；有界性；振動性

非線性時滯微分方程

是S.K.Saker[1]作為一個造血模型提出的,這里p(t)是血液循環時成熟細胞的密度,τ是骨髓中未成熟細胞的生成與成熟釋放之間的時間。關于它的振動性和全局吸引性可參考文獻[1-2]。

考慮具有逐段常數變元的方程

這里[x]表示不超過x的最大整數,τ為正整數。對于n≤t＜n+1時,(2)可寫成

或

對(3)兩邊從n到t積分并整理得

令t→(n+1)-,得

按照生物學的解釋,方程(5)有正初值

定義1一個解pn=p叫做方程(5)的正平衡解,如果

定義2差分方程的一個解{pn}關于平衡點 p是振動的,如果{pn-}既不是最終正的,也不是最終負的。

引理1方程(5)的平衡解有下列三種情形:

引理2非線性差分方程

這里 β＞0,γ∈(0,1),α,m∈N,1＜α＜m,且設 pn是方程(8)的滿足初始條件p0的解,那么

先證明方程(5)及(7)的每個解是正的且有界,再證明(5)一定存在關于p的非振動解。

定理1假設(6)成立,則初值問題(5)及(7)存在唯一解pn,且pn有界。

證明 考慮(6)，(7)和

由迭代運算[4],即知pn唯一存在,由數學歸納法知pn＞0,n=1,2,…。

由數學歸納法可證

定理得證。

下面證明方程(5)一定存在關于平衡解p非振動的解。

定理2假設1＜α＜m,那么方程(5)一定存在一個解pn,滿足

證明因為

下面說明存在初始條件:p-τ,p-τ+1,…,p-1,p0,使對應的(5),(7)的解滿足

i=-τ,-τ+1,…,-1,0,那么

對上式兩邊從0到τ求和,得

因此,

下面證明

注意到 f(x)在[0,ω1]上單調增加及z0＜ω＜ω1,由方程(5)可知當n∈[τ,n1],

設zn是下列初值問題的解

根據比較定理[5],

故 有 zτ+1＜zτ＜z0。若 存 在 n2＞τ,使 zn2≥z0,且當n∈[τ,n2),zn＜z0。由方程（15）,當n∈[τ,n2),

說明 zn在[τ,n2)上單調遞減,從而與矛盾。故對所有n＞0,有zn＜z0。因此

[1]S H Saker.Oscillation and global attractivity in hematopoiesis model with delay time[J].Applied Mathematics and Computation,2003，136（2∕3）:27-36.

[2]M C Mackey,L Glass.Oscillation and chaos in physiological control system[J].Science,1977(197):287-289.

[3]明亞東，安存斌.一類非線性差分方程的平衡解及解的漸近性和有界性[J]．山西大同大學學報:自然科學版，2010，26(4)：3-5．

[4]李有法，李曉勤.數值計算方法[M].2版，北京：高等教育出版社，2005．

[5]王聯，王慕秋.常差分方程[M].烏魯木齊：新疆大學出版社，1991．

Bound Behavior and Oscillation of a Nonlinear Delay Difference Equation with Constant Coefficients

MING Ya-dong,AN Cun-bin，CHEN Hui-qin
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

In this paper,a nonlinear delay difference equation with constant coefficients is considered.Existence and bound be?havior of the solution of initial value problem are demonstrated by iterate algorithm and mathematical induction.The existence of nonoscillate solution is discussed by comparison theorem of difference equation.

delay;steady solution;existence;bound behavior;oscillation

O175.7

A

1674-0874(2014)04-0004-03

2014-02-12

明亞東（1966-）,女,遼寧綏中人,碩士,副教授,研究方向:差分方程。

〔責任編輯 高海〕