巧用“”解個數問題

杜占明

〔關鍵詞〕 數學教學；個數問題；

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）19—0118—01

所謂特殊公式，就是運用基本公式經過變形和推導得出的公式，恰當地運用特殊公式能簡化解題過程，提高解題效率，也能解決一定按常規思路和方法解決不了的問題，便于學生形成技能技巧.但要注意的是巧用特殊公式時，一定要注意特殊公式的使用條件，不能一概而論.下面以“”這個特殊公式舉例說明在解個數問題方面的一些妙用.

1.用公式求線段的條數

例，如圖1（1），在直線l上畫一個點時，直線上的線段有0條；如圖1（2），畫2個點時，有1條線段；如圖1（3），畫3個點時，有3條線段；畫4個點時，有6條線段，那么如果在直線上畫不同的10個點時，可得到多少條不同的線段？在直線上畫n個不同的點時，有多少條不同的線段？

分析：當直線l上畫2個點A、B時，如圖1（2），以A為一個端點，與另外一個點B能組成線段AB，以B為一個端點，與另外一個點A能組成線段BA，而線段AB和線段BA是同一條線段，因此直線l上畫2個點時有1條線段.

當直線l上畫3個點A、B、C時，如圖1（3），直線l上有3條線段.

當直線l上畫4個點時，每一個點與其余3個點都能組成一條線段，這樣共有4×3=12條線段，而這12條線段中，每條線段都出現了兩次，即共有6條不同的線段.

當直線l上畫10個點時，依據以上規律，共有=45條不同的線段.

當直線l上畫n個點時，依據以上規律，共有 條不同的線段.

2.用公式求角的個數

例，如圖2（1），在銳角∠AOB的內部畫一條射線，可得3個不同的銳角；如圖2（2）畫2條不同的射線，可得6個不同的銳角；如圖2（3）畫3條不同的射線，可得10個不同的銳角；那么照此規律，畫10條不同的射線，可得多少個不同的銳角？畫n條不同的射線呢？

分析：在圖2（1）中，在銳角∠AOB的內部畫一條射線，這樣以O為端點，共有3條射線，以其中一條射線為角的一邊與其余兩條射線可組成2個銳角，這樣共可組成3×2=6個銳角，而每一個銳角出現兩次，則可得到=3個不同的銳角.

在圖2（2）中，在銳角∠AOB的內部畫兩條射線，這樣以O為端點，共有4條射線，以其中一條射線為角的一邊與其余三條射線可組成3個銳角，這樣共可組成4×3=12個銳角，而每一個銳角出現兩次，則可得到=6個不同的銳角.

在圖2（3）中，在銳角∠AOB的內部畫三條射線，這樣以O為端點，共有5條射線，根據以上規律，則可得到=10個不同的銳角.

因此，在銳角∠AOB的內部畫10條不同的射線，這樣以O為端點，共有12條射線，根據以上規律，則可得到=66個不同的銳角.

在銳角∠AOB的內部畫n條不同的射線，這樣以O為端點，共有（n+2）條射線，根據以上規律，則可得到=個不同的銳角.

歸納：當以O為端點共畫n條不同的射線組成銳角，則可得到個不同的銳角.

3.用公式求直線相交的交點個數

例，平面內有2條直線相交，有1個交點；平面內有3條直線相交，最多有3個交點；平面內有4條直線相交，最多有6個交點.那么5條直線相交，最多有幾個交點？如果有n條直線相交，最多有多少個交點？

分析：5條直線相交，其中每一條直線與其余四條直線各有一個交點，則共有5×4=20個交點，而每兩條直線相交各重復一次，則最多有=10個交點.

根據以上規律，有n條直線相交，最多有個交點.

編輯：謝穎麗endprint

〔關鍵詞〕 數學教學；個數問題；

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）19—0118—01

所謂特殊公式，就是運用基本公式經過變形和推導得出的公式，恰當地運用特殊公式能簡化解題過程，提高解題效率，也能解決一定按常規思路和方法解決不了的問題，便于學生形成技能技巧.但要注意的是巧用特殊公式時，一定要注意特殊公式的使用條件，不能一概而論.下面以“”這個特殊公式舉例說明在解個數問題方面的一些妙用.

1.用公式求線段的條數

例，如圖1（1），在直線l上畫一個點時，直線上的線段有0條；如圖1（2），畫2個點時，有1條線段；如圖1（3），畫3個點時，有3條線段；畫4個點時，有6條線段，那么如果在直線上畫不同的10個點時，可得到多少條不同的線段？在直線上畫n個不同的點時，有多少條不同的線段？

分析：當直線l上畫2個點A、B時，如圖1（2），以A為一個端點，與另外一個點B能組成線段AB，以B為一個端點，與另外一個點A能組成線段BA，而線段AB和線段BA是同一條線段，因此直線l上畫2個點時有1條線段.

當直線l上畫3個點A、B、C時，如圖1（3），直線l上有3條線段.

當直線l上畫4個點時，每一個點與其余3個點都能組成一條線段，這樣共有4×3=12條線段，而這12條線段中，每條線段都出現了兩次，即共有6條不同的線段.

當直線l上畫10個點時，依據以上規律，共有=45條不同的線段.

當直線l上畫n個點時，依據以上規律，共有 條不同的線段.

