并聯(lián)運動模擬臺鉸鏈間隙誤差分析

趙姍姍++孟立新++張立中

摘 要：球鉸聯(lián)接是多自由度并聯(lián)運動模擬臺中普遍采用的一種連接方式，但由于球鉸間隙的存在，使并聯(lián)模擬臺的運動精度明顯降低。利用機器人運動學中的D-H（Denavit-Hartenberg）法推導出鉸鏈間隙對并聯(lián)模擬臺運動的姿態(tài)角度的影響，采用MATLAB進行仿真分析。結(jié)果表明：針對所設(shè)計的并聯(lián)運動模擬臺，球鉸間隙為 mm時，并聯(lián)機構(gòu)的精度小于 mrad，滿足機構(gòu)運動精度要求。

關(guān)鍵詞：球鉸 間隙誤差 并聯(lián)模擬臺 D-H法 MATLAB仿真

中圖分類號：TH115；TP302.7 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（c）-0084-02

球鉸理論上具有結(jié)構(gòu)簡單、運動靈活、耐磨性好和承載力強等優(yōu)點，常用于并聯(lián)運動模擬機構(gòu)。但由于球鉸間隙一般較大，對模擬臺運動精度的影響不可忽略[1]。

目前，提高球鉸精度和剛度的方法，主要有提高加工精度、提高表面質(zhì)量和采用鉸鏈消隙裝置等措施。但隨著精度的提高，成本和實現(xiàn)難度均大幅增加，因此，研究鉸鏈間隙對機構(gòu)精度的影響，從而根據(jù)機構(gòu)精度需要合理確定球鉸間隙，優(yōu)化精度分配，對提高并聯(lián)機構(gòu)的性價比意義重大。

1 具有SPS驅(qū)動支鏈的3-DOF并聯(lián)模擬臺的結(jié)構(gòu)

本文針對外場試驗用激光通信光端機運動模擬臺的技術(shù)指標要求，設(shè)計了3-DOF（三自由度）并聯(lián)模擬臺的結(jié)構(gòu)[2]，運動模擬臺位置精度要求為1 mrad，經(jīng)誤差分配，球鉸引起的誤差應小于0.5 mrad，3-DOF并聯(lián)模擬臺如圖1所示。

如圖1所示，三自由度并聯(lián)運動模擬臺由三層平臺、三個驅(qū)動電動缸、四個過渡支撐桿和一個中心支撐組成。其中：三個平臺相互平行且同心，中平臺為多邊形，動平臺和中平臺之間有四個固定支撐，兩個縱向的電動缸成90°分配，橫向的電動缸中心線與基臺平行，且與兩個縱向電動缸垂直。其原理為控制三個電動缸的伸縮量，以實現(xiàn)并聯(lián)模擬臺橫滾、俯仰和偏航的角度，中心支撐主要承載整個搖擺臺的重量。

2 球鉸間隙模型分析

如圖2所示球鉸[3]可視為由連桿1和連桿2組成，根據(jù)連桿坐標系設(shè)定的原則，分別在連桿1、2上建立三維直角坐標系和，且為與靜平臺固連的球鉸球窩中心的靜坐標系，為與驅(qū)動支鏈固連的球鉸球心的動坐標系。

根據(jù)坐標變換法（即為局部動坐標系中任意點在整體靜坐標系中的坐標表達式）：

其中，為動坐標系中任意點在靜坐標系中的坐標；為點在動坐標系中的坐標；為動坐標系原點在靜坐標系中的坐標（即坐標系的平移矩陣）。

為動坐標系的方向余弦陣（即坐標的旋轉(zhuǎn)矩陣）。設(shè)初始狀態(tài)動坐標系的原點與靜坐標系的原點重合，產(chǎn)生間隙后的點為動坐標系中的任意點，且設(shè)在局部動坐標系中，則在局部動坐標系中球鉸間隙隨機點的坐標為：

