基于RoeM格式思想的激波穩(wěn)定格式構(gòu)造

屈 峰 閻 超 于 劍 仲崇巖

(北京航空航天大學(xué) 國家計(jì)算流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)室，北京100191)

隨著計(jì)算流體力學(xué)(CFD，Computational Fluid Dynamics)需求的日益發(fā)展，人們對(duì)通量格式計(jì)算精度的要求也日益提高.1959年，俄羅斯科學(xué)家Godunov提出了基于Riemann精確解的一階計(jì)算格式[1].理論與實(shí)踐表明，它的解對(duì)于守恒型標(biāo)量方程而言，滿足熵條件且具有保單調(diào)性質(zhì)和總變差不增的總差不減(TVD，Total Variation Diminishing)性質(zhì)，并一定是物理解.因此該格式引起了廣泛的注意.自此之后，許多構(gòu)思精妙的通量格式雨后春筍般接連問世并極大促進(jìn)了CFD的發(fā)展.而在這眾多格式中，目前世界上公認(rèn)性能最為優(yōu)秀并被廣泛應(yīng)用的有Jameson的中心格式[2]、Roe的通量差分(FDS，F(xiàn)lux Difference Splitting)格式[3]、van Leer的矢通量分裂(FVS，F(xiàn)lux Vector Splitting)格式[4]、Liou 的對(duì)流上風(fēng)分裂(AUSM，Advection Upstream Splitting Method)格式[5]及在其構(gòu)造基礎(chǔ)上衍生的一系列格式如AUSM+[6]，SLAU2[7]，AUSM+UP[8]等.盡管在實(shí)際應(yīng)用中上述格式均表現(xiàn)出較為良好的特性，其依然因?yàn)楦髯詷?gòu)造思想中的“bug”而距離人們理想中的“完美”格式相距甚遠(yuǎn).如van Leer的FVS格式無法精確捕捉接觸間斷，黏性分辨率較差;Roe的FDS格式在計(jì)算高速流動(dòng)時(shí)會(huì)出現(xiàn)“粉刺”現(xiàn)象且對(duì)定常無黏通量的計(jì)算不滿足焓守恒條件;Jameson的中心格式和AUSM+UP需要根據(jù)實(shí)際問題人工設(shè)置經(jīng)驗(yàn)參數(shù)等[9].2010年，Kitamura等人通過一系列的數(shù)值實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論[10]:目前已有的格式在高超聲速計(jì)算中依然無法得到準(zhǔn)確可靠的氣動(dòng)熱結(jié)果.而影響其計(jì)算精度的因素有格式的激波穩(wěn)定性、總焓守恒性、黏性分辨率.Kim等人通過對(duì)奇偶失聯(lián)問題的理論分析，將Roe格式進(jìn)行改進(jìn)得到了RoeM類格式[11]，計(jì)算結(jié)果表明，RoeM類格式在保持Roe格式黏性分辨率高、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上避免了“粉刺”現(xiàn)象的出現(xiàn)并保持了定常無黏通量計(jì)算的總焓守恒.但是格式構(gòu)造過程中，Kim等人僅簡單地通過計(jì)算相鄰網(wǎng)格格心處的壓強(qiáng)比來判斷該處是否有激波.這在較為簡單的流動(dòng)計(jì)算中尚不會(huì)造成影響，但在較為復(fù)雜的流動(dòng)模擬中會(huì)因非物理情況的出現(xiàn)而導(dǎo)致其可靠性降低.為了克服這一問題，本文利用Jiang提出的光滑指示因子法來判斷激波位置[12]，在 RoeM 格式的基礎(chǔ)上構(gòu)造了 RoeMW1，RoeMW2格式.下文的相關(guān)分析將表明，這兩種格式均滿足以下特點(diǎn):

1)無需通過設(shè)置經(jīng)驗(yàn)性參數(shù)就可保證其通量函數(shù)的激波穩(wěn)定性;

2)黏性分辨率高，接觸間斷捕捉精確;

3)在高速定常流的計(jì)算中保證總焓守恒;

4)膨脹區(qū)計(jì)算時(shí)魯棒性較強(qiáng)，無膨脹激波出現(xiàn).

