立足學生活動 獲得“教”“學”雙贏

一、案例主題分析與設計

本節課的主題是蘇科版義務教育課程標準實驗教科書八年級數學（下冊）第八章第3節內容——探索《頻率與概率》，它是后面研究等可能條件下概率的基礎，是“概率“的重要內容。《義務教育數學課程標準》指出：有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式，數學教學是數學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程。本節課將以“生活·數學”“活動·思考”“表達·應用”為主線開展課堂教學，讓學生在“玩”中學習，并在活動中激發學生認真思考、積極探索，主動獲取數學知識，從而促進學生研究性學習方式的形成，同時通過小組內學生相互協作研究，培養學生的合作性學習精神。

二、案例描述

1.情境創設

師：最近大家都比較關注馬航MH370飛機失事的報道，飛機失事會給旅客造成意外傷害。

生：旅客買保險了嗎？

生：這下馬航要賠大本了。

師：如果一家保險公司要為購買機票的旅客進行保險，應該向旅客收取多少保費呢？為此，保險公司必須精確計算出飛機失事的可能性有多大。

師：類似這樣的問題在我們的日常生活中也經常遇到，你能舉出幾個隨機事件的例子嗎？

生：明天下雨的可能性有多大？

生：買張彩票中獎的可能性有多大？

生：在裝有彩球的袋子中，任意摸出的1個球恰好是紅球的可能性有多大？

生：拋擲1枚均勻骰子，向上一面的點數是6點的可能性有多大？

[說明]學生舉出一些隨機事件，注重學生從生活中獲得直觀經驗。

師：隨機事件發生的可能性有大有小。一個事件發生可能性大小的數值，稱為這個事件的概率。若用A表示一個事件，則我們就用P（A）表示事件A發生的概率。

師：你們知道必然事件的概率是多少嗎？

生：必然事件發生的可能性是100%，那概率就是1了。

生：不可能事件發生的可能性是0，那概率就是0了。

師：那你能告訴我隨機事件發生的概率是多少呢？

生：（不知如何回答）

師：隨機事件發生的概率是0和1之間的一個數，即0

■

師：對于一個隨機事件，它發生的概率是由它自身決定的，且是客觀存在的，概率是隨機事件自身的屬性，它反映這個隨機事件發生的可能性大小。

2.學生活動

同桌2人為一小組，一人負責做試驗，一人負責記錄。提前準備好質地均勻的硬幣，教師布置游戲并說明規則：每個人拋擲硬幣一次，稱為一次實驗。

師：一次試驗中拋擲硬幣出現哪幾種結果？

生：有正面朝上和反面朝上2種結果。

師：你認為是正面朝上的可能性大，還是反面朝上的可能性大？

師：每一小組做50次試驗，依次記錄每次正面朝上的結果，將試驗結果填寫在所發的表格中。

■

師：根據表格，制作相應的頻數分布直方圖。

生：（忙碌的試驗中）

[說明]給學生充足的時間，教師不能作“看客”，應深入學生的活動中去，了解學生試驗的結果、討論的焦點，認知的過程。

（5分鐘后）

師：那我們請幾位小組代表來講講各自試驗中硬幣正面朝上的頻率是多少？

小組代表：0.67。

小組代表：0.47。

小組代表：0.50。

小組代表：……

師：他們說得有道理嗎？大家的答案為什么會不一樣呢？

生：每位同學都是根據自己的試驗結果進行計算的，因此都有道理，但因為試驗具有隨機性，因此結果不同。

師：如果增加試驗次數呢？

生：（不知如何回答）

師：六個同學組成一個小組，分別匯總其中的兩人、三人、四人、五人、六人的試驗數據相應得到試驗100次、150次、200次、250次、300次時硬幣正面朝上的頻率，填寫在所發的表格中，并繪制相對應的折線統計圖。

（匯總數據中，有的負責收集數據，有的負責整理數據，有的負責填統計表，有的繪折線統計圖，有的負責總結匯報，忙得不可開交）

[說明]老師在各小組間巡回指導，觀察各小組成員是否具有合作意識，是否積極活動，各組有何疑難及問題，及時引導和點撥，確保各小組順利進行，最后各小組記錄好本組結論，以便組間討論。