在整體靜坐標系中，球鉸間隙隨機點的坐標為：

其中：為球鉸球心的平移間隙，為球鉸球心的轉(zhuǎn)角間隙，為靜平臺的半徑。

3 模擬臺姿態(tài)角度誤差分析

機器人運動學中的D-H法[4]是機器人連桿和關(guān)節(jié)建模的一種非常簡單的方法，可用于任何機構(gòu)的構(gòu)型。采用D-H法對運動模擬臺的SPS（電動缸兩端以球鉸聯(lián)接）單開支鏈進行分析計算，進而建立球鉸間隙與模擬臺姿態(tài)誤差角[5]度間的數(shù)學模型。

如圖3為單開支鏈的結(jié)構(gòu)簡圖，在局部動坐標系中，定點。與上述同理，根據(jù)坐標變換法，在整體靜坐標系中，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)平移后，的坐標為：

其中：為動平臺上固定點與局部坐標系原點之間的距離；為初始狀態(tài)下與之間的夾角；為中心支撐鉸鏈球心與基臺整體靜坐標系的垂直距離（見圖3）。

初始狀態(tài)下，此時

驅(qū)動桿長為：

4 實例

如圖1所示并聯(lián)運動模擬臺結(jié)構(gòu)形式，已知：

球鉸間隙范圍 mm，任取局部動坐標系坐標原點，并且在局部動坐標系中，隨機取點隨機取值，球鉸球心沿靜坐標系三個軸的平移間隙。

如圖4所示，則：

同理可得：

計算得：

假設(shè)球鉸間隙只對搖擺臺的俯仰運動誤差有影響，即，則：

驅(qū)動桿長化簡得：

5 MATLAB編程與仿真

運用MATLAB進行編程仿真，得到球鉸間隙影響下并聯(lián)模擬臺的角度誤差。

由圖5可知，球鉸間隙對運動模擬臺橫滾角度的峰峰值為 mrad，方位和俯仰方向誤差與橫滾分析方法，經(jīng)誤差合成，由球鉸引起的最大誤差小于 mrad，滿足模擬臺角位置精度要求。

6 結(jié)論

運用D-H法和坐標變換法分析了單開支鏈下球鉸間隙對模擬臺姿態(tài)角度精度的影響，建立了球鉸間隙與并聯(lián)機構(gòu)精度的簡單實用的數(shù)學模型，為運動模擬臺中球鉸的選擇提供了理論依據(jù)。

參考文獻

[1] 崔道碧.關(guān)節(jié)間隙對機器人末端執(zhí)行器位姿誤差的影響[J].湖南大學學報：自然科學版，1999，26（2）：32-36.（CUI Dao-bi.Effect of Gap of Key Links on Location-posture Error for Tip Executing Apparatus of Robot[J].Journal of Hunan University（Natural Sciences Edition），1999，26（2）：32-36.

[2] 汪勁松，白杰文，高猛，等.Stewart平臺鉸鏈間隙的精度分析[J].清華大學學報：自然科學版，2002，42（6）：758-761.WANG Jin-song，BAI Jie-wen，GAO Meng，ZHENG Hao-jun，LI Tie-min.Accuracy analysis of joint-clearances in a Stewart platform[J].J T singhua Univ（Sci &Tech），2002，42（6）：758-761.

[3] 梁輝，白志富，陳五一.一種驅(qū)動冗余并聯(lián)機床的鉸鏈間隙誤差分析[J].機床與液壓，2006（4）：7-9.LIANG Hui，BAI Zhi-fu，CHEN Wu-yi.On the Joint Error of a Redundantly Actuated Parallel Machine Tool[J].Machine Tool and Hydraulics，2006（4）：7-9.

[4] 洪嘉振.計算多體系統(tǒng)動力學[M].北京：高等教育出版社，1999：37-60.HONG Jia-zhen.Computational Dynamics of Multibody Systems[M].Beijing：Higher Education Press，1999：37-60.

