重視符號意識的培養

馮回祥，華中科技大學附屬小學數學教師，湖北省特級教師，中學高級教師。現任湖北省武漢市數學學會理事，華中師范大學碩士研究生首批校外導師。

在“國培”講課時，有一位青年教師問我，在求兩個數的“最大公因數”和“最小公倍數”時，是否可以用符號來表示結果，因為教材中沒用符號來表示。

在我看來，他問的是一個帶有普遍性的問題。我的回答是：引進“符號”是必須的，因為它簡潔、方便；用符號（a，b）和〔a，b〕來分別表示兩個數的最大公因數和最小公倍數，肯定是規范的，這個可查閱谷超豪主編的數學詞典。

這次簡單的交流，給人一種“批判性精神”缺失、“符號意識”淡薄的印象。在此，就“符號意識”的培養這一話題，來談談我的一些思考。

英國著名哲學家、數學家羅素說過：“什么是數學？數學就是符號加邏輯。”可以說，沒有符號，就沒有現代數學。《標準（2011年版）》指出：“符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。建立符號意識有助于學生理解符號的使用，是數學表達和進行數學思考的重要形式。”因此，符號意識的培養理應受到數學教師的高度重視。那么，教師要如何培養小學生的符號意識呢？

第一，借助經驗，讓學生喜歡數學符號。

在生活中，符號無處不在。如，紅色的“十”是紅十字會的專用標志，紅底黃色的“m”是麥當勞的標志，馬路上、街道旁有很多標有交通符號的牌子……生活中的符號可謂舉不勝舉。了解符號，運用符號已成為現代人生活中不可缺少的一部分。毫無疑問，小學生在生活中獲得的關于符號的認知經驗以及相應的符號意識，對于認知數學符號會有很大的幫助。

小學生在六年的學習中，要認識很多的數學符號，有對象符號（如數字、圓周率）、運算符號、關系符號、結合符號（如小括號）、性質符號（如正、負號）、略寫符號（如因為“∵”、所以“∴”）等。學生如何理解和掌握這么多的符號，需要教師借助經驗，進行智慧教學。

如，教師在教學阿拉伯數字符號時，借助經驗進行形象教學，讓學生誦讀：1像鉛筆，細又長；2像鴨子，水中游；3像耳朵，兩道彎；4像小旗，迎風飄……實踐表明，富有童趣的兒歌能激發學生的認知興趣，有助于他們記憶字形并掌握書寫體。

又如，教學加、減、乘、除四種運算符號時，教師可以通過形象的比喻并結合課件動態演示，讓學生去理解符號代表的含義。如，加號的演示：先出現一橫，再移來一豎，以顯示“合并”“添上”“增加”的意思。減號的演示：從“+”里拿走一豎，表示“去掉”“減少”的意思。乘號的演示：將“+”轉動45°成“×”，表示特殊的加，即同數連加。有了這些做基礎，到教學除法時，學生一般都會自己解釋除號“÷”的含義。用這樣的方式教學，教學效果非常明顯，孩子們也印象深刻，不會出錯。

第二，引導學生認識數學符號的特點。

數學符號是人們在研究數量關系和空間形式的過程中產生的。

首先，要讓學生認識數學符號具有抽象性。如單位“1”不僅可以表示一個物體、一個圖形、一個計量單位，還可以是一個群體等。這個“1”具有一定的抽象性。

其次，要讓學生認識數學符號的簡潔性。數學中有些內容，學生用文字來敘述是較麻煩的，如果能用符號來表示，不僅簡潔，而且方便。如，用（a+b）c=ac+bc來表示乘法的分配律。又如，對求24和30的最大公因數和最小公倍數的題，學生很容易掌握其求法，但很不樂意把結果用文字表達出來，因為要寫那么多字。最終，他們表達出來的結果要么是不認真的，要么是不夠完整的。如果教師允許學生這樣表示結果：（24，30）=6；〔24，30〕=120。學生不僅會很開心，而且能感受到數學符號的簡潔美，進而更喜愛數學，可謂一舉多得。事實上，在小學數學教學中，還可以大膽引用一些簡潔的符號，如平行“∥”、垂直“⊥”、不等號“≠”、三角形“△”、因為“∵”、所以“∴”等等。

