流動水中小船在不同坐標系下運動軌跡研究

朱云舟+++夏清華+++楊偉+++梁登龍

摘 要：研究了小船在不同坐標系下的運動軌跡，在直角坐標系下，討論了小船相對速度、牽連速度取某些特定值時的運動軌跡，所得結果直觀顯示了軌跡形狀。

關鍵詞：極坐標；直角坐標；軌跡方程

引言

在質點力學中，常見問題之一是求解質點運動軌跡，方法是先求出質點運動學方程，然后消去時間t，得出質點運動軌跡；或者是先列出質點運動微分方程，消去方程中的時間t，得出質點軌道微分方程，求解軌道微分方程，得到質點軌道方程。為了計算方便，通常還要考慮選取合適坐標系，如小船在流動水中運動，求解軌道方程[1]；質點在有心力作用下運動，求軌道方程等問題，均采用平面極坐標[1]。文章選取平面直角坐標系，求解出了小船在流動水中運動軌道方程，并討論了小船相對速度和牽連速度取某些特定值時，小船運動軌跡形狀。

1 極坐標和直角坐標下小船運動軌跡

文獻[1]給出了這樣的問題：小船M被水沖走后，由一蕩槳人以不變的相對速度v2朝岸上A點劃回。假定河流速度v1沿河寬不變，且小船可以看成一個質點，求船的軌跡。

1.1 極坐標下小船運動軌跡的求解

圖1 水流速度v1，相對速度v2

以A為極點，岸為極軸建立坐標系，如圖1，船沿垂直于r的方向的速度為-v1sin？覬，船沿徑向r方向的速度為v2和v1沿徑向的分量的合成，即

（1）

（2）

兩式相除，得 （3）

對兩邊積分，得

（4）

設■=k，■=？琢，C為常數

即 （5）

代入初始條件r=r0，？漬=？漬0。設■=？琢0，有

，得 （6）

（7）

此即小船在極坐標系中的軌跡方程。

1.2 直角坐標下小船軌跡的求解

建立如圖2所示直角坐標系。

沿x方向： （8）

沿y方向： （9）

兩式相除，得 （10）

這是個可分離變量的方程，令■=u

由微分知識，知

（11）

（12）

化簡得 （13）

解得 （14）

其中C為常數

設初始條件x=x0，y=y0

將初始條件代入（14）式，得

（15）

（16）

此即小船在直角坐標系中的軌跡方程。

2 結束語

（1）當v2=0，即船的相對速度為零時，由（8）式知：x=v1t+x0，y=y0，其中：x0，y0為t=0時，小船初始位置的坐標，由此可見，小船的運動軌跡為一直線。

（2）當v2=v1，即船的相對速度等于水流速度時，小船運動的軌跡方程：x=-■y2+■。

（3）當v1=0，即在靜水中時，由（10）式知：■=■，y=ax，a為常數，船的運動軌跡為一直線。

由此可見，采用極坐標和直角坐標都能求解出小船在小河中的運動軌跡。用極坐標求解小船的軌跡，求解步驟少，計算簡便；用直角坐標求解小船的軌跡，運算較為復雜，但結果易于討論，直觀性好，也符合利用直角坐標的習慣。

參考文獻

[1]周衍柏.理論力學教程[M].北京：高等教育出版社，2009.7，22-23.

[2]高等數學[M].上海：同濟大學出版社，2009.7.

作者簡介：朱云舟（1993-），男，湖北武穴人，本科，研究方向：大學物理教學。

夏清華（1963-）男，教授，籍貫：湖北省鄂州市。研究方向：非線性物理。endprint

摘 要：研究了小船在不同坐標系下的運動軌跡，在直角坐標系下，討論了小船相對速度、牽連速度取某些特定值時的運動軌跡，所得結果直觀顯示了軌跡形狀。

關鍵詞：極坐標；直角坐標；軌跡方程

引言

在質點力學中，常見問題之一是求解質點運動軌跡，方法是先求出質點運動學方程，然后消去時間t，得出質點運動軌跡；或者是先列出質點運動微分方程，消去方程中的時間t，得出質點軌道微分方程，求解軌道微分方程，得到質點軌道方程。為了計算方便，通常還要考慮選取合適坐標系，如小船在流動水中運動，求解軌道方程[1]；質點在有心力作用下運動，求軌道方程等問題，均采用平面極坐標[1]。文章選取平面直角坐標系，求解出了小船在流動水中運動軌道方程，并討論了小船相對速度和牽連速度取某些特定值時，小船運動軌跡形狀。