[5] 焦國太，馮永和，王鋒，等.多因素影響下的機器人綜合位姿誤差分析方法[J].應用基礎(chǔ)與工程科學學報，2004，12（4）：435-442.Jiao Guo-tai Feng Yong-he，Wang Feng，et.Synthetically analysis of the robot pose error resulting from various factors[J].Journal of Basic Science and Engineering，2004，12（4）：435-442.endprint

摘 要：球鉸聯(lián)接是多自由度并聯(lián)運動模擬臺中普遍采用的一種連接方式，但由于球鉸間隙的存在，使并聯(lián)模擬臺的運動精度明顯降低。利用機器人運動學中的D-H（Denavit-Hartenberg）法推導出鉸鏈間隙對并聯(lián)模擬臺運動的姿態(tài)角度的影響，采用MATLAB進行仿真分析。結(jié)果表明：針對所設(shè)計的并聯(lián)運動模擬臺，球鉸間隙為 mm時，并聯(lián)機構(gòu)的精度小于 mrad，滿足機構(gòu)運動精度要求。

關(guān)鍵詞：球鉸 間隙誤差 并聯(lián)模擬臺 D-H法 MATLAB仿真

中圖分類號：TH115；TP302.7 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（c）-0084-02

球鉸理論上具有結(jié)構(gòu)簡單、運動靈活、耐磨性好和承載力強等優(yōu)點，常用于并聯(lián)運動模擬機構(gòu)。但由于球鉸間隙一般較大，對模擬臺運動精度的影響不可忽略[1]。

目前，提高球鉸精度和剛度的方法，主要有提高加工精度、提高表面質(zhì)量和采用鉸鏈消隙裝置等措施。但隨著精度的提高，成本和實現(xiàn)難度均大幅增加，因此，研究鉸鏈間隙對機構(gòu)精度的影響，從而根據(jù)機構(gòu)精度需要合理確定球鉸間隙，優(yōu)化精度分配，對提高并聯(lián)機構(gòu)的性價比意義重大。

1 具有SPS驅(qū)動支鏈的3-DOF并聯(lián)模擬臺的結(jié)構(gòu)

本文針對外場試驗用激光通信光端機運動模擬臺的技術(shù)指標要求，設(shè)計了3-DOF（三自由度）并聯(lián)模擬臺的結(jié)構(gòu)[2]，運動模擬臺位置精度要求為1 mrad，經(jīng)誤差分配，球鉸引起的誤差應小于0.5 mrad，3-DOF并聯(lián)模擬臺如圖1所示。

如圖1所示，三自由度并聯(lián)運動模擬臺由三層平臺、三個驅(qū)動電動缸、四個過渡支撐桿和一個中心支撐組成。其中：三個平臺相互平行且同心，中平臺為多邊形，動平臺和中平臺之間有四個固定支撐，兩個縱向的電動缸成90°分配，橫向的電動缸中心線與基臺平行，且與兩個縱向電動缸垂直。其原理為控制三個電動缸的伸縮量，以實現(xiàn)并聯(lián)模擬臺橫滾、俯仰和偏航的角度，中心支撐主要承載整個搖擺臺的重量。

2 球鉸間隙模型分析

如圖2所示球鉸[3]可視為由連桿1和連桿2組成，根據(jù)連桿坐標系設(shè)定的原則，分別在連桿1、2上建立三維直角坐標系和，且為與靜平臺固連的球鉸球窩中心的靜坐標系，為與驅(qū)動支鏈固連的球鉸球心的動坐標系。

根據(jù)坐標變換法（即為局部動坐標系中任意點在整體靜坐標系中的坐標表達式）：

其中，為動坐標系中任意點在靜坐標系中的坐標；為點在動坐標系中的坐標；為動坐標系原點在靜坐標系中的坐標（即坐標系的平移矩陣）。

為動坐標系的方向余弦陣（即坐標的旋轉(zhuǎn)矩陣）。設(shè)初始狀態(tài)動坐標系的原點與靜坐標系的原點重合，產(chǎn)生間隙后的點為動坐標系中的任意點，且設(shè)在局部動坐標系中，則在局部動坐標系中球鉸間隙隨機點的坐標為：