師：在上面的試驗中，你發現了什么？增加試驗次數后頻率發生怎樣的變化？

小組代表：我通過不同試驗次數的折現統計圖發現，隨著試驗次數的增加，頻率的波動變小了。

小組代表：一個人的試驗數據相差可能較大，而小組匯總后的試驗數據相差較小。

小組代表：隨著試驗次數的增加，試驗數據波動不大，比較穩定。

小組代表：試驗次數較大時，試驗頻率比較穩定。

……

[說明]對凡是表述合理的小組提出肯定，并注意尋找各個小組的閃光點進行表揚。

師：各小組說得都很好，請接著討論，當試驗次數很大時，你估計硬幣正面朝上趨于哪一個穩定值？

小組代表：0.50。

師：其他小組同意嗎？

其他小組：同意。

[說明]關注學生是否積極參加小組討論，是否有自己的觀點，小組代表是否能將自己的觀點清晰且有條理地表達出來。

師：下面我們用多媒體課件將各組數據集中起來，它與你們的估計相近嗎？

小組：（各自檢驗）

師：想一想硬幣正面朝上的頻率與硬幣正面朝上的概率有什么關系？

生：當試驗次數很大時，硬幣正面朝上的頻率穩定在相應的概率附近。

師：你對求一個事件的概率有什么認識嗎？

生：可以通過多次試驗，用一個事件發生的頻率來估計這一事件發生的概率。

師：非常好，一般地在大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率會穩定在某一個常數附近擺動，這個常數就是事件A發生的概率P（A）。

[說明]注重學生對概率的意義理解，可要求學生用自己的語言來描述自己對問題的理解。

師：拋擲一枚質量均勻的硬幣，出現“正面”和“反面”的概率均等，因此拋擲1000次的話，一定有500次“正”，500次“反”。你對這個問題有什么看法？

生：既然出現“正面”和“反面”的概率都是二分之一，那就是500次“正”，500次“反”。

生：我同意這個解釋，1000的一半不就是500嗎？

……

師：（總結）錯。雖然“正”“反”出現的概率均為二分之一，但頻率并不等同于概率，它只是一個近似值，即使是多次拋擲之后，頻率也只能是與概率十分相近，但不一定相等，因此拋1000次硬幣，也不一定有500次“正”，500次“反”。

師：你們課后可以拋擲圖釘分別匯總各個小組的試驗結果，具體見課本第47頁。

師：（總結）一般地，在一定條件下大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率會穩定地在某一個常數附近擺動，這個常數就是事件A發生的概率P（A）。事實上，事件A發生的概率P（A）的精確值，即這個常數還是未知的，但是在實際工作中，人們常把試驗次數很大時事件發生的頻率作為概率的近似值。

3.課堂小結

師：你是怎么理解概率的？

生：一般地在大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率會穩定在某一個常數附近擺動，這個常數就是事件A發生的概率。

[說明]注重學生在不同的情境中參與實踐活動，能否對試驗頻率來估計隨機事件發生的理論概率的思想，借助大量重復試驗發現：試驗頻率不一定等于理論概率，雖然多次試驗的頻率逐步穩定于理論概率，但也可能發現，無論做多少次試驗，試驗概率仍僅是理論概率的一個近似值，而不能等同于理論概率。

三、案例反思

這節課的教學實現了三個方面的轉變：

1.教師的轉變

教師的角色從知識的傳授者轉變為學生學習的組織者、引導者、合作者與共同研究者。教師成為學生的導師、伙伴，在課堂上除了引導學生活動外，還要認真聆聽學生活動的過程和通過活動所得的知識或方法。

2.學生的轉變

學生的角色從學會轉變為會學。本節課學生不是簡單地“學”數學，而是深入地“做”數學。學生在試驗中體會頻率的穩定性，形成對概率的全面理解，發展了初步的辯證思維能力。學生通過大量試驗還會發現，試驗頻率并不一定等于概率，雖然多次試驗的頻率逐漸穩定于其理論概率，但也可能無論做多少次試驗，試驗頻率仍然是理論的一個近似值，而不能等同于理論概率，兩者存在著一定的偏差，應該說，偏差的存在是正常、經常的。概率應盡量讓學生通過具體試驗領會這一點，從而形成對某一事件發生的概率的較為全面的理解，初步形成隨機觀念，發展學生初步的辯證思維能力。