1 極坐標和直角坐標下小船運動軌跡

文獻[1]給出了這樣的問題：小船M被水沖走后，由一蕩槳人以不變的相對速度v2朝岸上A點劃回。假定河流速度v1沿河寬不變，且小船可以看成一個質點，求船的軌跡。

1.1 極坐標下小船運動軌跡的求解

圖1 水流速度v1，相對速度v2

以A為極點，岸為極軸建立坐標系，如圖1，船沿垂直于r的方向的速度為-v1sin？覬，船沿徑向r方向的速度為v2和v1沿徑向的分量的合成，即

（1）

（2）

兩式相除，得 （3）

對兩邊積分，得

（4）

設■=k，■=？琢，C為常數

即 （5）

代入初始條件r=r0，？漬=？漬0。設■=？琢0，有

，得 （6）

（7）

此即小船在極坐標系中的軌跡方程。

1.2 直角坐標下小船軌跡的求解

建立如圖2所示直角坐標系。

沿x方向： （8）

沿y方向： （9）

兩式相除，得 （10）

這是個可分離變量的方程，令■=u

由微分知識，知

（11）

（12）

化簡得 （13）

解得 （14）

其中C為常數

設初始條件x=x0，y=y0

將初始條件代入（14）式，得

（15）

（16）

此即小船在直角坐標系中的軌跡方程。

2 結束語

（1）當v2=0，即船的相對速度為零時，由（8）式知：x=v1t+x0，y=y0，其中：x0，y0為t=0時，小船初始位置的坐標，由此可見，小船的運動軌跡為一直線。

（2）當v2=v1，即船的相對速度等于水流速度時，小船運動的軌跡方程：x=-■y2+■。

（3）當v1=0，即在靜水中時，由（10）式知：■=■，y=ax，a為常數，船的運動軌跡為一直線。

由此可見，采用極坐標和直角坐標都能求解出小船在小河中的運動軌跡。用極坐標求解小船的軌跡，求解步驟少，計算簡便；用直角坐標求解小船的軌跡，運算較為復雜，但結果易于討論，直觀性好，也符合利用直角坐標的習慣。

參考文獻

[1]周衍柏.理論力學教程[M].北京：高等教育出版社，2009.7，22-23.

[2]高等數學[M].上海：同濟大學出版社，2009.7.

作者簡介：朱云舟（1993-），男，湖北武穴人，本科，研究方向：大學物理教學。

夏清華（1963-）男，教授，籍貫：湖北省鄂州市。研究方向：非線性物理。endprint

摘 要：研究了小船在不同坐標系下的運動軌跡，在直角坐標系下，討論了小船相對速度、牽連速度取某些特定值時的運動軌跡，所得結果直觀顯示了軌跡形狀。

關鍵詞：極坐標；直角坐標；軌跡方程

引言

在質點力學中，常見問題之一是求解質點運動軌跡，方法是先求出質點運動學方程，然后消去時間t，得出質點運動軌跡；或者是先列出質點運動微分方程，消去方程中的時間t，得出質點軌道微分方程，求解軌道微分方程，得到質點軌道方程。為了計算方便，通常還要考慮選取合適坐標系，如小船在流動水中運動，求解軌道方程[1]；質點在有心力作用下運動，求軌道方程等問題，均采用平面極坐標[1]。文章選取平面直角坐標系，求解出了小船在流動水中運動軌道方程，并討論了小船相對速度和牽連速度取某些特定值時，小船運動軌跡形狀。

1 極坐標和直角坐標下小船運動軌跡

文獻[1]給出了這樣的問題：小船M被水沖走后，由一蕩槳人以不變的相對速度v2朝岸上A點劃回。假定河流速度v1沿河寬不變，且小船可以看成一個質點，求船的軌跡。

1.1 極坐標下小船運動軌跡的求解

圖1 水流速度v1，相對速度v2

以A為極點，岸為極軸建立坐標系，如圖1，船沿垂直于r的方向的速度為-v1sin？覬，船沿徑向r方向的速度為v2和v1沿徑向的分量的合成，即

（1）

（2）

兩式相除，得 （3）

對兩邊積分，得

（4）

設■=k，■=？琢，C為常數

即 （5）

代入初始條件r=r0，？漬=？漬0。設■=？琢0，有

，得 （6）

（7）

此即小船在極坐標系中的軌跡方程。

1.2 直角坐標下小船軌跡的求解

建立如圖2所示直角坐標系。

沿x方向： （8）

沿y方向： （9）

兩式相除，得 （10）

這是個可分離變量的方程，令■=u

由微分知識，知

（11）

（12）

化簡得 （13）

解得 （14）

其中C為常數

設初始條件x=x0，y=y0

將初始條件代入（14）式，得

（15）

（16）

此即小船在直角坐標系中的軌跡方程。

2 結束語

（1）當v2=0，即船的相對速度為零時，由（8）式知：x=v1t+x0，y=y0，其中：x0，y0為t=0時，小船初始位置的坐標，由此可見，小船的運動軌跡為一直線。

（2）當v2=v1，即船的相對速度等于水流速度時，小船運動的軌跡方程：x=-■y2+■。

（3）當v1=0，即在靜水中時，由（10）式知：■=■，y=ax，a為常數，船的運動軌跡為一直線。

由此可見，采用極坐標和直角坐標都能求解出小船在小河中的運動軌跡。用極坐標求解小船的軌跡，求解步驟少，計算簡便；用直角坐標求解小船的軌跡，運算較為復雜，但結果易于討論，直觀性好，也符合利用直角坐標的習慣。

參考文獻

[1]周衍柏.理論力學教程[M].北京：高等教育出版社，2009.7，22-23.

[2]高等數學[M].上海：同濟大學出版社，2009.7.

作者簡介：朱云舟（1993-），男，湖北武穴人，本科，研究方向：大學物理教學。

夏清華（1963-）男，教授，籍貫：湖北省鄂州市。研究方向：非線性物理。endprint