在整體靜坐標系中，球鉸間隙隨機點的坐標為：

其中：為球鉸球心的平移間隙，為球鉸球心的轉(zhuǎn)角間隙，為靜平臺的半徑。

3 模擬臺姿態(tài)角度誤差分析

機器人運動學中的D-H法[4]是機器人連桿和關(guān)節(jié)建模的一種非常簡單的方法，可用于任何機構(gòu)的構(gòu)型。采用D-H法對運動模擬臺的SPS（電動缸兩端以球鉸聯(lián)接）單開支鏈進行分析計算，進而建立球鉸間隙與模擬臺姿態(tài)誤差角[5]度間的數(shù)學模型。

如圖3為單開支鏈的結(jié)構(gòu)簡圖，在局部動坐標系中，定點。與上述同理，根據(jù)坐標變換法，在整體靜坐標系中，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)平移后，的坐標為：

其中：為動平臺上固定點與局部坐標系原點之間的距離；為初始狀態(tài)下與之間的夾角；為中心支撐鉸鏈球心與基臺整體靜坐標系的垂直距離（見圖3）。

初始狀態(tài)下，此時

驅(qū)動桿長為：

4 實例

如圖1所示并聯(lián)運動模擬臺結(jié)構(gòu)形式，已知：

球鉸間隙范圍 mm，任取局部動坐標系坐標原點，并且在局部動坐標系中，隨機取點隨機取值，球鉸球心沿靜坐標系三個軸的平移間隙。

如圖4所示，則：

同理可得：

計算得：

假設(shè)球鉸間隙只對搖擺臺的俯仰運動誤差有影響，即，則：

驅(qū)動桿長化簡得：

5 MATLAB編程與仿真

運用MATLAB進行編程仿真，得到球鉸間隙影響下并聯(lián)模擬臺的角度誤差。

由圖5可知，球鉸間隙對運動模擬臺橫滾角度的峰峰值為 mrad，方位和俯仰方向誤差與橫滾分析方法，經(jīng)誤差合成，由球鉸引起的最大誤差小于 mrad，滿足模擬臺角位置精度要求。

6 結(jié)論

運用D-H法和坐標變換法分析了單開支鏈下球鉸間隙對模擬臺姿態(tài)角度精度的影響，建立了球鉸間隙與并聯(lián)機構(gòu)精度的簡單實用的數(shù)學模型，為運動模擬臺中球鉸的選擇提供了理論依據(jù)。

參考文獻

[1] 崔道碧.關(guān)節(jié)間隙對機器人末端執(zhí)行器位姿誤差的影響[J].湖南大學學報：自然科學版，1999，26（2）：32-36.（CUI Dao-bi.Effect of Gap of Key Links on Location-posture Error for Tip Executing Apparatus of Robot[J].Journal of Hunan University（Natural Sciences Edition），1999，26（2）：32-36.

[2] 汪勁松，白杰文，高猛，等.Stewart平臺鉸鏈間隙的精度分析[J].清華大學學報：自然科學版，2002，42（6）：758-761.WANG Jin-song，BAI Jie-wen，GAO Meng，ZHENG Hao-jun，LI Tie-min.Accuracy analysis of joint-clearances in a Stewart platform[J].J T singhua Univ（Sci &Tech），2002，42（6）：758-761.

[3] 梁輝，白志富，陳五一.一種驅(qū)動冗余并聯(lián)機床的鉸鏈間隙誤差分析[J].機床與液壓，2006（4）：7-9.LIANG Hui，BAI Zhi-fu，CHEN Wu-yi.On the Joint Error of a Redundantly Actuated Parallel Machine Tool[J].Machine Tool and Hydraulics，2006（4）：7-9.

[4] 洪嘉振.計算多體系統(tǒng)動力學[M].北京：高等教育出版社，1999：37-60.HONG Jia-zhen.Computational Dynamics of Multibody Systems[M].Beijing：Higher Education Press，1999：37-60.

