具變符號系數的四階中立型時滯微分方程的振動性

朱紅霞，郭 芳，郭福日，韓效宥

（1.河北廊坊師范學院數學與信息科學學院，河北廊坊065000；2.山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009；3.北方工業大學理學院，北京00041)

具變符號系數的四階中立型時滯微分方程的振動性

朱紅霞1，郭 芳2，郭福日2，韓效宥3

（1.河北廊坊師范學院數學與信息科學學院，河北廊坊065000；2.山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009；3.北方工業大學理學院，北京00041)

當系數q(t)變號時，研究了四階中立型時滯微分方程[y (t)+p(t)y(t-τ)](4)+q(t)y(t-τ)=0的振動性,得到該方程振動的一個充分性定理。

時滯;四階;振動性

常微分方程的振動理論是穩定性理論研究的重要分支,對于具有不變系數和變系數的二階中立型微分方程的振動性問題已經有很多的研究成果[1-4],但是對于具有變系數的高階中立型微分方程解的振動性的研究并不多見，本文研究形如

其中：

p(t)∈C([t0,+∞),(0,1)) q(t)∈C([t0,+∞),R)τ,σ為某一正常數。

這一具有變系數的四階中立型時滯微分方程振動性。并得到了該方程振動的一個充分性定理。該定理推廣了四階微分方程當系數不變號時原有的振動性結論。對于方程(1)的變號系數q(t),若記：

則：q(t)=q+(t)+q-(t)。

定義若微分方程的非平凡解既不最終為正,也不最終為負,則稱該方程的非平凡解是振動的。如果微分方程的任意一個非平凡解都是振動的,則稱該方程是振動的。

定理：若方程（1）滿足下列條件：

（C3） 對于任意N≥t0，存在b＞a≥N,使得對于t∈[a,b]，有q-(t)≡0，且b-a＞σ則方程（1）是振動的。

證明 本定理利用反證法來證。

假設方程（1）是不振動的，不妨假設方程存在一個最終正解y(t)，則存在t1≥t0，當t≥t1時，有y(t)＞0且y(t-τ)＞0,y(t-σ)＞0。

x(t)=y(t)+p(t)y(t-τ)，且x(t)＞y(t)，則方程（1）變形為：

對于方程（2）兩邊從t1到t四次積分，整理可得：

則有：

且有z′(t)≥0,z(2)(t)≥0,z(3)(t)≥0。

故存在t2≥t1，當t≥t2時，y(t-σ)≤x(t-σ)≤z(t-σ)≤z(t),

對上述不等式兩邊從t2到t積分四次，整理得：

又由于:

顯然存在t3≥t2，當t≥t3時，有-q-(t)y(t-σ)≤e-t,

那 么 方 程（1）可 變 形 為 ：[x(t)-z1(t)](4)=-q+(t)y(t-σ)，

易見 [x(t)-z1(t)](4)小于或等于零但不最終為零。

所 以 ，x(t)-z1(t),[x(t)-z1(t)]′，[x(t)-z1(t)](2)，[x(t)-z1(t)](3)最終單調不變號。

下面證明x(t)-z1(t)最終大于0。

下面證明x(t)-z1(t)最終大于零，分兩種情況來證：

（Ⅰ）當t′k≥ak+σ 時

由于k→+∞ 時，t′k→+∞ ，所以存在 N，當k≥N時，有故x(t)-z1(t)最終大于0。

（Ⅱ）當ak≤t′k＜ak+σ 時，

綜上所述，存在t4≥t3，當t≥t4時，有x(t)-z1(t)＞0，x(t-σ)-z1(t-σ)＞0。

w(t)=x(t)-z1(t)，則原方程化為：

w(4)(t)=-q+(t)y(t-σ)。

顯然當t≥t4時，w(t)＞0，w(4)(t)≤0且最終不為零，所以w′(t)＞0,w(3)(t)＞0，則存在t5≥t4，C1＞0，當t＞t5時，w(t)＞C1。

故，x(t)=β(t)w(t)+w(t)=[1+β(t)]w(t)，則有

對上式整理得：

對上式兩邊，當t—＞+∞時，

有w(t)—＞-∞，這與w(t)最終為正矛盾。所以方程（1）不存在最終為正的解，同理可證方程（1）也不存在最終為負的解，所以方程（1）是振動的。

[1]王其如.二階非線性微分方程的振動準則[J].數學學報,2001,44(2):371-376.

[2]李瑞紅，王幼斌.二階變系數中立型時滯微分方程的振動性[J].數學的實踐與認識,2009（12）:238-243.

[3]張建國,莊需芹.一類具變號系數的二階非線性變時滯微分方程的振動性[J].數學的實踐與認識,2007(16):184-187.

[4]喬節增，張建國.二階非線性中立型微分方程的振動性[J].數學的實踐與認識,2007,37(6）:167-170.

Oscillation of Fourth Order Neutral Delay Differential Equation with Variable Coefficient

ZHU Hong-xia1，GUO Fang2，GUO Fu-ri2，HAN Xiao-you3

(1.College of Mathematics&Information Science,Langfang Teachers University,Langfang Hebei,065000; 2.College of Mathematics&Computer science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009; 3.College of Science,North China University of Technolofy,Beijing,100041)

This paper studies the oscillation of a kind of fourth-order neutral delay differential equation [y(t)+p(t)y( t-τ)](4)+ q(t)y(t-τ)=0,when the coefficientq(t)is variable,and obtained a sufficient condition for the oscillation of this equation.

delay;fourth order;oscillation

O175.1

A

1674-0874(2014)04-0007-02

2014-02-26

廊坊師范學院校級青年基金項目[LSZQ201002]

朱紅霞（1978-），女，河北肅寧人，碩士，講師，研究方向：微分方程。

〔責任編輯 高海〕