1 控制方程與計(jì)算方法

1.1 NS方程有限體積的一般形式

考慮如下三維雙曲守恒律組:

定義空間單元為

在單元Iijk上對(duì)式(1)進(jìn)行積分，整理得

其中

1.2 RoeMW類格式的構(gòu)造

迎風(fēng)類通量格式的數(shù)值質(zhì)量通量均可由式(3)表示.

2000 年，Liou[13]發(fā)現(xiàn)式(3)中 D(p)的存在會(huì)導(dǎo)致Roe格式在計(jì)算超聲速流動(dòng)時(shí)容易出現(xiàn)“粉刺”現(xiàn)象.文獻(xiàn)[14]也得到類似的結(jié)論.而文獻(xiàn)[11]通過理論分析得出D(ρ)的大小亦影響著此格式的激波穩(wěn)定性.為了平衡質(zhì)量通量在數(shù)值計(jì)算中壓強(qiáng)梯度對(duì)密度耗散的影響，D(p)可取為以下形式:

其中Bi采用文獻(xiàn)[12]提出的形式，即

式中，s(x)為插值函數(shù);k表示精度.實(shí)際計(jì)算表明，k的取值大小對(duì)最終計(jì)算結(jié)果影響不大.因此，考慮到計(jì)算效率的問題，在這里取k=2.即

后面的算例結(jié)果表明，在大部分情況下，該處理足以抑制“粉刺”現(xiàn)象的發(fā)生.但在某些情況如高速非定常流動(dòng)的計(jì)算中，它可能因?yàn)閴簭?qiáng)擾動(dòng)與密度擾動(dòng)之間的平衡難以保證而出現(xiàn)激波不穩(wěn)定現(xiàn)象.為了解決這一問題，本文在上述處理的基礎(chǔ)上再利用函數(shù)f來加強(qiáng)對(duì)密度擾動(dòng)的耗散.其具體形式如下:

眾所周知，無黏定常流計(jì)算中Roe格式不能保證總焓守恒的特性.根據(jù)Jameson在文獻(xiàn)[15]中給出的結(jié)論，焓守恒格式的連續(xù)性方程和能量方程需滿足如下形式:

同時(shí)，為了消除Roe格式在實(shí)際計(jì)算時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)的“膨脹激波”現(xiàn)象，本文借鑒HLLEM[16]格式以及AUSM+[6]的構(gòu)造思想將上式稍作修正，其具體形式如下:

綜上所述，本文所得格式的最終形式如下所述:

2 算例及結(jié)果分析

2.1 一維接觸間斷問題

本問題的初始條件為

庫蘭特?cái)?shù)(CFL，Courant，F(xiàn)riedrichs，and Lewy)取0.85.為了實(shí)現(xiàn)對(duì)上述通量格式進(jìn)行“純粹”地分析，下文所有的算例結(jié)果均由一階格式計(jì)算得到.

從圖1～圖3可以清晰地看出，3種格式在捕捉到的接觸間斷基本一致，且速度壓強(qiáng)分布曲線無振蕩.這表明RoeMW1和RoeMW2格式同Roe格式一樣具有較高的黏性分辨率.

圖1 一維接觸間斷的密度分布曲線

圖2 一維接觸間斷的壓強(qiáng)分布曲線

圖3 一維接觸間斷的速度分布曲線

2.2 無黏圓柱超音速繞流

1988年，文獻(xiàn)[17]研究發(fā)現(xiàn)Roe格式在計(jì)算鈍頭體激波時(shí)會(huì)產(chǎn)生“粉刺”現(xiàn)象(圖4a).而FVS格式則無此現(xiàn)象發(fā)生.因此，本算例是判斷格式激波穩(wěn)定性的經(jīng)典算例.在本文中，取來流馬赫數(shù)為8，網(wǎng)格量為102×171，CFL數(shù)為5.時(shí)間格式統(tǒng)一選用無條件穩(wěn)定的LUSGS方法.