[5] 焦國太，馮永和，王鋒，等.多因素影響下的機器人綜合位姿誤差分析方法[J].應用基礎(chǔ)與工程科學學報，2004，12（4）：435-442.Jiao Guo-tai Feng Yong-he，Wang Feng，et.Synthetically analysis of the robot pose error resulting from various factors[J].Journal of Basic Science and Engineering，2004，12（4）：435-442.endprint

摘 要：球鉸聯(lián)接是多自由度并聯(lián)運動模擬臺中普遍采用的一種連接方式，但由于球鉸間隙的存在，使并聯(lián)模擬臺的運動精度明顯降低。利用機器人運動學中的D-H（Denavit-Hartenberg）法推導出鉸鏈間隙對并聯(lián)模擬臺運動的姿態(tài)角度的影響，采用MATLAB進行仿真分析。結(jié)果表明：針對所設(shè)計的并聯(lián)運動模擬臺，球鉸間隙為 mm時，并聯(lián)機構(gòu)的精度小于 mrad，滿足機構(gòu)運動精度要求。

關(guān)鍵詞：球鉸 間隙誤差 并聯(lián)模擬臺 D-H法 MATLAB仿真

中圖分類號：TH115；TP302.7 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（c）-0084-02

球鉸理論上具有結(jié)構(gòu)簡單、運動靈活、耐磨性好和承載力強等優(yōu)點，常用于并聯(lián)運動模擬機構(gòu)。但由于球鉸間隙一般較大，對模擬臺運動精度的影響不可忽略[1]。

目前，提高球鉸精度和剛度的方法，主要有提高加工精度、提高表面質(zhì)量和采用鉸鏈消隙裝置等措施。但隨著精度的提高，成本和實現(xiàn)難度均大幅增加，因此，研究鉸鏈間隙對機構(gòu)精度的影響，從而根據(jù)機構(gòu)精度需要合理確定球鉸間隙，優(yōu)化精度分配，對提高并聯(lián)機構(gòu)的性價比意義重大。

1 具有SPS驅(qū)動支鏈的3-DOF并聯(lián)模擬臺的結(jié)構(gòu)

本文針對外場試驗用激光通信光端機運動模擬臺的技術(shù)指標要求，設(shè)計了3-DOF（三自由度）并聯(lián)模擬臺的結(jié)構(gòu)[2]，運動模擬臺位置精度要求為1 mrad，經(jīng)誤差分配，球鉸引起的誤差應小于0.5 mrad，3-DOF并聯(lián)模擬臺如圖1所示。

如圖1所示，三自由度并聯(lián)運動模擬臺由三層平臺、三個驅(qū)動電動缸、四個過渡支撐桿和一個中心支撐組成。其中：三個平臺相互平行且同心，中平臺為多邊形，動平臺和中平臺之間有四個固定支撐，兩個縱向的電動缸成90°分配，橫向的電動缸中心線與基臺平行，且與兩個縱向電動缸垂直。其原理為控制三個電動缸的伸縮量，以實現(xiàn)并聯(lián)模擬臺橫滾、俯仰和偏航的角度，中心支撐主要承載整個搖擺臺的重量。

2 球鉸間隙模型分析

如圖2所示球鉸[3]可視為由連桿1和連桿2組成，根據(jù)連桿坐標系設(shè)定的原則，分別在連桿1、2上建立三維直角坐標系和，且為與靜平臺固連的球鉸球窩中心的靜坐標系，為與驅(qū)動支鏈固連的球鉸球心的動坐標系。

根據(jù)坐標變換法（即為局部動坐標系中任意點在整體靜坐標系中的坐標表達式）：

其中，為動坐標系中任意點在靜坐標系中的坐標；為點在動坐標系中的坐標；為動坐標系原點在靜坐標系中的坐標（即坐標系的平移矩陣）。

為動坐標系的方向余弦陣（即坐標的旋轉(zhuǎn)矩陣）。設(shè)初始狀態(tài)動坐標系的原點與靜坐標系的原點重合，產(chǎn)生間隙后的點為動坐標系中的任意點，且設(shè)在局部動坐標系中，則在局部動坐標系中球鉸間隙隨機點的坐標為：