2.用公式求角的個數

例，如圖2（1），在銳角∠AOB的內部畫一條射線，可得3個不同的銳角；如圖2（2）畫2條不同的射線，可得6個不同的銳角；如圖2（3）畫3條不同的射線，可得10個不同的銳角；那么照此規律，畫10條不同的射線，可得多少個不同的銳角？畫n條不同的射線呢？

分析：在圖2（1）中，在銳角∠AOB的內部畫一條射線，這樣以O為端點，共有3條射線，以其中一條射線為角的一邊與其余兩條射線可組成2個銳角，這樣共可組成3×2=6個銳角，而每一個銳角出現兩次，則可得到=3個不同的銳角.

在圖2（2）中，在銳角∠AOB的內部畫兩條射線，這樣以O為端點，共有4條射線，以其中一條射線為角的一邊與其余三條射線可組成3個銳角，這樣共可組成4×3=12個銳角，而每一個銳角出現兩次，則可得到=6個不同的銳角.

在圖2（3）中，在銳角∠AOB的內部畫三條射線，這樣以O為端點，共有5條射線，根據以上規律，則可得到=10個不同的銳角.

因此，在銳角∠AOB的內部畫10條不同的射線，這樣以O為端點，共有12條射線，根據以上規律，則可得到=66個不同的銳角.

在銳角∠AOB的內部畫n條不同的射線，這樣以O為端點，共有（n+2）條射線，根據以上規律，則可得到=個不同的銳角.

歸納：當以O為端點共畫n條不同的射線組成銳角，則可得到個不同的銳角.

3.用公式求直線相交的交點個數

例，平面內有2條直線相交，有1個交點；平面內有3條直線相交，最多有3個交點；平面內有4條直線相交，最多有6個交點.那么5條直線相交，最多有幾個交點？如果有n條直線相交，最多有多少個交點？

分析：5條直線相交，其中每一條直線與其余四條直線各有一個交點，則共有5×4=20個交點，而每兩條直線相交各重復一次，則最多有=10個交點.

根據以上規律，有n條直線相交，最多有個交點.

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〔關鍵詞〕 數學教學；個數問題；

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）19—0118—01

所謂特殊公式，就是運用基本公式經過變形和推導得出的公式，恰當地運用特殊公式能簡化解題過程，提高解題效率，也能解決一定按常規思路和方法解決不了的問題，便于學生形成技能技巧.但要注意的是巧用特殊公式時，一定要注意特殊公式的使用條件，不能一概而論.下面以“”這個特殊公式舉例說明在解個數問題方面的一些妙用.

1.用公式求線段的條數

例，如圖1（1），在直線l上畫一個點時，直線上的線段有0條；如圖1（2），畫2個點時，有1條線段；如圖1（3），畫3個點時，有3條線段；畫4個點時，有6條線段，那么如果在直線上畫不同的10個點時，可得到多少條不同的線段？在直線上畫n個不同的點時，有多少條不同的線段？

分析：當直線l上畫2個點A、B時，如圖1（2），以A為一個端點，與另外一個點B能組成線段AB，以B為一個端點，與另外一個點A能組成線段BA，而線段AB和線段BA是同一條線段，因此直線l上畫2個點時有1條線段.

當直線l上畫3個點A、B、C時，如圖1（3），直線l上有3條線段.

當直線l上畫4個點時，每一個點與其余3個點都能組成一條線段，這樣共有4×3=12條線段，而這12條線段中，每條線段都出現了兩次，即共有6條不同的線段.

當直線l上畫10個點時，依據以上規律，共有=45條不同的線段.

當直線l上畫n個點時，依據以上規律，共有 條不同的線段.

2.用公式求角的個數

例，如圖2（1），在銳角∠AOB的內部畫一條射線，可得3個不同的銳角；如圖2（2）畫2條不同的射線，可得6個不同的銳角；如圖2（3）畫3條不同的射線，可得10個不同的銳角；那么照此規律，畫10條不同的射線，可得多少個不同的銳角？畫n條不同的射線呢？

分析：在圖2（1）中，在銳角∠AOB的內部畫一條射線，這樣以O為端點，共有3條射線，以其中一條射線為角的一邊與其余兩條射線可組成2個銳角，這樣共可組成3×2=6個銳角，而每一個銳角出現兩次，則可得到=3個不同的銳角.

在圖2（2）中，在銳角∠AOB的內部畫兩條射線，這樣以O為端點，共有4條射線，以其中一條射線為角的一邊與其余三條射線可組成3個銳角，這樣共可組成4×3=12個銳角，而每一個銳角出現兩次，則可得到=6個不同的銳角.

在圖2（3）中，在銳角∠AOB的內部畫三條射線，這樣以O為端點，共有5條射線，根據以上規律，則可得到=10個不同的銳角.

因此，在銳角∠AOB的內部畫10條不同的射線，這樣以O為端點，共有12條射線，根據以上規律，則可得到=66個不同的銳角.

在銳角∠AOB的內部畫n條不同的射線，這樣以O為端點，共有（n+2）條射線，根據以上規律，則可得到=個不同的銳角.

歸納：當以O為端點共畫n條不同的射線組成銳角，則可得到個不同的銳角.

3.用公式求直線相交的交點個數

例，平面內有2條直線相交，有1個交點；平面內有3條直線相交，最多有3個交點；平面內有4條直線相交，最多有6個交點.那么5條直線相交，最多有幾個交點？如果有n條直線相交，最多有多少個交點？

分析：5條直線相交，其中每一條直線與其余四條直線各有一個交點，則共有5×4=20個交點，而每兩條直線相交各重復一次，則最多有=10個交點.

根據以上規律，有n條直線相交，最多有個交點.

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