圖4 無黏圓柱超音速繞流等壓強(qiáng)線圖

從圖4可以看出，RoeMW1與RoeMW2格式在保證了激波分辨率高的同時(shí)均可有效地避免“粉刺”現(xiàn)象的發(fā)生.圖5則表明RoeMW1與RoeMW2格式在計(jì)算該問題時(shí)保持總焓守恒.而這一點(diǎn)在預(yù)測(cè)氣動(dòng)熱等氣動(dòng)性能參數(shù)時(shí)非常重要.

圖5 對(duì)稱線上激波參數(shù)顯示圖

2.3 雙馬赫反射

該算例最初由Woodward和colella[18]給出，并已成為格式研究的標(biāo)準(zhǔn)算例.其具體描述如下:計(jì)算域?yàn)閇0，4]×[0，1]，其中在下邊界[1/6，4]的位置為滑移壁面條件.初始時(shí)刻，在計(jì)算域中給定一個(gè)與x軸成60°夾角的馬赫數(shù)為10的激波，該激波從x=1/6，y=0的位置一直延伸到上邊界，并向右側(cè)快速移動(dòng).下邊界[0，1/6]的區(qū)域以及左邊界均給定激波的波后條件，右邊界給定出流條件，上邊界根據(jù)激波每一時(shí)刻所處的位置分別給定激波的波前和波后條件.計(jì)算時(shí)間推進(jìn)到t=0.2.采用的計(jì)算網(wǎng)格為960×240.

圖6給出了Roe，RoeM，RoeMW1以及RoeMW2這4種格式計(jì)算得到的密度等值線圖.從圖上可清晰地看到Roe格式在計(jì)算正激波時(shí)會(huì)發(fā)生激波不穩(wěn)定現(xiàn)象.RoeM格式雖然較之于Roe格式有所改進(jìn)，但依然出現(xiàn)比較明顯的激波不穩(wěn)定現(xiàn)象.相比于RoeM格式，RoeMW1對(duì)Roe格式有了更大的改善，但依然無法完全抑制激波不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生.這也與上文所述的僅僅利用函數(shù)f來控制壓強(qiáng)耗散系數(shù)有時(shí)并不能完全抑制激波不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生的結(jié)論一致.同時(shí)，從圖6中RoeMW2的計(jì)算結(jié)果可看出，在RoeMW1格式基礎(chǔ)上又增加了對(duì)密度擾動(dòng)耗散的RoeMW2格式，則成功地抑制了激波不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生.

圖6 雙馬赫反射密度等值線圖

3 結(jié)論

本文通過利用WENO格式中的光滑指示因子來判斷流場(chǎng)間斷，在RoeM格式的基礎(chǔ)上得到了RoeMW1，RoeMW2格式.計(jì)算結(jié)果表明:一般情況下，構(gòu)造相對(duì)簡單的RoeMW1格式在擁有Roe格式黏性分辨率高的優(yōu)點(diǎn)同時(shí)，能夠抑制激波不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生并且保證無黏定常計(jì)算時(shí)的總焓守恒.但在模擬較為復(fù)雜的流動(dòng)結(jié)構(gòu)時(shí)，雖然比RoeM格式更加穩(wěn)定，但RoeMW1格式僅對(duì)壓強(qiáng)擾動(dòng)采取控制的方式依然無法完全抑制激波不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生.而同時(shí)控制壓強(qiáng)擾動(dòng)與密度擾動(dòng)的RoeMW2格式則可以在保持RoeMW1格式上述所有優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上解決此問題.因此在實(shí)際復(fù)雜流動(dòng)模擬中，它比現(xiàn)有的通量格式(如Roe，RoeM等格式)具有更廣闊的應(yīng)用前景.

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