其三，讓學生明確數學符號的一般性。

如果用具體的數和運算符號組成式子，只能表示個別具體的數量之間的關系。如，長是8厘米，寬是2厘米，8×2=16（平方厘米）僅代表的是那個具體的長方形的面積。又如，2014新版教材五年級上冊第五單元例1的題目是，小紅1歲，爸爸就是1+30=31歲，也是僅僅表示具體的年齡。而用字母表示，則簡單明了，還能概括出數量關系的一般規律，在較大范圍內肯定了數學規律的正確性。在剛才例1的題目中，如果說“1+30，2+30，3+30”代表的是特殊性關系式，那么“a+30”就可代表一般關系式。該式既是表示任何一年爸爸與小紅的歲數關系，又抽象概括出了數量關系的一般規律，即無論過多少年，兩人的年齡差是不變的。當然，運算定律、計算公式、有關法則均可表示變化的一般規律。

第三，在具體情境中，體會數學符號的作用。

學習數學的目的之一是要使學生懂得符號的意義，會運用符號解決問題。小學生處于形象思維向抽象思維發展階段，教師要盡可能地向學生提供豐富的學習材料，使學習活動處于情境之中。教師還要有意識地利用學生的生活經驗，引導學生感受到符號引入的必要，鼓勵學生用自己獨特的方式表示具體情境中的數量關系，逐步走進符號化的數學世界。

在進行常用的數學符號教學時，教師要結合具體情境，讓學生了解符號產生的需要，認識到由于使用符號，才能清楚、簡便地表達這些具體情境中的數量關系和變化規律。如，在“認識分數”教學中，教師創設“等分蘋果”的情境，引導學生從“一半”過渡到“二分之一”，最終引出數學符號語言“[12]”。又如，教學方程的意義時，可以借助天平，創設“平衡——不平衡——平衡”的問題情境：

（1）天平左邊放的是一個100g的杯子中裝了一些水，左邊的質量怎樣表示？

（2）天平右邊放的是250g的砝碼，如果天平不平衡，怎樣用算式來表示？

（3）如果天平平衡，又該用一個怎樣的算式來表示？

針對上述問題，學生需要用字母x來表示杯子中水的質量，并用“x+100”來表示第（1）問；用算式“x+100>250”或“x+100<250”來表示第（2）問；用“x+100=250”來表示第（3）問。在這個過程中，學生不僅體驗到了引用x的需要，也認識到了用x表示水的質量的作用，同時加深了對符號在數學中作用的體會。

第四，在解決問題中，經歷符號化的過程。

系統地運用符號，可以簡明地表達數學思想，以順應思路解決問題，從而簡化數學運算或推理過程，加快數學思維的速度，促進數學思想的交流。以一道計算題為例：

6只雞的質量，等于3只鴨的質量，等于2只鵝的質量。已知一只雞的質量是3千克，鴨和鵝的質量各是多少？

這道題雖然是一道計算題，但與普通計算題相比，它對學生的邏輯思維能力要求更高些。要想讓學生思維順暢，就必須自覺地運用符號去進行描述和表達。

首先，學生可以列出下面的等式：

6只雞=3只鴨=2只鵝

2只雞=1只鴨

這里，學生用漢字來代替真實的動物，已經是在運用符號了，但僅此是不夠的，教師還應該因勢利導，要求學生用更簡潔的符號來表示，在教師的引導下學生用x、y、z分別代替雞、鴨、鵝，上面的式子就變成了：

6x=3y=2z

2x=1y

至此，學生不僅成功地運用符號描述并表達了數量關系，而且，成功地實現了從文字到字母符號的轉變。接下來在教師的引導下，學生得到結果就很容易了。

由此可見，在解決問題的過程中，讓學生經歷符號化的過程，再通過交流、分享，積累解決問題的經驗，他們就會體會到用數、形將實際問題“符號化”的優越性。

符號意識的培養是一個長期的過程。我們應緊密結合數學各個知識領域的教學，引導學生在發現問題、提出問題、分析和解決問題的過程中，理解并運用數學符號進行表征、轉換、運算和推理，切實有效地發展學生的符號意識。

責任編輯 嚴 芳