3.課堂氛圍的轉變

整節課以“流暢、開放、合作、引導”為基本特征，整節課學生與學生、學生與教師之間以“對話”“討論”為出發點，以互助、合作為手段，以解決問題為目的，讓學生在一個較為寬松的環境中自主選擇獲得成功的方向，判斷發現的價值。教師在組織全班學生進行討論時，師生共同進行評價并對各組得到的結論加以歸納，給更多的學生參與的機會，多肯定，多表揚，多鼓勵，使他們感受到成功的體驗。

總之，在數學教學的花園里，教師需要為學生布置好和諧的場景和明晰的路標，讓他們自由快活地跳舞！

作者簡介：李艷艷，女，1984年10月出生，本科學歷，現任教于：江蘇省南京市六合區新集中學，在教學一線從事數學新課改小班化教學模式的研究。endprint

生：當試驗次數很大時，硬幣正面朝上的頻率穩定在相應的概率附近。

師：你對求一個事件的概率有什么認識嗎？

生：可以通過多次試驗，用一個事件發生的頻率來估計這一事件發生的概率。

師：非常好，一般地在大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率會穩定在某一個常數附近擺動，這個常數就是事件A發生的概率P（A）。

[說明]注重學生對概率的意義理解，可要求學生用自己的語言來描述自己對問題的理解。

師：拋擲一枚質量均勻的硬幣，出現“正面”和“反面”的概率均等，因此拋擲1000次的話，一定有500次“正”，500次“反”。你對這個問題有什么看法？

生：既然出現“正面”和“反面”的概率都是二分之一，那就是500次“正”，500次“反”。

生：我同意這個解釋，1000的一半不就是500嗎？

……

師：（總結）錯。雖然“正”“反”出現的概率均為二分之一，但頻率并不等同于概率，它只是一個近似值，即使是多次拋擲之后，頻率也只能是與概率十分相近，但不一定相等，因此拋1000次硬幣，也不一定有500次“正”，500次“反”。

師：你們課后可以拋擲圖釘分別匯總各個小組的試驗結果，具體見課本第47頁。

師：（總結）一般地，在一定條件下大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率會穩定地在某一個常數附近擺動，這個常數就是事件A發生的概率P（A）。事實上，事件A發生的概率P（A）的精確值，即這個常數還是未知的，但是在實際工作中，人們常把試驗次數很大時事件發生的頻率作為概率的近似值。

3.課堂小結

師：你是怎么理解概率的？

生：一般地在大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率會穩定在某一個常數附近擺動，這個常數就是事件A發生的概率。

[說明]注重學生在不同的情境中參與實踐活動，能否對試驗頻率來估計隨機事件發生的理論概率的思想，借助大量重復試驗發現：試驗頻率不一定等于理論概率，雖然多次試驗的頻率逐步穩定于理論概率，但也可能發現，無論做多少次試驗，試驗概率仍僅是理論概率的一個近似值，而不能等同于理論概率。

三、案例反思

這節課的教學實現了三個方面的轉變：

1.教師的轉變

教師的角色從知識的傳授者轉變為學生學習的組織者、引導者、合作者與共同研究者。教師成為學生的導師、伙伴，在課堂上除了引導學生活動外，還要認真聆聽學生活動的過程和通過活動所得的知識或方法。

2.學生的轉變

學生的角色從學會轉變為會學。本節課學生不是簡單地“學”數學，而是深入地“做”數學。學生在試驗中體會頻率的穩定性，形成對概率的全面理解，發展了初步的辯證思維能力。學生通過大量試驗還會發現，試驗頻率并不一定等于概率，雖然多次試驗的頻率逐漸穩定于其理論概率，但也可能無論做多少次試驗，試驗頻率仍然是理論的一個近似值，而不能等同于理論概率，兩者存在著一定的偏差，應該說，偏差的存在是正常、經常的。概率應盡量讓學生通過具體試驗領會這一點，從而形成對某一事件發生的概率的較為全面的理解，初步形成隨機觀念，發展學生初步的辯證思維能力。

3.課堂氛圍的轉變

整節課以“流暢、開放、合作、引導”為基本特征，整節課學生與學生、學生與教師之間以“對話”“討論”為出發點，以互助、合作為手段，以解決問題為目的，讓學生在一個較為寬松的環境中自主選擇獲得成功的方向，判斷發現的價值。教師在組織全班學生進行討論時，師生共同進行評價并對各組得到的結論加以歸納，給更多的學生參與的機會，多肯定，多表揚，多鼓勵，使他們感受到成功的體驗。