在整體靜坐標系中，球鉸間隙隨機點的坐標為：

其中：為球鉸球心的平移間隙，為球鉸球心的轉(zhuǎn)角間隙，為靜平臺的半徑。

3 模擬臺姿態(tài)角度誤差分析

機器人運動學中的D-H法[4]是機器人連桿和關(guān)節(jié)建模的一種非常簡單的方法，可用于任何機構(gòu)的構(gòu)型。采用D-H法對運動模擬臺的SPS（電動缸兩端以球鉸聯(lián)接）單開支鏈進行分析計算，進而建立球鉸間隙與模擬臺姿態(tài)誤差角[5]度間的數(shù)學模型。

如圖3為單開支鏈的結(jié)構(gòu)簡圖，在局部動坐標系中，定點。與上述同理，根據(jù)坐標變換法，在整體靜坐標系中，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)平移后，的坐標為：

其中：為動平臺上固定點與局部坐標系原點之間的距離；為初始狀態(tài)下與之間的夾角；為中心支撐鉸鏈球心與基臺整體靜坐標系的垂直距離（見圖3）。

初始狀態(tài)下，此時

驅(qū)動桿長為：

4 實例

如圖1所示并聯(lián)運動模擬臺結(jié)構(gòu)形式，已知：

球鉸間隙范圍 mm，任取局部動坐標系坐標原點，并且在局部動坐標系中，隨機取點隨機取值，球鉸球心沿靜坐標系三個軸的平移間隙。

如圖4所示，則：

同理可得：

計算得：

假設(shè)球鉸間隙只對搖擺臺的俯仰運動誤差有影響，即，則：

驅(qū)動桿長化簡得：

5 MATLAB編程與仿真

運用MATLAB進行編程仿真，得到球鉸間隙影響下并聯(lián)模擬臺的角度誤差。

由圖5可知，球鉸間隙對運動模擬臺橫滾角度的峰峰值為 mrad，方位和俯仰方向誤差與橫滾分析方法，經(jīng)誤差合成，由球鉸引起的最大誤差小于 mrad，滿足模擬臺角位置精度要求。

6 結(jié)論

運用D-H法和坐標變換法分析了單開支鏈下球鉸間隙對模擬臺姿態(tài)角度精度的影響，建立了球鉸間隙與并聯(lián)機構(gòu)精度的簡單實用的數(shù)學模型，為運動模擬臺中球鉸的選擇提供了理論依據(jù)。

參考文獻

[1] 崔道碧.關(guān)節(jié)間隙對機器人末端執(zhí)行器位姿誤差的影響[J].湖南大學學報：自然科學版，1999，26（2）：32-36.（CUI Dao-bi.Effect of Gap of Key Links on Location-posture Error for Tip Executing Apparatus of Robot[J].Journal of Hunan University（Natural Sciences Edition），1999，26（2）：32-36.

[2] 汪勁松，白杰文，高猛，等.Stewart平臺鉸鏈間隙的精度分析[J].清華大學學報：自然科學版，2002，42（6）：758-761.WANG Jin-song，BAI Jie-wen，GAO Meng，ZHENG Hao-jun，LI Tie-min.Accuracy analysis of joint-clearances in a Stewart platform[J].J T singhua Univ（Sci &Tech），2002，42（6）：758-761.

[3] 梁輝，白志富，陳五一.一種驅(qū)動冗余并聯(lián)機床的鉸鏈間隙誤差分析[J].機床與液壓，2006（4）：7-9.LIANG Hui，BAI Zhi-fu，CHEN Wu-yi.On the Joint Error of a Redundantly Actuated Parallel Machine Tool[J].Machine Tool and Hydraulics，2006（4）：7-9.

[4] 洪嘉振.計算多體系統(tǒng)動力學[M].北京：高等教育出版社，1999：37-60.HONG Jia-zhen.Computational Dynamics of Multibody Systems[M].Beijing：Higher Education Press，1999：37-60.

[5] 焦國太，馮永和，王鋒，等.多因素影響下的機器人綜合位姿誤差分析方法[J].應用基礎(chǔ)與工程科學學報，2004，12（4）：435-442.Jiao Guo-tai Feng Yong-he，Wang Feng，et.Synthetically analysis of the robot pose error resulting from various factors[J].Journal of Basic Science and Engineering，2004，12（4）：435-442.endprint