總之，在數學教學的花園里，教師需要為學生布置好和諧的場景和明晰的路標，讓他們自由快活地跳舞！

作者簡介：李艷艷，女，1984年10月出生，本科學歷，現任教于：江蘇省南京市六合區新集中學，在教學一線從事數學新課改小班化教學模式的研究。endprint

生：當試驗次數很大時，硬幣正面朝上的頻率穩定在相應的概率附近。

師：你對求一個事件的概率有什么認識嗎？

生：可以通過多次試驗，用一個事件發生的頻率來估計這一事件發生的概率。

師：非常好，一般地在大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率會穩定在某一個常數附近擺動，這個常數就是事件A發生的概率P（A）。

[說明]注重學生對概率的意義理解，可要求學生用自己的語言來描述自己對問題的理解。

師：拋擲一枚質量均勻的硬幣，出現“正面”和“反面”的概率均等，因此拋擲1000次的話，一定有500次“正”，500次“反”。你對這個問題有什么看法？

生：既然出現“正面”和“反面”的概率都是二分之一，那就是500次“正”，500次“反”。

生：我同意這個解釋，1000的一半不就是500嗎？

……

師：（總結）錯。雖然“正”“反”出現的概率均為二分之一，但頻率并不等同于概率，它只是一個近似值，即使是多次拋擲之后，頻率也只能是與概率十分相近，但不一定相等，因此拋1000次硬幣，也不一定有500次“正”，500次“反”。

師：你們課后可以拋擲圖釘分別匯總各個小組的試驗結果，具體見課本第47頁。

師：（總結）一般地，在一定條件下大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率會穩定地在某一個常數附近擺動，這個常數就是事件A發生的概率P（A）。事實上，事件A發生的概率P（A）的精確值，即這個常數還是未知的，但是在實際工作中，人們常把試驗次數很大時事件發生的頻率作為概率的近似值。

3.課堂小結

師：你是怎么理解概率的？

生：一般地在大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率會穩定在某一個常數附近擺動，這個常數就是事件A發生的概率。

[說明]注重學生在不同的情境中參與實踐活動，能否對試驗頻率來估計隨機事件發生的理論概率的思想，借助大量重復試驗發現：試驗頻率不一定等于理論概率，雖然多次試驗的頻率逐步穩定于理論概率，但也可能發現，無論做多少次試驗，試驗概率仍僅是理論概率的一個近似值，而不能等同于理論概率。

三、案例反思

這節課的教學實現了三個方面的轉變：

1.教師的轉變

教師的角色從知識的傳授者轉變為學生學習的組織者、引導者、合作者與共同研究者。教師成為學生的導師、伙伴，在課堂上除了引導學生活動外，還要認真聆聽學生活動的過程和通過活動所得的知識或方法。

2.學生的轉變

學生的角色從學會轉變為會學。本節課學生不是簡單地“學”數學，而是深入地“做”數學。學生在試驗中體會頻率的穩定性，形成對概率的全面理解，發展了初步的辯證思維能力。學生通過大量試驗還會發現，試驗頻率并不一定等于概率，雖然多次試驗的頻率逐漸穩定于其理論概率，但也可能無論做多少次試驗，試驗頻率仍然是理論的一個近似值，而不能等同于理論概率，兩者存在著一定的偏差，應該說，偏差的存在是正常、經常的。概率應盡量讓學生通過具體試驗領會這一點，從而形成對某一事件發生的概率的較為全面的理解，初步形成隨機觀念，發展學生初步的辯證思維能力。

3.課堂氛圍的轉變

整節課以“流暢、開放、合作、引導”為基本特征，整節課學生與學生、學生與教師之間以“對話”“討論”為出發點，以互助、合作為手段，以解決問題為目的，讓學生在一個較為寬松的環境中自主選擇獲得成功的方向，判斷發現的價值。教師在組織全班學生進行討論時，師生共同進行評價并對各組得到的結論加以歸納，給更多的學生參與的機會，多肯定，多表揚，多鼓勵，使他們感受到成功的體驗。

總之，在數學教學的花園里，教師需要為學生布置好和諧的場景和明晰的路標，讓他們自由快活地跳舞！

作者簡介：李艷艷，女，1984年10月出生，本科學歷，現任教于：江蘇省南京市六合區新集中學，在教學一線從事數學新課改小班化教學模式的研究。endprint